Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujets 13
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
Une urne contient 150 jetons rouges et 50 jetons bleus, tous indiscernables au toucher. 20 % des jetons rouges sont gagnants et 40 % des jetons bleus sont gagnants. Un joueur tire au hasard un jeton de l’urne.
1. Soit a, b et c trois r�els tels que a non nul et soit g la fonction d�finie sur R par :
g(x) = ax2 +bx+c..
Soit Δ son discriminant.
La repr�sentation graphique de la fonction g dans un rep�re orthonorm� est donn�e.

Alors on peut affirmer que :
a. a > 0 et Δ > 0
b. a > 0 et Δ < 0
c. a < 0 et 𝛥 > 0 vrai.
d. a < 0 et Δ < 0.
La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points, donc D >0.
La prabole pr�sente un maximum, donc a <0.
2.On consid�re la fonction f dont la fonction d�riv�e est la fonction g consid�r�e dans la question 1.
Le tableau des variations de f est :

R�ponse c.
3. On consid�re � nouveau la fonction f dont la fonction d�riv�e est la fonction g consid�r�e dans la question 1. On sait de plus que f(3)=7.
La tangente � la courbe repr�sentative de f au point d'abscisse 3 a pour �quation r�duite :
a. y=4 ; b. y=4x+3  ; c. y=4x+7 ; d. y=4𝑥−5 vrai.
Coefficient directeur de la tangente en x = 3 : f(3) = 4.
Equation r�duite de la tangente : y = 4 x+b.
La tangente passe par le point de coordonn�es (3 ; 7) : 7 =12+b ; b = -5.
y = 4x-5.
4.  Dans un rep�re orthonorm�, on consid�re les points A(5;−1),B(3;2) et C(1;−3). Une �quation cart�sienne de la droite perpendiculaire � (AB) et passant par C est :
a. −2x+3y+11=0 vrai ; b. 3x−2y−9=0  ; c. x−3y−10=0 ; d. 3x+2y+3=0.
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite (AB) :(xB-xA ; yB-yA) soit (-2 ; 3).
C'est un vecteur normal � la droite perpendiculaire � la droite (AB).
Equation cart�sienne de la droite perpendiculaire � (AB) : -2x+3y+c=0.
C appartient � cette droite :-2 +3*(-3)+c = 0 ; c =11. 

5. Dans un rep�re orthonorm�, on consid�re les points A(5;−1),B(3;2) et C(1;−3).
Une mesure, arrondie au degr�, de l’angle ABC  est :
a. 11 ; b. 25 ; c. 55 vrai ; d. 88.

 .
Sujet 14.
1.  L’in�quation x2+x+2>0 :
a. n’a pas de solution ; b. a une seule solution ; c. a pour ensemble de solution l’intervalle [1 ; 2]
d. a pour solution l’ensemble des nombres r�els , vrai.
x2+x+2 =0 ; discriminant D =12-4*2=-7.
Cette �quation n'a pas de racines r�elles. La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses..
Le coefficient a = 1 est positif.

2. Soient les deux vecteurs suivants.

r�ponse c.

3. Soient A et B deux �v�nements d’un univers tels que PA(B)=0,2 et P(A)=0,5.
Alors la probabilit� P(𝐴∩𝐵) est �gale � :
a. 0,4 ; b. 0,1 vrai ; c. 0,25 ; d. 0,7.
PA(B)=P(𝐴∩𝐵) / P(A) ;P(𝐴∩𝐵) =0,2 x0,5 = 0,1.

4. Soit (un) une suite arithm�tique de terme initial u0= 2 et de raison 3.
La somme S d�finie par S=u0 + u1 + … + u12 est �gale � :
a. 45 ;  b. 222 ; c. 260 vrai; d. 301.
u12 = u0 +12r =2+12*3=38
S = nombre de termes x (premier terme + dernier terme) /2 =13(2+38)/2=260.

