Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 21
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. (un) est la suite arithm�tique telle que u4 = 3 et u10 = 18. On peut affirmer que :
a) u0 = 7 ; b) u7 = 20,5  ; c) u12 = 23 ; d) u14 = −28.
u10-u4 = 18-3 = 15 = 6 r = r = 2,5.
u0 = u4-4 r =3-10=-7 ; u7 = -7 +7*2,5 = 10,5 ; u12 = -7 +12*2,5 =23. R�ponse c.
2. 2 + 3 + 4 + ⋯ + 999 + 1000 est �gal � :
a) 500 500 ; b) 498 999 ; c) 499 000 ; d) 500 499.
Suite arithm�tique de raison 1 et de premier terme 2.
Somme des 999 premiers termes S =999 (2+1000) / 2 = 500 499. R�ponse d.

3. (vn) est la suite g�om�trique de raison 0,3 telle que v0 = −3. On conjecture que la suite (vn) a pour limite :
a) 0;  b) +∞ ; c) −∞ ; d) −3.
vn = v0 x 0,3n = -3x 0,3n ; quand n tend vers plus l'infini, 0,3n tend vers z�ro.  R�ponse a.
4.  f est la fonction d�finie sur ℝ par f(x) = −2(x + 2)2 − 3. On peut affirmer qu’elle est :
a) d�croissante sur ]−∞ ; +∞[
b) d�croissante sur ]−2 ; +∞[
c) croissante sur ]−∞ ; 2[
d) d�croissante sur ]−3 ; +∞[.
f '(x) = -4(x+2) ; f '(x) = 0 pour x = -2. f '(x) > 0 pour x < -2 et f(x) est croissante.
f '(x) < 0 pour x > -2 et f(x) d�croissante. R�ponse b.

5. L’ensemble des solutions de l’in�quation x2 − 5𝑥 + 6 < 0 est
a) ]−∞; 2[ ∪ ]3; +∞[ ; b) ]−∞; −1[ ∪ ]6; +∞[ ; c) ]2 ; 3[ ; d) ]−1 ; 6[
Solutions de x2 − 5𝑥 + 6=0 ; discriminant : (-5)2-4*6=1.
solutions : x = (5 �1) / 2  soit 3 et 2.
Le coefficient a=1 �tant positif, x2 − 5𝑥 + 6 < 0 pour x compris entre 2 et 3. R�ponse c.

Sujet 22.
1. Sur la figure ci-dessous, nous avons trac� dans un rep�re orthonorm� la courbe repr�sentative C d’une fonction f d�rivable sur R et la tangente � C au point d’abscisse 4. Cette tangente est repr�sent�e par la droite D . On note f ' la fonction d�riv�e de la fonction f .

Le r�el f '(4) est �gal � : a) −1 ; b) −2 ;  c) 7 ; d) 1.
Coefficient de la tangent D : f '(4) = -2, d'apr�s le graphe. R�ponse b.

 2. Soit f la fonction d�finie sur R par f(x)=x3−2x2+1. On admet que f est une fonction d�rivable sur R. Dans un rep�re, une �quation de la tangente � la courbe repr�sentative de la fonction f au point d’abscisse 1 est :
a) y=−1 ; b) y = -x ; c) y = -x+1 ; d) y =x.
Coefficient directeur de la tangente en x = 1 : f '(x) = 3x2 -4x ; f '(1) =3-4 = -1.
Le point de coordonn�es x=1 ; f(1) =0 appartient � cette tangente.
Equation de la tangente : 0 = -1+b, b =1 ; y = -x+1. R�ponse c.
3. Pour tout r�el x , ex *e-3x / e-x est �gal � :
a) e−x ; b) e3x ; c) e−3x ; d) ex.
ex-3x-(-x)=e-x. R�ponse a.

4. Soit f une fonction polyn�me du second degr� dont la courbe repr�sentative dans un rep�re orthonorm� est donn�e ci-dessous.


