Suites arithm�tique et g�om�trique, math�matiques, classe de premi�re technologique.

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Suite arithm�tique.
1. En 2010, le village A compte 200 habitants et gagne � partir de cette date 10 habitants par an. Le village B compte 400 habitants en 2010 et perd 20 habitants par an. A partir de quelle date A sera t-il plus peupl� que B ?
Nombre d'habitants du village A  : en 2011 : 200 +10 = 210 ;
en 2012 : 210 +10 = 220 = 200 +2 x10.
en 2013 : 220 +10 = 230 = 200 +3 x10.
en 2010 + n : 200 +10 n.
Nombre d'habitants du village B  : en 2011 : 400 -20 = 380 ;
en 2012 : 380 -20 = 360 = 400 -2 x20.
en 2013 : 360 -20 = 340 = 400 -3 x20.
en 2010 + n : 400 -20 n.
A sera  plus peupl� que B � partir de :
200 +10 n > 400 -20 n.
10n +20 n > 400-200 ;
30 n > 200 ; n > 200 / 30 ; n > 20 / 3 ; (20 /3~7 soit en 2017 ).
Solution utilisant un graphique.


 2. La suite (un) d�finie par : un = 7 − 9n est-elle arithm�tique ? Si la r�ponse est oui, pr�ciser la raison.
un+1 = 7 -9(n+1) = 7 -9n-9 = -2-9n.
un+1 -un = -2-9n -(7-9n) = -2-9n-7 +9n = -9.
un+1 -un est �gale � un nombre constant, donc la suite est arithm�tique.
un+1 =un -9. La raison est �gale � r = -9.

3. Consid�rons la suite arithm�tique (un) tel que u5 = 7 et u9 = 19 .
a) D�terminer la raison et le premier terme de la suite (un).
u1 = u0 +r ; u2 = u1 +r =u0 +2r ;
 u5 = u0 + 5r =7 ; u9 = u0 + 9r =19 ;
u9 - u5 = u0 + 9r -(u0 + 5r) =9 r-5 r = 4 r ;
19-5 = 4 r ; 14 =4 r ; r = 14 / 4 ; r = 3,5.
7 = u0 +5 r = u0 +5 x3,5  ; 7 =u0 +17,5 ; u0 = 5 -17,5 ; u0 = -12,5.
b) Exprimer un en fonction de n.
un = u0 + 3,5 n.

4. On consid�re la suite arithm�tique (un) de premier terme u0 = 3 et de raison 2,4.
4.a. Alors u20 est �gal � :   62,4 ;  108 ;  48 ;  51.
u20 =u0 +20 x2,4 =3+ 48 =51.
4.b. On utilise une feuille de calcul pour d�terminer les termes de la suite (un).

 A
 B
 C
 D
 E
 F
 G
 H
 I
1
 n
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
2
 un
 3
 5,4






3
 Sn
 3
 8,4





Quelle formule a-t-on entr�e dans la cellule C2 qui, recopi�e vers la droite, permet de calculer les termes successifs de la suite (un) ?
  =$B$2+2,4 ;  =B2+2,4 vrai ;  =$B2+2,4 ;  =B2*2,4.
4.c. On souhaite calculer la somme S7 = u0+u1+� � �+u7 des 8 premiers termes de!a suite (un). Quelle formule a-t-on entr�e dans la cellule C3 qui, recopi�e vers la droite, permet de calculer S7 ?
  =B3+C3 ;  =Somme(B2 :C2) ;  =C2+$B3 vrai ;  =B2+C2.

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Suite g�om�trique.
1. Consid�rons la suite g�om�trique (un) tel que u4 = 8 et u7 = 512 . D�terminer la raison et le premier terme de la suite (un).
u1 = q u0 ; u2 = q u1=  q q u0 = q2 u0 ;
u4 = q4u0 ;  u7 = q7u0 ;
u7 / u4 = q7 / q4 = q3 ; 512 / 8 = q3 ; 64 = q3 ; q = 4.
u0 = u4 / q4=8 / 44 =8 /256 =1 / 32.

2. On consid�re la suite g�om�trique (vn) de raison 2 telle que v5 = 96. Alors v0 est �gal � :
v5 = v0 x25 ; v0 = v5 /25=96 / 32 =3.

3. La municipalit� met en place une campagne de communication et pr�voit que le nombre de visiteurs du parc augmentera de 5% chaque mois � partir de mai 2017.
On mod�lise le nombre mensuel de visiteurs du parc � l’aide d’une suite (un). Ainsi u0 repr�sente le nombre de visiteurs en mai 2017 (u0= 1520), u1 repr�sente le
nombre de visiteurs en juin 2017, etc.
Afin d’�tudier l’�volution de la fr�quentation du parc, la municipalit� utilise la feuille decalcul automatis� suivante :

1. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 de sorte que, recopi�e vers la droite sur la plage C2:H2, elle permette d’afficher les estimations du nombre de visiteurs par mois ?
=B2*1,05
2. Utilisation de la suite (un).
a. D�terminer une estimation du nombre de visiteurs en juin 2017.
b. Indiquer, sans justification, la nature de la suite (un). Donner la valeur de sa raison.
Suite g�om�trique de premier terme u0 = 1520 et de raison 1,05.
c. Exprimer un en fonction de n, pour tout entier naturel ?
un = u0 x1,05n = 1520 x1,05n.
d. D�terminer une estimation du nombre de visiteurs dans ce parc en octobre 2017.
 n = 5 ; u5 = 1520 x1,055 =1940.