5. Soit f la fonction d�finie sur l’ensemble des nombres r�els par f(x)=(2x−5)3.
Une expression de la d�riv�e de f est :
a. 3(2𝑥−5)2 ; b. 6(2𝑥−5)2 vrai; c. 2(2𝑥−5)2 ; d. 23.
On pose u = 2x-5 ; u' =2.
D�riv�e de u3 : 3u2 u' =6(2x-5)2.


Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 13.

En 2000, la production mondiale de plastique �tait de 187 millions de tonnes. On suppose que depuis 2000, cette production augmente de 3,7 % chaque ann�e.
On mod�lise la production mondiale de plastique, en millions de tonnes, produite en l’ann�e (2000+n) par la suite de terme g�n�ral un o� n d�signe le nombre d’ann�e � partir de l’an 2000.
Ainsi, u0=187.
1. Montrer que la suite (un) est une suite g�om�trique dont on donnera la raison.
un+1 = 1,037 un, suite g�om�trique de raison 1,037 et de premier terme 187.
2. Pour tout n entier naturel, exprimer un en fonction de n.
un = 187 x 1,037n.
3. �tudier le sens de variation de la suite (un).
un+1-un =187 x1,037n+1- 187 x1,037n= 187 x1,037n ( 1,037-1) =0,037 x187 x1,037n , positif.
un+1 > un , la suite est croissante.
4. Selon cette estimation, calculer la production mondiale de plastique en 2019. Arrondir au million de tonnes.
u19 = 187 x1,03719 ~373 millions de tonnes.
5. Des �tudes montrent que 20 % de la quantit� totale de plastique se retrouve dans les oc�ans, et que 70 % de ces d�chets finissent par couler.
Montrer que la quantit� totale, arrondie au million de tonnes, de d�chets flottants sur l'oc�an dus � la production de plastique de 2000 � 2019 compris est de 324 millions de tonnes.
Somme des 19 premiers termes de la suite : S = 187(1-1,03720) / (1-1,037) =5398 millions de tonnes.
0,20 x5398 =1080 millions de tonnes dans les oc�ans dont 1080 x0,3=324 millions de tonnes flottent.

Sujet 14.
La courbe ci dessous repr�sente dans un rep�re du plan une fonction f d�finie et d�rivable sur l’ensemble des nombres r�els.
Les points G(2 ; 5) et H (0 ; 1) appartiennent � la courbe repr�sentative de la fonction f et les tangentes � la courbe aux points G et H sont horizontales.

1. D�terminer f(0), f(−2), f ′(0) et f ′(−2).
f(0) =1 ; f(-2) = 5 ; f '(0) =0 ; f '(-2) =0.
2. On admet que pour tout r�el x, f(x) peut s’�crire sous la forme :
f(x) = ax3 +bx2+cx+d o� a, b, c et d d�signent des nombres r�els
a. Donner une expression de f '(x).
f '(x) = 3ax2 +2bx+c.
b. D�terminer les valeurs des r�els c et d.
f '(0) = 0 =c ; f 0) =1 =d.
c. D�terminer deux �quations que v�rifient les r�els a et b.
d. En d�duire que f(x) = x3 +3x2+1.
f '(-2) =0=12a-4b ; b =3a.
f(-2) =5= -8a+4b +1 ; 1=-2a+b ou b =1+2a.
1+2a = 3a ; a = 1 et b = 3.


Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 13.
Un cafetier propose � ses clients des cookies au chocolat ou aux noisettes en s’approvisionnant dans trois boulangeries. Un client prend un cookie au hasard.
On note :
C l’�v�nement � le cookie est au chocolat �,
N l’�v�nement � le cookie est aux noisettes �,
B1 l’�v�nement � le cookie provient de la boulangerie 1 �,
B2 l’�v�nement � le cookie provient de la boulangerie 2 �
B3 l’�v�nement � le cookie provient de la boulangerie 3 �.
On suppose que :
– la probabilit� que le cookie provienne de la boulangerie 1 est de 0,49 ;
– la probabilit� que le cookie provienne de la boulangerie 2 est de 0,36 ;
– PB2(C)=0,4 o� PB2(C) est la probabilit� conditionnelle de 𝐶 sachant B2 ;
– la probabilit� que le cookie soit aux noisettes sachant qu’il provient de la troisi�me boulangerie est de 0,3.
L’arbre pond�r� ci-dessous correspond � la situation et donne une information suppl�mentaire : le nombre 0,6 sur la branche de B1 � C.
1. Exprimer par une phrase l’information donn�e par le nombre 0,6 sur la branche de B1 � C.
La probabilit� que le cookies soit au chocolat sachant qu'il provient de la boulangerie 1 est �gale � 0,60.
2. Recopier et compl�ter sur la copie l’arbre pond�r� ci-dessous.