Pour tout r�el x, une expression de f(x) est :
a) f(x)=x2+x−2 ; b) f(x)=−x2−4 ; c) f(x)=2x2+2x−4 ; d) f(x)=−3x2−3x+6.
f(x)=ax2 +bx +c ; f(0) = -4 = c ; f(1)=0=a+b-4  ; a+b = 4 (1) ;
f(-2) =0 =4a -2b -4 ; 2a-b-2=0 ; b =2a-2 ; repport dans (1) : a+2a-2 =4 ; a =2 ; b =2.
f(x) = 2x2+2x-4.  R�ponse c.

5. L’ensemble S des solutions de l’in�quation d’inconnue x r�el : −x2−2x+8 > 0 est :
a) S=[−4 ; 2] ; b) S=]−4 ; 2[ ; c) S=]−∞;−4]∪]2;+∞[ ; d) S={−4 ; 2} .
Solutions de −x2−2x+8 =0 ; x2 +2x-8 =0.
Discriminant  :22+4*8=36 = 62 ; x =(-2 �6) / 2 soit 2 et  -4.

 R�ponse b.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 21.

Une entreprise fabrique des pi�ces en acier, toutes identiques, pour l’industrie a�ronautique.
Ces pi�ces sont coul�es dans des moules � la sortie du four. Elles sont stock�es dans un entrep�t dont la temp�rature ambiante est maintenue � 25�C.
Ces pi�ces peuvent �tre model�es d�s que leur temp�rature devient inf�rieure ou �gale � 600�C et on peut les travailler tant que leur temp�rature reste sup�rieure ou �gale � 500�C. La temp�rature de ces pi�ces varie en fonction du temps.
On admet que la temp�rature en degr� Celsius de ces pi�ces peut �tre mod�lis�e par la fonction f d�finie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f(t)=1375e−0,075 t+25, o� t correspond au temps, exprim� en heures, mesur� apr�s la sortie du four.
1. Calculer la temp�rature des pi�ces � la sortie du four.
f(0) =1375+25=1400�C.
2. �tudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[. Ce r�sultat �tait-il pr�visible dans le contexte de l’exercice ?
f '(t) = 1375 x(-0,075) e-0,075t, n�gative ( le terme en exponentielle �tant positif).
f(t) est d�croissante.
Plong�e � l'air libre, la temp�rature de la pi�ce chaude ne peut que diminuer..
3. Les pi�ces peuvent-elles �tre model�es 10 heures apr�s la sortie du four ? Apr�s 14 heures ?
f(10) = 1375 e-0,75 +25 =674,5� C, valeur sup�rieure � 600 �C. Pas de modelage possible.
f(14) = 1375 e-1,05 +25 =516,2� C, valeur infp�rieure � 600 �C. Modelage possible.
4. On souhaite d�terminer le temps minimum d’attente en heures apr�s la sortie du four avant de pouvoir modeler les pi�ces.
a. Compl�ter l’algorithme donn�  pour qu’il renvoie ce temps minimum d’attente en heure (arrondi par exc�s � 0,1 pr�s).

b. D�terminer ce temps minimum d’attente. On arrondira au dixi�me.
1375e−0,075 t+25 < 600 ; 1375e−0,075 t < 575 ; e−0,075 t < 575 /1375 ; e−0,075 t < 0,41818.
-0,075 t > ln(0,41818 ) ; t > 11,7 heures.

