Math�matiques,
QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.
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Sujets 11
Exercice 1.
( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
Une urne contient 150 jetons rouges et 50 jetons bleus, tous
indiscernables au toucher. 20 % des jetons rouges sont gagnants et 40 %
des jetons bleus sont gagnants. Un joueur tire au hasard un jeton de
l’urne.
1. La probabilit� que le jeton soit rouge et gagnant est :
a) 0,2 ; b) 0,45 ; c) 0,15 vrai ; d) 0,95.
0,20 x150 =30 jetons rouges gagnants su 200 jetons. 0,20 x150 / 200 =0,15.
2. La probabilit� que le jeton soit gagnant est :
a) 0,2 ; b) 0,6 ; c) 0,25 vrai ; d) 0,4
150 x0,20 +50 x0,4 = 50 jetons gagnants sur 200 : 50 / 200 = 0,25.
3. Un joueur tire successivement et avec remise deux jetons de l’urne. La probabilit� qu’il tire deux jetons rouges est :
a) 0,5625 vrai; b) 0,75 ; c) 0,30 ; d) 0,15.
Probabilit� de tirer un jeton rouge : 150 /200 =0,75 ; 0,752 =0,5625.
On note X la variable al�atoire qui repr�sente le gain alg�brique en
euros d’un joueur. La loi de probabilit� de X est donn�e par le tableau
suivant :
Valeurs a prises par X
|
-5
|
0
|
10
|
P(X=a)
|
0,6
|
0,15
|
0,25
|
4. La probabilit� P(X> 0) est �gale � :
a) 0,15 ; b) 0,6 ; c) 10 ; d) 0,25 vrai.
P(X >0) = P(X=10) = 0,25.
5. Le gain alg�brique moyen en euros que peut esp�rer un joueur est �gale � :
a) 0 ; b) −0,5 vrai ; c) 5 /3 ; d) 5.
E(X) =-5 x0,6 +0 x0,15 +10 x0,25= -3 +2,5 = -0,5.
.
Sujet 12.
1. Quelle est la forme factoris�e de f (x) = 0,5(x −2)2 −8 ?
a. 0,5x2 −2x −6 ; b. 0,5(x +10)(x −6) ; c. 0,5(x −6)(x +2) vrai ; d. 0,5(x −10)(x +6).
f(x) = 0,5 ((x-2)2 -16] = 0,5[x-2-4)(x-2+4)] =0,5(x-6)(x+2).
2. (un) est une suite arithm�tique de raison r = 0,5 telle que u10 = −4. Quelle est la valeur du terme u2 ?
a. 8 ; b. 0 ; c. −10 ; d. −8 vrai.
u10-u2 = 8 r = 4 ; u2 = u10-4 = -4-4 = -8.
3. Soit la fonction f d�finie pour tout x diff�rent de −2 par : f (x) =(2x-1) / (x+2).
Parmi les expressions suivantes, laquelle d�finit la d�riv�e f ′ de la fonction f sur R\{−2} ?
a. f ′(x) = −5 / (x +2)2 ; b. f ′(x) = 3 /(x+2)2 ; c. f ′(x) =5 / (x +2)2 vrai d. f ′(x) = 2.
On pose u =2x-1 et v = x+2 ; u' = 2 ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 =[2(x+2)-(2x-1)] / (x+2)2 =5 /(x+2)2.
4. On se place dans un rep�re orthonorm�. Laquelle de ces �quations est une �quation cart�sienne de la droite D, dont le vecteur directeur
a pour coordonn�es (-1 ; 2) et passant par le point A(−1 ; 3) ?
a. 2x − y +1 = 0 ; b. x +2y +1 = 0 ; c. −x +2y −7 = 0 ; d. −2x − y +1 = 0 vrai.
y = ax+b avec a = -2 soit 2x+y = b.
A appartient � cette droite : -2+3=b ; b =1.
2x+y-1=0 ou -2x-y+1=0.
5. On se place dans
un rep�re orthonorm�. Parmi ces propositions, quelle est l’�quation
cart�sienne du cercle de centre A(2; 4) et de rayon 3?
a. (x −2)2 +(y −4)2 = 3 ; b. (x +2)2 +(y +4)2 = 9 ; c. x2 + y2 −4x −8y +11 = 0 vrai ; d. x2 + y2 +11 = 0.
(x-2)2 +(y-4)2 = 9.
x2-4x+4 +y2-8y +16 =9 ; x2-4x +y2-8y +11 =0 ;
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Exercice 2. ( 5
points) Sujet 11. Le plan est muni d’un rep�re orthonorm�.