3. D�finir par une phrase l’�v�nement 𝐵1∩𝐶 et calculer sa probabilit�.
Le cookie est au chocolat et il provient de la boulangerie B1.
P(𝐵1∩𝐶) =0,49 x0,6 =0,294.
4. Montrer la probabilit� 𝑃(𝐶) d’avoir un cookie au chocolat est �gale � 0,543.
5. Calculer la probabilit� d’avoir un cookie provenant de la boulangerie 2 sachant qu’il est au chocolat. On donnera le r�sultat arrondi au milli�me.
PC(B2) =P(C n B2) / P(C) =0,144 / 0,543 =0,265.

Sujet 14.

Dans une usine, un four cuit des c�ramiques � la temp�rature de 1 000�C.
� la fin de la cuisson, on �teint le four et commence alors la phase de refroidissement.
Pour un nombre entier naturel n, on note Tn la temp�rature en degr� Celsius du four au bout de n heures �coul�es � partir de l’instant o� il a �t� �teint. On a doncT0 = 1 000.
La temp�rature Tn est calcul�e gr�ce � l’algorithme suivant :
T ← 1 000
Pour i allant de 1 � n
T←0,82 xT+3,6
Fin pour
1. Quelle est la temp�rature du four apr�s une heure de refroidissement ?
T1 =0,82 x1000 +3,6 = 823,6 �.
2. Exprimer Tn+1en fonction de Tn.
Tn+1 = 0,82 Tn +3,6.
3. D�terminer la temp�rature du four arrondie � l’unit� apr�s 4 heures de refroidissement.
T2 = 0,82 x 823,6 +3,6 =678,952�.
T3 = 0,82 x 678,952 +3,6 =560,34�.
T4 = 0,82 x 560,34 +3,6 ~463�.
4. La porte du four peut �tre ouverte sans risque pour les c�ramiques d�s que sa temp�rature est inf�rieure � 70�C. Afin de d�terminer le nombre d’heures au bout duquel le four peut �tre ouvert sans risque, on d�finit une fonction � froid � en langage Python. Recopier et compl�ter les instructions manquantes.
 def froid() :
 T=1000
 n=0
 while T > 70
 T= T*0,82 +3,6
 n=n+1
 return n
5. D�terminer le nombre d’heures au bout duquel le four peut �tre ouvert sans risque pour les c�ramiques.
Tn+1 = 0,82 Tn +3,6 < 70.
T5 = 0,82 x 463 +3,6 ~383� ; T6 = 0,82 x 383 +3,6 ~318� ;T7 = 0,82 x 318 +3,6 ~264� ; T8 = 0,82 x 264 +3,6 ~220� ;
T9 = 0,82 x 220 +3,6 ~184� ;T10 = 0,82 x 184 +3,6 ~155� ;T11 = 0,82 x 463 +3,6 ~130� ;T12 = 0,82 x 130 +3,6 ~110� ;
T13 = 0,82 x 110 +3,6 ~94� ;T14 = 0,82 x 94 +3,6 ~81� ;T15 = 0,82 x 81 +3,6 ~69,7�.
Au bout de 15 heures, on peut ouvrir le four.



Exercice4. ( 5 points) Sujet 13.