Sujet 22.
Les r�sultats seront arrondis � l’unit�.
La quantit� (en kg) de d�chets m�nagers produite par habitant d’une ville de taille moyenne a �t� de 537 kg en 2019 et la municipalit� esp�re r�duire ensuite cette production de 1,5 % par an.
Pour tout entier naturel n, on note dn la quantit� (en kg) de d�chets m�nagers produit par habitant de cette ville durant l’ann�e 2019 + n, on a donc d0=537.
1. Montrer par un calcul que d1=0,985�d0.
Diminution de 1,5 % = multiplication par 1-0,015 =multiplier par 0,985.
 d1=0,985�d0.
2. Pour tout entier naturel n , exprimer dn+1 en fonction de dn .
dn+1 = 0,985 dn.
3. En d�duire la nature de la suite (dn) puis une expression de dn en fonction de n .
Suite g�om�trique de raison 0,985 et de premier terme 537.
dn = 537 x 0,985n.
4. On souhaite savoir � partir de quelle ann�e la production moyenne de d�chets produite par chaque habitant sera inf�rieure � celle enregistr�e en 2019 au niveau national, � savoir 513 kg. Pour cela, on consid�re l’algorithme suivant r�dig� en langage Python.
def ann�e ()
n=0
d=537
while d >513
n=n+1
d = 0,985*d
return n
a. Recopier et compl�ter l’algorithme afin de r�pondre au probl�me pos�
b. � partir de quelle ann�e la production moyenne de d�chets produite par chaque habitant sera-t-elle inf�rieure � celle enregistr�e en 2019 au niveau national ?
d1 = 528,94 ; d2 = 521 ; d3 = 513,2 ; d4 = 505,5.
A partir de 2019+4=2023, la production moyenne de d�chets produite par chaque habitant sera inf�rieure � celle enregistr�e en 2019 au niveau national.

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 21.
Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, on consid�re les points A(4 ;−1), B(3 ;4) et C( −1 ; 1).
1. Calculer le produit scalaire suivant :


2. a. Soit D le projet� orthogonal du point C sur la droite (AB), justifier que :

b. En d�duire la longueur AD.
3. D�terminer la hauteur du triangle ABC issue de C.
AC2 =(-5)2 +22 =29 ;  AD2 = 152 / 26 =225 / 26.
CD2 =AC2 - AD2 =29- 225 /26 =529 / 26 ; CD = racine carr�e ( 529 / 26)  = 23 /26�~4,51.
4. Calculer l’aire du triangle ABC.
AB x CD / 2 = 26� x23 / (26� x2) =23 / 2 = 11,5 cm2.

Sujet 22.

Dans un rep�re orthonorm� on consid�re le point A(−3 ; 5) et la droite (d) dont une �quation cart�sienne est −x+3y+2=0.
1. Tracer la droite (d).

2. D�terminer les coordonn�es d’un vecteur normal � la droite (d).
Un vecteur normal � la droite (d) a pour coordonn�es ( -1 ; 3).
3. D�terminer une �quation cart�sienne de la droite perpendiculaire � (d) et passant par A.
Coordonn�es du vecteur directeur de cette droite ( 1 ; -3) ; coefficient directeur de cette droite: a  = -3.
Equation r�duite : y = -3x+b.
A appartient � cette droite : 5 = -3 *(-3) +b ; b = -4. y = -3x-4 soit 3x +y +4=0.
4. En d�duire que le point H, projet� orthogonal de A sur la droite (d), a pour coordonn�es (−1;−1).

H appartient � la droite (d) : k+3 +3(3k+5)+2=0 soit 10k +20=0 ; k =-2  et xH = -1 ; yH = -1.
5. En d�duire la distance entre le point A et la droite (d).
AH2 =(-1-(-3))2 +(-1-5)2 = 22+62=40 ; AH = 40� = 2*10�.



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 21

Une entreprise de 1 000 employ�s est organis�e en 3 services � A �, � B � et � C � d’effectifs respectifs 450, 230 et 320 employ�s. Une enqu�te effectu�e aupr�s de tous les employ�s sur leur temps de parcours quotidien entre leur domicile et l’entreprise a montr� que :
 40 % des employ�s du service � A � r�sident � moins de 30 minutes de l’entreprise ;
 20 % des employ�s du service � B � r�sident � moins de 30 minutes de l’entreprise ;
 80 % des employ�s du service � C � r�sident � moins de 30 minutes de l’entreprise.
On choisit au hasard un employ� de cette entreprise et on consid�re les �v�nements suivants :
 A : l’employ� fait partie du service � A � ;
 B : l’employ� fait partie du service � B � ;
 C : l’employ� fait partie du service � C � ;
 T : l’employ� r�side � moins de 30 minutes de l’entreprise.
1. Justifier que P(A)=0,45 puis donner PA(T)
Le service A compte 450 employ�s parmi les 1000 employ�s : P(A) = 450 / 1000 = 0,45.
PA(T)=0,40.
2. Compl�ter l’arbre pond�r�.