On consid�re les points : A(−1 ; −3), B(1 ; 2) et C(7 ; 1).
1) Le triangle ABC est-il isoc�le en B ?
AB2 = (1-(-1))2+(2-(-3))2=4+25=29.
BC2 = (7-1)2+(1-2)2=36+1=37.
AB diff�re de BC ; le triangle ABC n'est pas isoc�le en B.
2) D�terminer la valeur arrondie au dixi�me de degr� de l’angle �̂.
3) On consid�re le point H de coordonn�es (2,6 ; −1,2).
Le point H est-il le projet� orthogonal du point B sur la droite (AC) ?
Le point H estl le projet� orthogonal du point B sur la droite (AC).
Sujet 12.
Aujourd’hui les chardons (une plante vivace) ont envahi 300 m2
des champs d’une r�gion.Chaque semaine, la surface envahie augmente de
5%par le d�veloppement des racines, auquel s’ajoutent 15m2 suite � la diss�mination des graines.
Pour tout entier naturel n, on note un la surface envahie par les chardons, en m2, apr�s n semaines ; on a donc u0 = 300 m2.
1. a. Calculer u1 et u2.
u1 = 300 x1,05 +15 =330 ; u2 = 330 x1,05 +15 =361,5.
b. Montrer que la suite (un) ainsi d�finie, n’est ni arithm�tique ni g�om�trique.
u2 / u1 =361,5 / 330 =1,095 ; u1 / u0 =330 / 300=1,1.
u2 / u1 diff�re de u1 / u0 : la suite n'est pas g�om�trique.
u2-u1 = 31,5 ; u1-u0 = 30 ; u2 - u1 diff�re de u1 - u0 : la suite n'est pas arithm�tique.
On admet dans la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel n, un+1 = 1,05un +15.
2. On consid�re la suite (vn), d�finie pour tout entier naturel n, par : vn = un +300.
a. Calculer v0, puis montrer que la suite (vn) est g�om�trique de raison q = 1,05.
v0 = u0 +300 =600.
vn+1 = un+1 +300 =1,05 un+315 =1,05(un+300) = 1,05 vn.
La suite (vn) est g�om�trique de raison q = 1,05.
b. Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n, puis montrer que un = 600� 1,05n −300.
vn = v0 x1,05n =600 x1,05n ; un = vn -300 =600� 1,05n −300.
3. Est-il correct d’affirmer que la surface envahie par les chardons aura doubl� au bout de 8 semaines ? Justifier la r�ponse.
v8 =600 x1,058 =886,47 ; u8 = 886,47-300 =586,47 diff�re de 2 x300 = 600.
L'affirmation est fausse.
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Exercice 3. ( 5
points). Sujet 11.
En 2002, Camille a achet� une voiture, son prix �tait alors de 10 500 €. La valeur de cette voiture a baiss� de 14 % par an.
1) La valeur de cette voiture est mod�lis�e par une suite. On note P𝑛 la valeur de la voiture en l’ann�e 2002+ n. On a donc P0=10 500.
a) D�terminer la nature de la suite (Pn).
Suite g�om�trique de premier terme 10500 et de raison q = 1-0,14 = 0,86.
b) Quelle �tait la valeur de cette voiture en 2010 ?
Pn = 10500 x0,84n.
En 2010, n = 8 :P8 = 10500 x0,868 =341,79 €.
2) Camille aimerait
savoir � partir de quelle ann�e la valeur de sa voiture est inf�rieure
� 1500 €. Pour l’aider, on r�alise le programme Python incomplet
ci-dessous.
a) Recopier et compl�ter sur votre copie les deux parties en pointill� du programme ci-dessous :
def algo( ) :
P=10500
n=2002
while P >1500
P=P*0,86.
n=n+1
return(n)
b) Donner la valeur renvoy�e par ce programme.
10500 x0,84n <1500 ; 0,84n < 1500 / 10500 ; 0,84n <0,1429.
0,8612 =0,163 ; 0,8613 =0,141 ;
� partir de 2002 +13 = 2015, la voiture vaudra moins de 1500 €.
Sujet 12.
Dans la figure ci-dessous, on a trac� Cf la courbe repr�sentative d’une fonction f d�finie et d�rivable sur R ainsi que les tangentes � Cf aux points d’abscisses −2, −1 et 0.
1. Recopier sur la copie en le compl�tant le tableau de valeurs ci-dessous.
x
|
-1
|
0
|
f(x)
|
1
|
1
|
f '(x)
|
-1
|
2
|
On admet que la fonction f est d�finie sur R par :
f (x) = x3 +3x2 +2x +1.
