Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 23
Exercice 1
. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. On consid�re la fonction d�finie sur R par f(x) = −x2 − x + 6. On admet que l’une
des quatre courbes ci-dessous repr�sente la fonction f. Laquelle ?  R�ponse c.
a �tant n�gatif, la parabole pr�sente un maximum. L'axe de sym�trie est tel que x = -b /(2a) = 1 /(-2) = -0,5.

2. On pose pour tout r�el x : A(x) = e2x. On a alors, pour tout x r�el :
a) A(x) = 2ex , b)
A(x) = exp(x2) ; c) A(x) = ex + e2 ; d) A(x) = (ex )2. R�ponse d.

3. Le plan est muni d’un rep�re orthonorm�.
Les droites d’�quations 2x + y + 1 = 0 et 3x − 2y + 5 = 0
a) sont s�cantes en A(1 ; 1). b) sont s�cantes en B(1 ; −1).
c) sont s�cantes en C(−1 ; 1). d) ne sont pas s�cantes.
  R�ponse c.
2xA + yA + 1 = 0 donne 2+1+1 =0, faux. A n'appartient pas � cette droite.
3xA -2 yA + 5 = 0 donne 3-2+5 =0, faux. A n'appartient pas � cette droite.
2xB + yB + 1 = 0 donne 2-1+1 =0, faux. B n'appartient pas � cette droite.
3xB -2 yB + 5 = 0 donne 3+2+5 =0, faux. B n'appartient pas � cette droite.
2xC + yC + 1 = 0 donne -2+1+1 =0, vrai. C appartient � cette droite.
3xC -2 yC + 5 = 0 donne -3-2+5 =0,
vrai. C appartient � cette droite..

4.  Le plan est muni d’un rep�re orthonorm�.
Les droites d’�quations x + 3y − 5 = 0 et 3x − y + 6 = 0 sont :
a) perpendiculaires. b) s�cantes non perpendiculaires. c) parall�les. d) confondues.
R�ponse a.
Coordonn�es d'un vecteur normal � la premi�re droite (1 ; -3).
Coordonn�es d'un vecteur normal � la seconde droite (3 ; -1).

5. On consid�re la fonction Python ci-dessous :
.
def suite(n)
u=2
k=0
while k < n
u = u+k
k=k+1
return u
Quelle valeur renvoie l’appel suite(5) ?
a) 5 ; b) 8 ; c) 12 ; d) 17.
R�ponse c.
u
2
2
3
5
8
12
k
0
1
2
3
4
5
k < 5 ?
vrai
vrai
vrai
vrai
vrai
faux

Sujet 24.
1. Dans un rep�re orthonorm�, un vecteur normal � la droite d’�quation 4x + 5y − 32 = 0 est le vecteur :

 R�ponse c.

2. Dans un rep�re orthonorm�, le projet� orthogonal du point A(7 ; 9) sur la droite d’�quation 4x + 5y − 32 = 0 est le point :
a) H(7 ; 0,8) ; b) H(3 ; 4) ; c) H(4 ; 3,2) ; d) H(4 ; 5).
R�ponse b.


3. Dans un rep�re orthonorm�, une �quation du cercle de centre A(−1 ; 3) et de rayon 2 est :
a) x2 − 1 + y2 = 22;  b) x2 + 2x + 1 + y2 − 6y + 9 = 2
c) (x + 1)2 + (y − 3)2 = 22 ; d) (x − 1)2 + (y + 3)2 = 22
. R�ponse c.

4. Dans un rep�re orthonorm�, la parabole d’�quation y = 3x2 − 9x + 5 a pour sommet le point S et pour axe de sym�trie la droite Δ. Les coordonn�es de S et l’�quation de Δ sont :
a) S(1,5 ; -7 /4) et D  : x=1,5 ; b)
S(1,5 ; -7 /4) et D  : y=-7 /4 ;
c) S(3 ; 5) et D  : x=3  ;d) S(3 ; 5) et D  : y=5.
Axe de sym�trie x = -b /(2a) =9 / 6= 1,5.
Sommet 1,5 et f(1,5) =3 *2,25 -9*1,5 +5 =-1,75 = -7 /4.
  R�ponse a.