3. D�terminer la probabilit� que l'employ� choisi soit du service � A � et qu’il r�side � moins de 30 minutes de son lieu de travail.
P(A n T) =0,45  x 0,4 =0,18.
4. Montrer que P(T)=0,482.
P(T) = P(A n T) +P(B n T) +P(C n T) = 0,18 +0,23 x0,2 +0,32 x 0,8 =0,482.
5. Sachant qu'un employ� de l’entreprise r�side � moins de 30 minutes de son lieu de travail, d�terminer la probabilit� qu'il fasse partie du service C.
PT(C) =P(T n C) / P(T)=0,32 x0,8 / 0,482 =0,531.
Sujet 22.
Les r�sultats seront donn�s sous forme de fractions irr�ductibles.
Une enqu�te a �t� men�e aupr�s de lyc�ens pour estimer la proportion de ceux qui ont d�j� consomm� du cannabis. Pour encourager les r�ponses sinc�res, on met en place le protocole suivant :
Chaque adolescent lance d’abord un d� �quilibr� � 6 faces et l’enqu�teur qui va l’interroger ne conna�t pas le r�sultat du lancer. � la question � Avez vous d�j� consomm� du cannabis ? �, l’adolescent doit r�pondre :
• � non � si le r�sultat du lancer est 5, qu’il ait ou non d�j� consomm� du cannabis ;
• � oui � si le r�sultat du lancer est 6, qu’il ait ou non d�j� consomm� du cannabis ;
• � oui � ou � non � dans les autres cas, mais de fa�on sinc�re.
On note :
 N : l’�v�nement l’adolescent a r�pondu � non � ;
 O : l’�v�nement l’adolescent a r�pondu � oui � ;
 C : l’�v�nement l’adolescent a d�j� consomm� effectivement du cannabis ;
 C̅ : l’�v�nement l’adolescent n’a jamais consomm� du cannabis.
Sur les lyc�ens qui ont particip� � cette enqu�te on constate que la probabilit� qu’un adolescent ait r�pondu � oui � est de 0,6 , soit p(O)=0,6.
On veut d�terminer la probabilit�, not�e p, qu’un adolescent ait d�j� consomm� du cannabis.
On a donc p(C)=p .
1. Justifier que la probabilit� qu’un adolescent ait r�pondu � oui � sachant qu’il n’a jamais consomm� de cannabis est 1 / 6 .
Il a r�pondu "oui" en mentant, il a donc obtenu un 5. La probabilit� d'obtenir 5 est �gale � 1 / 6.
2. On a repr�sent� en annexe l’arbre de probabilit�s repr�sentant la situation. Compl�ter l’arbre.

3. a. D�montrer que la probabilit� p qu’un adolescent ait d�j� consomm� du cannabis v�rifie l’�quation : 2 /3 p+1 / 6=3 / 5.
(1+4p) / 6 = 0,6 = 3 / 5 ; 1 /6 +4p /6 = 3 / 5 ; 1 / 6 +2p / 3 = 3 / 5.
 b. En d�duire la valeur de p .
2 p / 3 = 3 /5 -1 / 6 = (18-5) / 30 = 13 / 30 ; p = 13 / 20 = 0,65.
4. Sachant qu’un adolescent a r�pondu � non � pendant l’enqu�te, quelle est la probabilit� qu’il n’ait jamais consomm� de cannabis ?
PN( non C) = P ( N n non C) / P(N) =(1-13 / 20)  *5 *5/ (6 *2) =7 * 25 /(20 *12)=7 *5 / 8 =35 / 48 ~0,73.
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