Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 17
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. On consid�re la loi de probabilit� de la variable al�atoire X donn�e par le tableau ci- dessous :
k
 -5
 0
 10
 20
 50
P(X=k)
 0,71
 0,03
 0,01
 0,05
 0,2
L’esp�rance de X est :
a) 15 ; b) 0,2 ; c) 7,55 ; d) 17.
E(X) = -5*0,71 +0 +10*0,01+20*0,05+50*0,2 =7,55. R�ponse c.
2.On se place dans un rep�re orthonorm�.
Le cercle de centre A( -2 ; 4) et de rayon 9 a pour �quation :
a) (x+2)2+(y−4)2=81 vrai
b) (x−2)2+(y+4)2=81
c) (x+2)2+(y−4)2=9
d) (x−2)2+(y+4)2=9

3. Soit 𝑓 la fonction d�finie par f(x) =ax2 +bx+c o� a, b, c sont des r�els.
On consid�re dans un rep�re la courbe repr�sentative de f trac�e ci dessous. On appelle Δ son discriminant.

On peut affirmer que :
a) a>0 ou c <0
b) c et Δ sont du m�me signe. vrai.
c) a <0 et c <0
d) a<0 et Δ<0.
La parabole pr�sente un maximum, donc a <0.
La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points, donc D >0.
La parabole coupe l'axe des ordonn�es en c >0.
4.  On consid�re la suite (un) d�finie par u0=−2 et un+1=2un−5.
Un algorithme permettant de calculer la somme S = u0+ u1+⋯+u36 est :

R�ponse d.
5. La suite (un) d�finie par u0=−2 et un+1=2un−5 est :
a) arithm�tique mais pas g�om�trique
b) g�om�trique mais pas arithm�tique
c) ni arithm�tique, ni g�om�trique. vrai.
d) � la fois arithm�tique et g�om�trique
un+1-un=un−5 n'est pas une constante : la suite n'est pas arithm�tique.
un+1/un=2-5/un n'est pas une constante : la suite n'est pas g�om�tique.

Sujet 18.
1.  Soit P une probabilit� sur un univers Ω et 𝐴 et 𝐵 deux �v�nements ind�pendants tels que P(A)=0,5 et P(B)=0,2.
Alors P(A u B) est �gal � :
a) 0,1 ; b) 0,7 ; c) 0,6 vrai ; d) On ne peut pas savoir..
P(A u B) = P(A)+P(B)-P(A n B) =0,5 +0,2 -0,5 x0,2 =0,6.

2. La valeur arrondie au centi�me de 1+1,2+1,22+1,23+⋯+1,210 est :
a) 3,27 ; b) 25,96;  c) 26,96 ; d) 32,15 vrai.
Somme des 11 premiers termes d'une suite g�om�trique de premier terme 1 et de raison 1,2.
S = (1-1,211) / (1-1,2) =32,15.
r�ponse b.

3. Soit f la fonction d�finie sur R par 𝑓(𝑥)=x /ex.
Pour tout r�el x ,f(x) est �gal � :
a) 𝑓(𝑥)= e−𝑥/ (−𝑥) ;  b) 𝑓(𝑥)=xe-x vrai ; c) f(x)= −xe−x d) f(x)= e-x / x.

4. Soit g la fonction d�finie sur R par g(x)=(2x−5)ex. On admet que g est d�rivable sur R et on note g’ sa fonction d�riv�e.
Alors pour tout r�el x , g'(x) est �gal � :
a) (2x−3)ex vrai; b) (−2x+7)ex ; c) 2ex d) −5ex.
On pose u = 2x-5 et v = ex ; u' = 2 ; v' = ex.
u'v +v'u = 2ex+ex(2x-5)=ex(2x-3).

5. Le nombre e 3�e−5/ e2 est �gal � :
a) −1 ; b) e−7,5 ; c) 1/e4 vrai ; d) 1,5 e−5.
exp(3-5-2) =exp(-4) = 1 / e4.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 17.

La fonction f est d�finie sur]−1;+∞[ par : f(x)=(x2+1) / (x+1)
On se place dans un rep�re orthonorm� du plan.
  D�montrer que pour tout x appartenant � l’intervalle ]−1;+∞[:
f '(x) =(x2+2x-1) / ((x+1)2.
On pose u = x2+1 et v = x+1 ; u' = 2x ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 =[(2x(x+1)-(x2+1) ] / (x+1)2=(x2+2x-1) / (x+1)2 .
2) D�terminer le sens de variation de la fonction f sur ]−1;+∞[.
Le d�nominateur est toujours positif.
x2+2x-1=0 ; discriminant : 22-4*(-1) =8 = ( 2*2�)2.
Solutions : (-2 �2*2�) / 2 = -1 �2� ; solution retenue x =-1 +2�.