5. On consid�re l’in�quation −3x2 + 9x − 5 > 0. L’ensemble S des solutions de cette in�quation est (x1 et x2 sont deux r�els tels que x1 < x2 pour les propositions b) et d)) :
a) aucune ; b) de la forme ] − ∞ ; x1 [ ∪ ] x2 ; +∞ [
c) ℝ ; d) de la forme ]
x1 ; x2 [.
La parabole pr�sente un maximum ( a  < 0). 
R�ponse d.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 23.

On consid�re la fonction f d�finie sur [0; +∞[ par f(x) =ex /(1+x).
On note Cf la repr�sentation graphique de f dans un rep�re du plan.
1. D�terminer les coordonn�es du point A, point d’intersection de la courbe Cf avec l’axe des ordonn�es.
x = 0 ; f(0) =1 ; A (1 ; 0).
2. La courbe Cf coupe-t-elle l’axe des abscisses ? Justifier la r�ponse.
ex est toujours positif ; 1+x est positif ; ex > 1+x ; f(x) > 1. La courbe ne coupe pas l'axe des abscisses.
3. On note f ′ la d�riv�e de la fonction f sur [0; +∞[. Montrer que, pour tout r�el x de l’intervalle [0; +∞[, f '(x) =x ex /(1+x)2.
On pose u = ex et v = x+1 ; u' = ex ; v' = 1 ; (u'v-v'u) / v2 =[(x+1)ex-ex) / (1+x)2 =x ex /(1+x)2.
4. �tudier le signe de f '(x) sur [0; +∞[. En d�duire le sens de variation de f sur [0; +∞[.
ex est positif ; un carr� est toujours positif ; x est positif.
f '(x) est positive et f(x) est strictement croissante sur [0; +∞[.
5. On note T la tangente � Cf au point A d’abscisse 1,6. La tangente T passe-t-elle par l’origine du rep�re ? Justifier la r�ponse.
Coefficient directeur de T = f '(1,6) =1,6 e1,6 /2,62 ~1,172.
f(1,6) =e1,6 / 2,6 ~1,905.
Equation de la tangente T : y = 1,6 e1,6 /2,62 x +b.
T passe par le point de coordonn�es (1,6 ; e1,6 / 2,6) : e1,6 / 2,6 =1,62 e1,6 /2,62  +b ;
 b =e1,6 / 2,6(1 -1,62 / 2,6) ~0,03, diff�rent de z�ro.
T ne passe pas par l'origine du rep�re.

Sujet 24.
On consid�re une fonction f d�finie et d�rivable sur l’intervalle [−4 ; 2]. La fonction d�riv�e de f est not�e f ′.
Dans le rep�re orthonorm� ci-dessous, la courbe C est la courbe repr�sentative de f sur l’intervalle [−4 ; 2].
Le point A est le point de la courbe C d’abscisse −1. La droite T est la tangente � la courbe C en A.

1. Par lecture graphique, donner la valeur de f ′(−1).
La tangente T �tant horizontale, f '(-1) = 0.
2. R�soudre, graphiquement, l’in�quation f ′(𝑥) ≤ 0.
f '(x) n�gative ou nulle ; f(x) d�croissante ou pr�sente un extr�mum :
[-4 ; -1] union [1,5 ; +2].
On admet que la fonction f est d�finie sur [−4 ; 2] par f(x)= (−x2 + 2,5x − 1)ex.
3. V�rifier que, pour tout r�el x de l’intervalle [−4 ; 2],  f '(x) = (−x2 + 0,5x + 1,5)ex .
On pose u = −x2 + 2,5x − 1 et v = ex ; u' = -2x+2,5 ; v' = ex ; u'v +v'u = (-2 x+2,5)ex +ex(−x2 + 2,5x − 1)=(−x2 + 0,5x + 1,5)ex .
4. �tudier le signe de la fonction f ′ sur l’intervalle [−4 ; 2].
5. En d�duire les variations de f sur l’intervalle [−4 ; 2].
ex est positif ; solutions de −x2 + 0,5x + 1,5=0 ; discriminant : 0,52 -4*(-1)*1,5 =6,25 =2,52.
Solutions : (-0,5 �2,5) / (-2) soit 1,5 et -1.
Le coefficient a �tant n�gatif, la parabole pr�sente un maximum et f '(x) > 0 sur ]-1 ; 1,5[, fonction strictement croissante.
f '(x)  < 0 sur [-4 ; -1[ union ]1,5 ; 2], f(x) strictement d�croissante.
f '(-1) = f '(1,5) =0  : f(x) pr�sente un minimum en x = -1 et un maximum en x = 1,5.