2. a. Calculer f ′(x), pour tout r�el x.
f '(x)=3x2+6x+2.
b. R�soudre dans R l’�quation : f ′(x) = 0.
3x2+6x+2=0. Discriminant : 62-4*2*3 =12 = (2*3�)2.
Solutions : x = (-6 � (2*3�)) / 6 = -1 � 3�/3.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction f .
4. Le point S(−4 ; −3) appartient-il � la tangente � la courbe repr�sentative de f au point d’abscisse x = −2 ?
Coefficient directeur de la tangente : f '(-2) =3*4+6*(-2)+2=2.
Equation de la tangente : y = 2x+b.
S appartient � la tangente : -3 = 2*(-4)+b ; b = 5.
y = 2x+5.
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Exercice4. ( 5 points) Sujet 11. Une entreprise fabrique un engrais biologique. Chaque jour, le volume d’engrais fabriqu� est compris entre 5 m� et 60 m�.
Le co�t moyen quotidien de production de cet engrais, exprim� en
centaines d’euros, est mod�lis� par la fonction f d�finie sur
l’intervalle [5 ; 60] par :
f(x) =(x2-15x+400) / x.
o� x est le volume quotidien d’engrais fabriqu�, exprim� en m�.
1) D�terminer le co�t moyen quotidien pour la production de 5 m3 d’engrais.
f(5) = (25-15*5+400) /5 =70 centaines d'euros = 7 000 €.
2) Quels volumes d’engrais faut-il fabriquer pour avoir un co�t moyen de production �gal � 4 300 € (43 centaines d’euros) ?
43 x =x2-15x+400 ; x2-58x+400 =0.
Discriinant : 582-4*400=1764 = 422.
Solutions :(58-42) /2 = 8 et (58+42) / 2 = 50.
3) Pour quel volume d’engrais fabriqu� le co�t moyen de production est-il minimal ? D�terminer ce co�t moyen minimal.
Calcul de la d�riv�e en posant u = x2-15x+400 et v = x ; u' = 2x-15 ; v' =1.
(u'v-v'u) / v2 = [(2x-15)x-(x2-15x+400)] / x2=(x2-400) / x2.
La d�riv�e s'annule pour x2 = 400 soit x = � 20.
Le co�t est minimal pour x = 20.
f(20) =(400-15*20+400) / 20= 25 centaines d'euros = 2500 €.
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Sujet 12.
Une �tude statistique men�e lors des entra�nements montre que, pour un tir au but, Karim marque avec une probabilit� de 0,7.
Karim effectue une s�rie de 3 tirs au but. Les deux issues possibles apr�s chaque tir sont les �v�nements:
• M : � Karim marque un but � ;
• R : � Karim rate le tir au but �.
On admet que les tirs au but de Karim sont ind�pendants.
1. On note X la variable al�atoire qui prend pour valeur le nombre
total de buts marqu�s � l’issue de cette s�rie de tirs par Karim.
a. R�aliser un arbre pond�r� permettant de d�crire toutes les issues possibles.
b. D�terminer la loi de probabilit� de X.
valeurs i de X
|
3
|
2
|
1
|
0
|
p(X=i)
|
0,73 =0,343
|
3x0,72x0,3=0,441
|
3x0,32x0,7=0,441=0,189 |
0,33 =0,027
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c. Calculer l’esp�rance E(X) de la variable al�atoire X.
E(X) =3*0,343 +2*0,441 +0,189 =2,1.
2. On propose � un
spectateur le jeu suivant : il mise 15 € avant la s�rie de tirs au but
de Karim; chaque but marqu� par Karim lui rapporte 6 €, et chaque but
manqu� par Karim
ne lui rapporte rien.
On note Y la variable al�atoire qui prend pour valeur le gain
alg�brique du spectateur, c’est �-dire la diff�rence entre le gain
total obtenu et la mise engag�e.
a. Exprimer Y en fonction de X.
Y = -15+6X.
valeurs i de Y
|
3
|
-3
|
-9
|
-15
|
p(Y=i)
|
0,73 =0,343
|
3x0,72x0,3=0,441
|
3x0,32x0,7=0,441=0,189 |
0,33 =0,027
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b. Calculer l’esp�rance E(Y ) de la variable al�atoire Y. Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’�nonc�.
E(Y) =3*0,343 -3*0,441 -9*0,189 -15*0,027= -2,4.
En moyenne, il perd 2,4 €.
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