Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 19
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. On consid�re la fonction f d�finie sur R par f (x) =2x2+6x-8
Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste ?
a) f(x) =2(x-4)(x+1) ; b. f(x) = (2x+8)(2x-2) ; c. f(x) =2(x+4)(x-1) ; d. f(x) =2(x+3)(x-2).
Racine �vidente de 2x2+6x-8=0, x = 1 ; a et d sont �limin�es.
b ne convient pas, elle donne 4x2. R�ponse c.
2.Pour tout r�el x,(ex)2 / e−x est �gal � :
a) exp(x2+x) ; b) e3x c) e2 d) e−2.
e2x / e-x = e2x+x = e3x. R�ponse b.

3. Dans le plan muni d’un rep�re, soit C la courbe repr�sentative de la fonction g d�finie sur R
par g(x) = ex. L’�quation de la tangente � la courbe C au point d’abscisse 0 est :
a) y = -x-1 ; b) y= -x+1 ; c) y =x+1 d) y= x.
Coefficient directeur de la tangente en x = 0 : f '(0) = e0 = 1.
Ordonn�e du point d'abscisse x = 0 : f(0) =1. Ce point appartient � la tangente : y = x+b ; 1 = b. R�ponse c.
4.  On consid�re la fonction f d�finie sur R par f(x) =(-x+1)ex.
On note f ′ la fonction d�riv�e de la fonction f. Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste ?
a) f ′(x) = −xex ;  b) f ′(x) = (x − 2)ex ;  c) f ′(x) = (−x + 2)ex ; d) f '(x) = xe-x.
On pose u = -x+1 et v = ex ; u' = -1 ; v' = ex.
u'v+v'u =-ex+(-x+1)ex =-xex. R�ponse a.

5. Dans le plan muni d’un rep�re orthonormal, on consid�re la courbe repr�sentative d’une fonction 𝑓 d�finie et d�rivable sur R.

Parmi les propositions suivantes, laquelle n’est pas juste ?
a) f ′(−2)=0 ; b) f ′(3)=−2 faux ; c) f(0)=3  ; d) f '(0)=−2.

Sujet 20.
1.  Soit ABC un triangle tel que AB = 6, AC = 3 et l'angle BAC = p /3.


 2. Soit f une fonction telle que, pour tout nombre r�el h non nul,
( f (1+h)− f (1) ) / h = h2+3h−1.
Alors f ′(1) est �gal � .
a. h2 +3h−1 ; b. −1 ; c. 3 ; d. les donn�es sont insuffisantes pour d�terminer f ′(1).
On cherche la limite de  ( f (1+h)− f (1) ) / h soit celle de h2+3h−1 quand h tend vers z�ro.
Cette limite est �gale � -1. R�ponse b.
3. Soit f la fonction d�finie sur R par f (x) = (x +2)ex .
Alors, la fonction f ′ d�riv�e de f est donn�e sur R par :
a. f ′(x) = ex ; b. f ′(x) = (x +3)ex ;  c. f ′(x) = (−x −1)ex ; d. f ′(x) = (−x −1)ex /  e2x.
 On pose u =x+2 et v = ex ; u' = 1 et v' = ex.
u'v +v'u = ex +(x +2)ex = ex(x+3). R�ponse b.

4. Soit f une fonction telle que f (2) = 5 et f ′(2) = −1.
Dans un rep�re, la tangente � la courbe repr�sentative de f au point d’abscisse 2 a pour �quation :
a. y = −x −3 ; b. y = −x +3 ; c. y = −x +7; d. y = 5x −11.
Coefficient directeur de la tangente : f '(2) = -1.
Equation de la tangente : y = -x+b.
Le point de coordonn�es (x=2 et f(2) =5) appartient � la tangente : 5 = -1*2+b ; b = 7.
y = -x+7. R�ponse c.

5. Soit f une fonction d�finie et d�rivable sur R dont la courbe repr�sentative Cdans un rep�re est la courbe ci-dessous.

La tangente � la courbe Cf au point A (1 ; 4 / 3) passe par le point B (0 ;- 5 /3). Alors :
a. f ′(1) =1 / 3 ; b. f '(1) = 4 / 3 ; c. f '(1) = -5 / 3 ; d. f '(1) =3.
Coefficient directeur positif de la tangente : (yA-yB) / (xA-xB)= 3 ; f '(1) = 3. R�ponse d.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 19.

On administre � un patient un m�dicament par injection intraveineuse.
La premi�re injection est de 10 ml, puis toutes les heures on lui en injecte 1 ml.
On �tudie l’�volution de la quantit� de m�dicament pr�sente dans le sang en prenant le mod�le suivant :
 on estime que 20 % de la quantit� de m�dicament pr�sente dans le sang est �limin�e chaque heure ;
 pour tout entier naturel n, on note un la quantit� de m�dicament en ml pr�sente dans le sang au bout de n heures.
Ainsi, u0=10.
1. Justifier que u1=9.
u1 = 10x0,8 +1 = 9.
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, un+1=0,8 un+1.
un+1 = (1-20 / 100)un +1 =0,8 un+1.
On donne ci-dessous la repr�sentation graphique de la suite (un) :

3. Conjecturer la limite de la suite(un).
La suite semble tendre vers 5 mL.
On consid�re l’algorithme suivant :
U<--10
N<--0
Tant que U >5,1 faire
U<-- 0,8*U+1
N<--N+1
Fin du tant que
Afficher N
4. � quoi cet algorithme sert-il ?
Cet algotithme d�termine � partir de quelle valeur de n, un est inf�rieur ou �gal � 5,1.
5. � l’aide de l’extrait du tableau de valeurs de la suite (un) donn� ci dessous, donner la valeur de N � l’issue de l’ex�cution de cet algorithme.