3) D�terminer une �quation de la tangente T � la courbe repr�sentative de f au point d’abscisse 0.
Coefficient directeur de T en x=0 : f '(0) = -1.
Equation de  T : y = -x+b.
Le point de coordonn�es (0 ; f(0) =1) appartient � T : 1 = b. y = -x+1.
4) Etudier la position relative de la courbe repr�sentative de f et de la droite d’�quation y=x.
On �tudie la signe de  f(x)-x= (x2+1) / (x+1) -x =[(x2+1)-x(x+1)]  / (x+1) =(1-x) /( x+1).
 x+1 est positif ;  si x < 1, f(x)-x >0, f(x) au dessus de x.
si x >1, f(x)-x < 0, f(x) en dessous de x.


Sujet 18.
Une banque propose un placement. Le compte est r�mun�r� et rapporte 5 % par an. La banque prend des frais de gestion qui se montent � 12 euros par an.
Ainsi, chaque ann�e la somme sur le compte augmente de 5 % puis la banque pr�l�ve 12 euros.
No�mie place la somme de 1000 euros dans cette banque.
On appelle un la somme disponible sur le compte en banque de No�mie apr�s n ann�es, o� n d�signe un entier naturel.
On a donc u0=1000 et pour tout entier naturel n , un+1=1,05 un−12
1. Avec un tableur on a calcul� les premiers termes de la suite (un) :

a. Quelle formule a-t-on entr�e dans la cellule B3 avant de l’�tirer pour obtenir ces r�sultats ?
=B2*1,05-12
b. En utilisant les valeurs calcul�es de la suite, indiquer � No�mie combien de temps elle doit attendre pour que son placement lui rapporte 20 %.
1000 x1,2 =1200. Elle doit attendre 5 ans.
On pose (vn) la suite d�finie, pour tout entier naturel n, par vn=un−240.
2. Montrer que la suite (vn) est g�om�trique de raison 1,05.
vn+1=un+1−240 =1,05 un−12-240=1,05(un-240) =1,05 vn.
vn+1 / vn = 1,05 , suite g�om�trique de raison 1,05.
3. Exprimer vn puis un en fonction de l’entier n.
vn = v0*1,05n =(1000-240)1,05n =760* 1,05n .
un =vn +240 =760* 1,05n +240.
4. Calculer � partir de cette derni�re formule la somme disponible sur le compte en banque de No�mie apr�s 20 ans de placement.
u20=760*1,0520+240=2256,51 €.

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 17.
Un jeu consiste � combattre en duel soit un monstre A, soit un monstre B.
On a une probabilit� de 0,8 d’affronter le monstre A.
Le joueur gagne contre le monstre A dans 30% des cas, et gagne contre le monstre B dans 25% des cas.
Le joueur lance une partie. On consid�re les �v�nements :
 A :� Le joueur affronte le monstre A. �
 B :� Le joueur affronte le monstre B. �
 V :� Le joueur est victorieux. �
1) D�terminer PB(V̅) et interpr�ter le r�sultat.
La probabilit� de perdre sachant que l'on a jou� contre B est �gale � 0,75.
2) Montrer que P(B∩V)=0,05.
0,2 x0,25 = 0,05.
3) Calculer P(V).


4) Calculer la probabilit� d’avoir combattu le monstre B sachant que le joueur est victorieux.
PV(B) = P(V n B) / P(V) =0,05 /0,29 = 5 / 29.

Sujet 18.

Dans cet exercice toutes les probabilit�s seront donn�es sous forme d�cimale, arrondie au milli�me.
Une entreprise r�cup�re des smartphones endommag�s, les r�pare et les reconditionne afin de les revendre � prix r�duit.
 45 % des smartphones qu’elle r�cup�re ont un �cran cass� ;
 parmi les smartphones ayant un �cran cass�, 30 % ont �galement une batterie d�fectueuse ;
 par contre, seulement 20 % des smartphones ayant un �cran non cass� ont une batterie d�fectueuse.
1. Un technicien charg� de r�parer et reconditionner les smartphones de l’entreprise prend un smartphone au hasard dans le stock. On note :
 E l’�v�nement : � Le smartphone choisi a un �cran cass�. �
 B l’�v�nement : � Le smartphone choisi a une batterie d�fectueuse. �
a. Repr�senter la situation d�crite ci-dessus par un arbre pond�r�.