 L’�nergie photovolta�que voit son co�t baisser de fa�on importante depuis plusieurs ann�es, ce qui engendre une croissance forte de ce secteur. L’�volution de la puissance solaire photovolta�que install�e dans le monde entre fin 2004 et fin 2015 est r�sum�e dans le graphique ci-dessous :
Pn+1 e
1. Calculer les pourcentages d’augmentation annuels entre 2013 et 2014 ainsi qu’entre 2014 et 2015 (arrondir � 10−1).
(180-139) / 139 * 100 = 29,5 % ; (233-180) / 180 * 100 = 29,4 % .
2. On se propose d’estimer la puissance solaire photovolta�que install�e dans le monde dans les 15 ans � venir, si le taux de croissance annuel reste constant et �gal � 30%.
On note Pn la puissance solaire photovolta�que install�e dans le monde, en GW, � la fin de l’ann�e 2015+n. On a ainsi P0 = 233.
a. Calculer P1 puis P2( arrondir � 10−1).
P1 = P0(1+0,30) = 1,3 P0 = 1,3 *233 =302,9 GW.
P2 = 1,3 P1 = 1,32P0 =1,32 *233 =393,8 GW.
b. Exprimer Pn+1 en fonction de Pn.
Pn+1 = 1,3 Pn.
 En d�duire la nature de la suite (Pn) et donner ses �l�ments caract�ristiques.
Suite g�om�trique de raison 1,3 et de premier terme 233.
d. Exprimer Pn en fonction de n.
Pn = 233 x 1,3n.
e. Calculer la puissance solaire photovolta�que, en GW, install�e dans le monde fin 2025 (arrondir � l’unit�).
 n=10 ; P10 = 233 x 1,310 = 3212 GW.
f. Quel est le pourcentage global d’augmentation de cette puissance solaire mondiale entre 2015 et 2025 (arrondir � l’unit�) ?
(3212-233) / 233 =12,7854 ( ~1279 %)
3. On veut d�terminer l’ann�e durant laquelle la puissance solaire photovolta�que install�e dans le monde atteindrait 16 000 GW. Pour atteindre cette puissance, les panneaux photovolta�ques occuperaient au sol l’�quivalent d’un carr� de 400 km de c�t� et suffiraient pour produire toute l’�lectricit� consomm�e dans le monde (consommation domestique, industrielle et des transports.
  a. On consid�re l’algorithme ci-dessous.
Recopier et compl�ter les lignes 3 et 7 afin que cet algorithme r�ponde � la question pos�e.
1/ Affecter � N la valeur 0
2/ Affecter � P la valeur 233
3/ Tant que P<16000
4/ Affecter � N la valeur N +1
5/ Affecter � P la valeur P �1,30
6/ Fin Tant que
7/ Afficher N +2015.
N
 15
 16
 17
P
 233 x1,315=11926
233 x1,316=15504
 233 x1,317=20155
P <16000
 Faux
 Faux
 Vrai
b. En faisant tourner cet algorithme compl�t�, d�terminer l’ann�e durant laquelle la puissance solaire photovolta�que install�e dans le monde d�passerait 16 000 GW.

Apr�s son installation, un lundi matin, un aquarium contient 280 litres d’eau et des poissons. Par �vaporation, le volume d’eau dans l’aquarium diminue de 2% par semaine. Compte tenu du nombre de poissons, cet aquarium doit contenir en permanence au minimum 240 litres d’eau.
Partie A.
1. Quel volume d’eau restera-t-il dans l’aquarium au bout d’une semaine ?
280 x 0,98 = 274,4 L.
2. Est-il vrai qu’au bout de deux semaines, exactement 4% du volume d’eau initial se seront �vapor�s ? Justifier.
Au bout de deux semaines, il reste : 274,4x 0,98 = 268,912 L.
280 x0,96 = 268,8 L diff�re de 268,912 L ; l'affirmation est fausse.
3. V�rifier qu'au bout de 8 semaines le volume d’eau dans l’aquarium deviendra insuffisant.
280 x0,98n ~238, valeur inf�rieure � 240.
Au bout de 8 semaines, le volume d'eau est insuffisant..

Partie B.
On ajoute chaque lundi matin, en une seule fois, 5 litres d’eau pour compenser l’�vaporation hebdomadaire de 2%.
On note u0 le volume initial d’eau en litres dans l’aquarium. Ainsi u0 = 280.
Pour tout entier naturel n sup�rieur ou �gal � 1, on note un le volume d’eau dans l’aquarium, en litres, n semaines apr�s son installation, imm�diatement apr�s l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau.
1. V�rifier que u2 = 278,812.
u1 = 280 x0,98 +5 =279,4 L.
u2 = 279,4 x0,98 +5 =278,812 L.
2. Justifier que pour tout entier naturel n, un+1 = 0,98un +5.
Chaque semaine on ajoute 5 L d'eau et il s'�vapore 2 % du volume d'eau initial.
un+1 = 0,98un +5.
3. Montrer que la suite (un) n’est pas g�om�trique.
un+1 / un =0,98 + 5 / un.
un+1 / un  n'est pas constant : la suite n'est pas g�om�trique.
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