1. �tudier le signe de la fonction P d�finie sur 𝐑 par P(x) = x2 +4x+3.
x2 +4x+3=0 ; d�terminant : D = 42-4*3 = 4 = (2)2.
Solutions :( -4+2) / 2 = -1.
x2 +4x+3 < 0 si x appartient � ]-3; -1[ .
x2 +4x+3 >0 si x appartient � ]-oo ; -3[ union ]-1 ; +oo[.
On consid�re la fonction f d�finie sur l’intervalle ]−2;+∞[ par f(x) = (x2 +x-1) / (x+2). et on note Cf sa courbe repr�sentative dans un rep�re orthogonal du plan. On admet que la fonction 𝑓 est d�rivable sur l’intervalle ]−2;+∞[.
2. Montrer que pour tout r�el x de l’intervalle ]−2;+∞[, f '(x) = P(x) / (x+2)2 o� f ′ est la fonction d�riv�e de f.
On pose u =x2+x-1 et v = x+2 ; u' =2x+1 ; v' =1.
(u'v-v'u) / v2 =[(2x+1)(x+2)-(x2+x-1)] /(x+2)2 =(2x2+4x+x+2-x2-x+1)(x+2)2 =(x2+4x+3) / (x+2)2 =P(x) / (x+2)2 .
3. �tudier le signe de f '(x) sur ]−2;+∞[ et construire le tableau de variations de la fonction fsur ]−2;+∞[.
(x+2)2 est toujours positif.
f '(x) < 0 si x appartient � :]-2 ; -1[ et f est d�croissante.
f '(x) > 0 si x appartient � :]-1 ; +oo[ et f est croissante.
f '(x)=0 si x = -1 et f admet un minimum

4. Donner le minimum de la fonction f sur ]−2;+∞[ et la valeur pour laquelle il est atteint (on donnera les valeurs exactes).
5. D�terminer le coefficient directeur de la tangente T � la courbe Cf au point d’abscisse 2.
Coefficient directeur de la tangente : f '(2) =15 / 16.
Equation r�duite de T : y = 15 /16 x+b.
Le point de coordonn�es (2 ; f(2) =1,25= 5 /4) appartient � T.
5 /4 =15 *2 / 16 +b ; b =5 /4 -15 /8 = 10 /8 -15 /8 = -5 /8.
y = 15 /16 x -5 /8.


Sujet 14.
Le plan est rapport� � un rep�re orthonorm�.
On consid�re les points A( -3 ; 1), B(3 ; 5) et C(7 ; 1) dans ce rep�re.
Le but de cet exercice est de d�terminer les coordonn�es du centre du cercle circonscrit au triangle ABC et le rayon de ce cercle.
On rappelle que le cercle circonscrit � un triangle est le cercle passant par les trois sommets de ce triangle.
1. Placer les points A, B et C dans le plan puis construire le cercle circonscrit au triangle ABC.

2. V�rifier que la droite Δ d’�quation 3x+2y−6=0 est la m�diatrice du segment [AB].
Coordonn�es du milieu de [AB] : (-3+3) / 2 ; (1+5) / 2 soit (0 ; 3).
3*0+2*3-6=0. Le point milieu de [AB] appartient � D.
Coordonn�es d'un vecteur normal de D : (3 ; 2).
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite (AB) :(3 ; 2).
Donc la droite Δ d’�quation 3x+2y−6=0 est la m�diatrice du segment [AB].
3. D�terminer les coordonn�es du point B', milieu du segment [AC].
(xA+xC) / 2 ; yA +yC) / 2 soit B' (2 ; 1)
4. D�terminer les coordonn�es du point I, centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Le centre I du cercle circonscrit au triangle ABC est situ� sur la m�diatrice du c�t� AC.
AC �tant horizontal, la m�diatrice est verticale : donc xI = xB' = 2.
IB2 =(3-2)2 +(5-yI)2 = 1+ (5-yI)2; IA2 =(-3-2)2 +(1-yI)2 =25 +(1-yI)2 .
IB2 = IA2 ; 1+ (5-yI)2 =25 +(1-yI)2.
1+25+yI2-10yI =25+1+yI2-2yI ;-10yI =-2yI ;yI =0 ; I(2 ; 0).
 5. Calculer une valeur exacte du rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
 IA2 =(-3-2)2 +(1-0)2 =25 +1=26 ; IA = 26�.


  

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