b. D�montrer que la probabilit� que le smartphone choisi ait une batterie d�fectueuse est �gale � 0,245.
P(E n B) + P(non E n B) =0,45 x0,3 +0,55 x0,2 =0,135 +0,110=0,245.
c. Sachant que le smartphone choisi a une batterie d�fectueuse, quelle est la probabilit� qu’il ait un �cran cass� ?
P B(E)=P(E n B) / P(B) = 0,3 x 0,45 / 0,245 =0,551.
2. L’entreprise d�pense 20 € pour r�parer et reconditionner chaque smartphone qu’elle r�cup�re. Si l’�cran est cass�, elle d�pense 30 € suppl�mentaires, et si la batterie est d�fectueuse, elle d�pense 40 € suppl�mentaires.
On note X la variable al�atoire �gale au co�t total de r�paration et reconditionnement d’un smartphone choisi au hasard dans le stock.
a. Recopier et compl�ter sur la copie (aucune justification n’est attendue) le tableau suivant pour donner la loi de probabilit� de la variable al�atoire X.

b. L’entreprise doit r�parer et reconditionner 50
xi
 20
 50
 60
 90
P(X=xi)
 0,44
 0,315
 0,11
 0,135

b. L’entreprise doit r�parer et reconditionner 500 smartphones. Combien doit-elle s’attendre � d�penser ?
E(X) =20*0,44 +50*0,315 +60*0,11 +90* 0,135=43,3 €.
500 x43,3 =21 650 €.



Exercice4. ( 5 points) Sujet 17

OABC et ODEF sont des carr�s de c�t�s respectifs 3 et 2. OAMF est un rectangle.
On note H le projet� orthogonal du point Msur la droite (DC).


1) La droite (OM) est elle perpendiculaire � la droite (DC) ?
H �tant le projet� orthogonal de M sur la droite (DC), les droites (OM) et (DC) sont perpendiculaires.
2) Calculer le produit scalaire suivant :

3) D�terminer la longueur CH.
Sujet 18.
On donne ci-dessous les repr�sentations graphiques respectives Cf et Cg de deux fonctions f et g d�finies sur R l’ensemble des nombres r�els.

1. La fonction f est d�finie sur R par f(x))=x3+3x2−9x−1.
On admet qu’elle est d�rivable sur R et on note f 'sa fonction d�riv�e.
a. Calculer f ′(x).
f '(x) =3x2+6x-9 = 3(x2+2x-3).
b. D�terminer le signe de f '(x) en fonction du r�el x . En d�duire le tableau de variation de la fonction f .
x2+2x-3 =0 ; discriminant : 22-3 *(-4) =16 = 42.
Solutions : (-2 �4) / 2 =-1�2  soit -3 et 1.
f '(x) < 0 sur ]-3 ; 1[ et f est strictement d�croissante.
f '(x) >0 sur ]-oo ; -3 [ et ]1 ; +oo[. ; f est strictement croissante
Pour x = -3, f pr�sente un maximum et pour x = 1, f pr�sente un minimum.

c. D�terminer une �quation de la droite T tangente � Cf au point d’abscisse −1.
Coefficient directeur de T en x = -1 : f '(-1) =-12.
f(-1)=10 ; le point de coordonn�es (-1 ; 10) appartient � T : 10 =-12*(-1) +b ; b =-2.
y = -12x-2. .
2. La fonction g est une fonction polyn�me du second degr�, il existe donc trois r�els a, b et c tels que : g(x) = ax2 +bx+c pour tout r�el x . On note Δ son discriminant.
a. D�terminer, � l’aide du graphique, le signe de a et le signe de Δ .
La parabole pr�sente un minimum, a >0 ; la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses, D < 0.
b. La fonction g est d�finie, pour tout r�el x, par g(x)=10x2+8x+8.
D�montrer que les courbes Cf et Cg ont un point commun d’abscisse −1 et qu’en ce point elles ont la m�me tangente.
x3+3x2−9x−1=10x2+8x+8.
x3-7x2−17x−9=0, cette �galit� est v�rifi�e pour x = -1.
Ordonn�e de ce point : 10*(-1)2 +8(-1)+8=10.
Equation de la tangente T � Cf en x = -1 : y = -12x-1
Coefficient directeur de la tangente � Cg en x = -1 : g'(x)=20x+8 ; g'(-1) =-12.
Le point (-1 ; 10) appartient � cette tangente : 10 = -12*(-1) +b ; b = -2.
y = -12x-2, il s'agit de T.
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