N = 18 � la fin de l'ex�cution de l'algorithme.

Sujet 20.
Une entreprise fabrique q milliers d’objets, q ∈ [1 ; 20]. Le co�t total de fabrication, exprim� en euros en fonction de q, est donn� par l’expression :
C(q)= q3−18q2+750q +200.
1. a. Calculer le co�t total de fabrication de 5 000 objets.
C(5000) =53 -18 *52+750*5+200=3625 €.
b. D�terminer le co�t moyen de fabrication d’un millier d’objets lorsqu’on fabrique 5 000 objets.
3625 / 5 =725 €.
2. Le co�t moyen CM(q) de fabrication de q milliers d’objets, exprim� en euros, est donn� par l’expression :
CM(q) = C(q) / q = q2−18q +750+ 200 / q..
a. On note C′M la fonction d�riv�e, sur l’intervalle [1; 20], de la fonction CM.
Montrer que, pour tout q ∈ [1 ; 20], C′M (q)= 2(q −10)(q2 +q +10) /q2.
C'M(q) = 2q-18-200 /q2.
(q −10)(q2 +q +10) =q3+q2+10q-10q2-10q-100 =q3-9q2-100 ;
2(q −10)(q2 +q +10) =2q3-18q2-200 ;
2(q −10)(q2 +q +10) /q2 =2q-18-200 /q2 =C'M(q).
b. �tudier le signe de C′M et dresser le tableau de variation de la fonction CM sur l’intervalle [1; 20].
Solutions de (q −10)(q2 +q +10) =0.
(q2 +q +10) /q2est positif sur [1; 20].
La d�riv�e a le signe de q-10.
Si q < 10, C'M(q) < 0, CM(q) fonction strictement d�croissante.
Si q > 10, C'M(q) > 0, CM(q) fonction strictement croissante.
Si q = 10; C'M(q) = 0, CM(q) est minimale.

c. Quel est le co�t moyen minimal et pour quelle quantit� d’objets est-il obtenu ?
Le co�t moyen minimal est �gal � 690 € pour 10 000 objets vendus.

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 19.
On consid�re la fonction f d�finie sur l’intervalle [−2 ;2] par f(x)=2x3+2x2−2x+3 et 𝐂 sa repr�sentation graphique dans le rep�re suivant.


1. On consid�re la droite d d’�quation y =2x+3.
a. Montrer que d�terminer les abscisses des points d’intersection entre la droite d et la courbe 𝐂 revient � r�soudre l’�quation 2x(x2+x−2)=0 sur l’intervalle [−2 ;2].
2x3+2x2−2x+3 =2x+3 ; 2x3+2x2−4x =0 ; 2x(x2+x-2)=0
b. D�terminer les coordonn�es des points d’intersection entre d et 𝐂.
x = 0 et y =3 ;
x2+x-2=0, solution �vidente x = 1, soit y = 5 ; x = -2 et y =-1.
2. On consid�re la droite d' d’�quation y=2x+a o� a est un nombre r�el.
� l’aide du graphique, donner une valeur de a pour laquelle la droite d' et la courbe 𝐂 ont un seul point d’intersection.
Par exemple a = 10.
3. On note f ′ la fonction d�riv�e de f.
a. D�montrer que, pour tout nombre r�el x appartenant � l’intervalle [−2 ;2] , f '(x)=6(x+1)(x−1/3).
f '(x) =6x2+4x-2 = 2(3x2+2x-1).
Solution �vidente de 3x2+2x-1 =0 : x = -1; le produit des deux racines est �gal � ac soit -3; l'autre solution est x = 1/3.
3x2+2x-1=3 (x+1)(x-1 /3)  et f '(x) =6 (x+1)(x-1 /3)
b. �tudier les variations de f sur l’intervalle [−2 ;2].

f(x) est strictement d�croissante sur [-1 ; 1 /3 ].
f(x) est strictement croissante sur [-2 ; -1] union [1 / 3 ; 2 ].

Sujet 20.

La famille A d�cide de diminuer de 2% par mois sa quantit� de d�chets produite par mois � partir du 1er janvier 2020.
Au mois de d�cembre 2019, elle a produit 120 kg de d�chets.
1. Justifier qu’au bout de 2 mois, la famille A aura produit environ 115 kg de d�chets.
Au bout d'un mois : 120 x0,98 =117,6 kg ; au bout de 2 mois : 117,6 x0,98 =115,248 kg.
On admet que la quantit� de d�chets produits chaque mois conserve la m�me �volutio toute l’ann�e.