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 23.
Une entreprise a fabriqu� en un mois 1500 chaudi�res, dont 900 chaudi�res � chemin�e et 600 chaudi�res � ventouse.
On a constat�, dans ce lot, que :
 1 % des chaudi�res � chemin�es ont un d�faut
 6 % des chaudi�res � ventouses ont un d�faut.
On pr�l�ve au hasard le num�ro de s�rie d’une chaudi�re de la production de ce mois.
On consid�re les �v�nements suivants :
 C : � Le num�ro de s�rie est celui d’une chaudi�re � chemin�e �
 V : � Le num�ro de s�rie est celui d’une chaudi�re � ventouse �
 D : � Le num�ro de s�rie est celui d’une chaudi�re d�fectueuse �
1. Recopier et compl�ter sur la copie le tableau � double entr�e suivant :


nombre chaudi�res � chemin�e
nombre chaudi�res � ventouse
total
nombre chaudi�res d�fectueuses
9
36
45
nombre chaudi�res non d�fectueuses 891
564
1455
total
900
600
1500

2. Recopier et compl�ter l’arbre pond�r� suivant

:

3. Calculer la probabilit� que le num�ro de s�rie soit celui d’une chaudi�re d�fectueuse.
P(D)=45 / 1500 =0,03
4. D�terminer PD(V). Interpr�ter le r�sultat dans le contexte de l’exercice.

PD(V)= P( V n D) / P(D) =36 /45 =0,8.
La probabilit� qu'une chaudi�re soit � ventouse, sachant qu'elle est d�fectueuse, est �gale � 0,8.

5. Les �v�nements D et V sont-ils ind�pendants ?
P(D) =45 / 1500 =0,03 ; P(V) =600 /1500 = 0,4 ; P(D n V) =36 / 1500 =0,024.

P(D n V) = P(D) x P(V), les �v�nements sont  ind�pendants.

Sujet 24.

Laura re�oit chaque jour beaucoup de courriels. Pour se prot�ger des courriels ind�sirables, elle ach�te un logiciel anti-spam. Chaque jour, 35 % des courriels re�us par Laura sont
ind�sirables ; 95 % des courriels ind�sirables sont automatiquement bloqu�s par le logiciel anti-spam. Parmi les courriels qui ne sont pas ind�sirables, le logiciel anti-spam en bloque
2 %.
On choisit au hasard un courriel re�u par Laura. Chaque courriel a la m�me probabilit� d’�tre choisi. On consid�re les �v�nements suivants :
- I : � le courriel choisi est ind�sirable �,
- S : � le logiciel anti-spam bloque le courriel choisi �.
1. Compl�ter  l’arbre de probabilit� traduisant la situation.

2. Calculer la probabilit� que le courriel re�u par Laura ne soit pas ind�sirable et soit bloqu� par le logiciel anti-spam.
P(non I n S) =0,65 x0,02 =0,013.
3. Montrer que P(𝑆) = 0,3455.
4. Le logiciel anti-spam a bloqu� un courriel re�u par Laura. Calculer la probabilit� que ce courriel soit ind�sirable.
PS(I) =P(S n I) / P(S) = 0,3325 / 0,3455 =0,962.
5. Le fournisseur du logiciel anti-spam affirme que son logiciel se trompe dans moins de 2 % des cas. Est-ce vrai ? Justifier votre r�ponse.
P(I n non S) + P (non I n S )=0,35 x0,05 +0,65 x0,02 =0,0305 ( 3,05 % sup�rieur � 2 %). C'est faux.