On mod�lise l’�volution de la production de d�chets de la famille A par la suite de terme g�n�ral an, o� an repr�sente la quantit�, en kg, de d�chets produits par la famille A n mois
apr�s d�cembre 2019.
Ainsi, a0 repr�sente la quantit� de d�chets produits durant le mois de d�cembre 2019, a1 repr�sente la quantit� de d�chets produits durant le mois de janvier 2020, etc.
2. a. D�terminer la nature de la suite (an).
an+1 / an = 0,98, suite gh�om�trique de raison 0,98 et de premier terme 117,6.
b. Pour tout entier naturel n, exprimer an en fonction de n.
an = 117,6 x0,98n.
c. D�terminer la quantit� totale de d�chets que produira la famille A durant l’ann�e 2020.
On arrondira le r�sultat � l’unit�.
S =117,6(1-0,9812) / (1-0,98) =1265,86 kg.
d. On donne le programme ci-dessous.
def S(n):
U = 128
 S = 0
 for k in range (n):
 U = 0.98*U
S = S + U
 return (S)
Que repr�sente le r�sultat renvoy� par la fonction si on entre l’instruction S(6) ?
S(6) repr�sente la quantit� de d�chets produit par la famille  pendant les six premiesr smois de l'ann�e.



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 19

Une r�sidence de vacances propose uniquement deux formules :
 la formule � pension compl�te � dans laquelle 3 repas par jour sont fournis ;
 la formule � demi-pension � dans laquelle sont fournis uniquement le petit d�jeuner et le d�ner.
Pour l’ann�e 2018, 65 % des clients ont choisi la pension compl�te ; les autres ont choisi la formule � demi-pension �.
Parmi les clients qui ont choisi la demi-pension, 30 % ont r�serv� l’option � m�nage � en fin de semaine. De plus, 70 % des clients qui ont choisi la pension compl�te ont r�serv� l’option m�nage.
On choisit un client au hasard parmi ceux de l’ann�e 2018 et l’on consid�re les �v�nements suivants :
C : le client a choisi la formule � pension compl�te � ;
M: le client a choisi l’option � m�nage �.

1. Recopier sur la copie et compl�ter l’arbre pond�r�.

2. Calculer P(C∩M).
P(C∩M) =0,65 x0,7 =0,455.
3. Montrer que la probabilit� que le client ait r�serv� l’option m�nage est �gale � 0,56.
P(M)=P(C n M) + P(non C n M) = 0,455 +0,35 x0,3 =0,56.
4. Calculer la probabilit� que le client ait choisi la formule � pension compl�te � sachant qu’il a r�serv� l’option m�nage.
PM(C) = P(M n C) / P(M) =0,455 / 0,56 =0,8125.
5. Voici la grille de tarifs de la r�sidence de vacances pour l’ann�e 2018:
Une semaine de pension compl�te : 800 €.
Une semaine de demi-pension : 650 €
Option m�nage : 50 €.
On note X la variable al�atoire �gale au montant pay� par un client de 2018.
Calculer P(X = 850).
Pension compl�te et m�nage : P(X = 850)=0,455
Sujet 20.
Pierre joue � un jeu dont une partie est constitu�e d’un lancer d’une fl�chette sur une cible suivi d’un tirage au sort dans deux urnes contenant des tickets marqu�s � gagnant � ou � perdant �
indiscernables.
• S’il tire un ticket marqu� � gagnant �, il pourra recommencer une partie.
• S’il atteint le centre de la cible, Pierre tire un ticket dans l’urne U1 contenant exactement neufs tickets marqu�s � gagnant � et un ticket marqu� � perdant �.
• S’il n’atteint pas le centre de la cible (donc m�me s’il n’atteint pas la cible), Pierre tire un ticket dans l’urne U2 contenant exactement quatre tickets marqu�s � gagnant � et six tickets
marqu�s � perdant �.
Pierre atteint le centre de la cible avec une probabilit� de 0,3.
On note les �v�nements suivants :
C : � Pierre atteint le centre de la cible � ;
G : � Pierre tire un ticket lui offrant une autre partie �.
1. Recopier l’arbre pond�r� ci-dessous et justifier la valeur 0,9.
Dans l'urne 1 il y a 9 tickets gagnants sur 10 tickets.

2. Compl�ter sur la copie l’arbre pond�r� en traduisant les donn�es de l’exercice.
3. Calculer la probabilit� de l’�v�nement C ∩G.
P(C ∩G) =0,3 x0,9 = 0,27.
4. Montrer que la probabilit� qu’� l’issue d’une partie Pierre en gagne une nouvelle est �gale � 0,55.
P(C ∩G)  +P(non C n G) = 0,27 +0,7 x0,4  =0,55.
5. Sachant que Pierre a gagn� une nouvelle partie, quelle est la probabilit� qu’il ait atteint le centre de la cible ? Arrondir le r�sultat � 10−3.
PG(C) = P(G n C) / P(G) = 0,27 / 0,55 =0,491.
 .


  

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