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 23

Un jeu vid�o fait �voluer un personnage sur un parcours sem� d’obstacles. Au d�but du parcours, ce personnage est dot� de 1 000 pions noirs dans son sac et il n’a pas de pion blanc.
Le nombre de pions noirs diminue au cours du jeu.
Le personnage gagne 10 pions blancs par minute jou�e.
Chaque partie est chronom�tr�e et dure 45 minutes. Au bout des 45 minutes, la partie s’arr�te et le joueur a gagn� si le nombre de pions blancs gagn�s est sup�rieur ou �gal au nombre de pions noirs du sac.
1. Etude de l’�volution du nombre de pions bl
un enancs
On note un le nombre de pions blancs obtenus au bout de n minutes de jeu.
Ainsi u0=0.
D�terminer la nature de la suite (un) et en d�duire, pour tout entier n, l’expression de un fonction de n.
un = 10n, suite arithm�tique de raison r = 10 et de premier terme z�ro.
2. Etude de l’�volution du nombre de pions noirs.
Lucas estime qu’au cours d’une partie, le nombre de ses pions noirs diminue de 2 % par minute. Il voudrait savoir si cette �volution est suffisante pour gagner, ou s’il doit poursuivre son entrainement.
On note vn le nombre de pions noirs restant � la n-i�me minute.
Ainsi v0=1000.
a. Justifier que v1=980.
Diminue de 2 % signifie  multiplier par 1-2 /100 = 0,98.
v1 = 0,98 v0.
b. D�terminer la nature de la suite (vn) et en d�duire, pour tout entier n, l’expression de v en fonction de n.
Suite g�om�trique de raison 0,98 et de premier terme 1000.
vn = 1000 *0,98n.
3. On a calcul� les premiers termes des suites (un) et (vn) � l’aide d’un tableur. La feuille de calcul est donn�e ci-dessous.
Lucas peut-il gagner la partie ?


Lucas peut gagner si un > vn avec n < 45.
u43 = 430 ; v43 =419 ; Lucas peut gagner.


Sujet 24.
Durant le mois de janvier 2020, une entreprise produit 2 500 flacons de parfum ce qui correspond exactement au nombre de flacons command�s. Le propri�taire de l’entreprise
d�cide d’augmenter chaque mois la production de 108 flacons et il esp�re que le nombre de flacons command�s augmentera chaque mois de 3,8 %.
On consid�re la suite (fn ) o� pour tout entier naturel n, fn mod�lise le nombre de flacons produits lors du mois de rang n apr�s janvier 2020 ; ainsi f0 est le nombre de flacons
produits en janvier 2020, f1 le nombre de flacons produits en f�vrier 2020, etc.
De la m�me mani�re, on consid�re la suite (cn) o� pour tout entier naturel n, cn mod�lise le nombre potentiel de flacons command�s lors du mois de rang n apr�s janvier 2020. On a
donc f0 = c0 = 2 500.
1. D�terminer, en expliquant les calculs effectu�s, le nombre de flacons produits et le nombre potentiel de flacons command�s en f�vrier 2020.
f1 = 2500 +108 =2608 ; c1 =2500 x1,038 =2595.
2. D�terminer la nature des suites (fn) et (cn).
(fn)  ; suite arithm�tique de raison r = 108 et (cn) suite g�om�trique de raison 1,038.
3. Exprimer, pour tout entier n, fn et cn en fonction de n.
cn = 2500 x 1,038n ; fn = 2500 +108n.
4. On admet que, selon ce mod�le, au bout d’un certain nombre de mois le nombre potentiel de flacons command�s d�passera le nombre de flacons produits.
Reproduire et compl�ter sur la copie l’algorithme, �crit en Python, afin qu’apr�s son ex�cution la variable n contienne le nombre de mois � attendre apr�s le mois de janvier 2020 pour que le nombre
potentiel de flacons command�s d�passe le nombre de flacons produits.
n =0
f = 2500
while  c < f
n=n+1
f =f+ f+108
c =c+c *1,038
5. De d�but janvier 2020 � fin d�cembre 2020, la production globale d�passera-t-elle le nombre de commandes potentielles ? Expliquer votre d�marche.
Somme des 12 premiers termes de la suite arithm�tique de premier terme 2500 et de douxi�me terme 2500 +11 x108=3688
Nombre de flacons produits : 12(2500 +3688) / 2 = 37 128.
Somme des 12 premiers termes de la suite g�om�trique de premier terme 2500 et de raison 1,038.
Nombre de flacons command�s : 2500(1-1,03812) /(1-1,038)= 37 136.
La production reste inf�rieure aux commandes potentielles.
 .



  

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