Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 25
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, l’ensemble des points M de coordonn�es (𝑥, 𝑦)
v�rifiant : (x + 1)2 + (y − 1)2 = 9 est :
a) un cercle ; b) une droite ; c) une parabole ; d) l’ensemble vide.
Cercle de centre (-1 ; 1) et de rayon 3.
 2. Combien y-a-t-il de fonctions polyn�mes du second degr� qui s’annulent en 1 et en 3 ?
a) 0 ; b) 1 seule ; c) 2 ; d) une infinit�.
P(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.

3. Une fonction polyn�me du second degr� :
a) est n�cessairement de signe constant sur R
b) n’est jamais de signe constant sur R
c) est n�cessairement positive sur R
d) peut �tre ou non de signe constant sur R. R�ponse d.
Elle est de signe constant si le discriminant est n�gatif ( la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses).
4.  Pour tout r�el x, e2x+1 =
a) e2x + e ; b) e2x � e vrai ; c) (ex+1)2 ; d) (2x + 1) � e.

 5. Dans un rep�re orthonorm�, la droite d d’�quation cart�sienne 2x − 5y − 4 = 0
a) coupe l’axe des ordonn�es au point de coordonn�es (0 ; −4).
Faux,  2 *0 -5*(-4)-4 =-2, diff�re de z�ro.
b) passe par le point de coordonn�es (2 ; 0,2).
Faux : 2*2-5*0,2-4 =-1 diff�re de z�ro.
c) admet  pour vecteur normal le vecteur de coordonn�es (2 ; -5). Vrai.
d) admet pour vecteur directeur le vecteur de coordonn�es (2 ; -5).


Sujet 26.
1. Pour tout r�el x, e2x / ex+1 est �gale � :
a) ex−1 ; b) e3x+1 ;  c) 2x/(x+1) ; d) e.
e2x-(x+1) =ex-1. R�ponse b.

 2. Dans le plan muni d’un rep�re, les courbes repr�sentatives des fonctions
f(x)=15x2+10x−1 et g(x)=19x2−22x+10 ont :
a) aucun point d’intersection
b) un seul point d’intersection
c) deux points d’intersection
d) quatre points d’intersection.
15x2+10x−1=19x2−22x+10 ; 4x2-32x +11 = 0 ; discriminant : (-32)2 -4*4*11=848.
Le discriminant �tant positif, les courbes ont deux points d'intersection.

R�ponse c.

3. Le plan est rapport� � un rep�re orthonorm�. Le cercle de centre A de coordonn�es ( 3 ; - 1) et de rayon 5 a pour �quation cart�sienne :
a) ( x + 3)2 + ( y- 1)2 = 25
b) ( x− 3)2 + ( y+1)2 = 5
c) ( x + 3)2 + ( y- 1)2 = 5
d) ( x− 3)2 + ( y+1)2 = 25. R�ponse d.

4. Dans un rep�re orthonorm�, la droite d d’�quation cart�sienne 3 x + 2 y + 4 = 0 admet un vecteur normal de coordonn�es :
a) (2−3) ; b) (−3 ; 2) ; c) (3 ; 2) ; d) (2 ; 3).  R�ponse c.

5. Le plus petit entier naturel n tel que la somme 1+2+3+4+⋯+n soit sup�rieure � 5000 est �gal � :
a) 1000 ; b) 500 ; c) 200 ; d) 100
Somme des n premiers termes d'une progression arithm�tique de raison 1 et de premier terme 1 :
si n=100 : 100(1+100 ) / 2 =5050 ; n(1+n) / 2 > 5000 ; n2+n >10000 ; n2+n -10000 > 0.
n2+n -10000 =0 ; discriminant : 1+40000 = 40001 ~2002; solution retenue (-1+200) / 2 ~100.  R�ponse a.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 25.

Le principe d’un Escape Game est le suivant : une �quipe de participants est enferm�e � l’int�rieur d’une salle � th�me et doit r�ussir � en sortir en moins d’une heure (on parle alors
de partie r�ussie). Au-del� d’une heure, les participants sont lib�r�s et la partie est perdue.
Un exploitant d’Escape Game propose � ses participants de faire deux parties � la suite : la premi�re partie se d�roule dans la salle � th�me � Espion �, la seconde partie dans la salle � th�me � Mus�e �. Il dispose des donn�es suivantes :
 lorsqu’une �quipe joue dans la salle � th�me � Espion �, la probabilit� qu’elle r�ussisse sa partie � Espion � est �gale � 0,5 ;
 lorsqu’une �quipe a r�ussi la partie � Espion�, la probabilit� qu’elle r�ussisse sa partie � Mus�e � est �gale � 0,6 ;
 lorsqu’une �quipe n’a pas r�ussi la partie � Espion �, la probabilit� qu’elle r�ussisse sa partie � Mus�e � est �gale � 0,45.
Une �quipe est choisie au hasard. On note les �v�nements suivants :
 E : � l’�quipe r�ussit la partie � Espion � ;
 M : � l’�quipe r�ussit la partie � Mus�e �.
1. Recopier et compl�ter l’arbre de probabilit�s suivant :

2. D�terminer la probabilit� que l’�quipe r�ussisse les deux parties.
P(E n M)=0,5 x0,6 = 0,30.
3. Montrer que la probabilit� que l’�quipe r�ussisse la partie � Mus�e � est �gale � 0,525.
P(E n M) + P(non E n M) =0,30 +0,5 x0,45 =0,525.
4. Quelle est la probabilit� qu’une �quipe �choue � la partie � Espion � sachant qu’elle a r�ussi la partie � Mus�e � ? On donnera la r�ponse arrondie � 10−2.
PM (E) = P (E n M) / P(M) =0,3 / 0,525 ~0,57.
5. Pour chacune des deux parties qui sont gagn�es, une �quipe re�oit 2 € de r�duction pour une prochaine visite. Elle peut donc recevoir 0, 2 ou 4 € de r�duction.
Si un tr�s grand nombre d’�quipes jouent les deux parties, quel est le montant moyen de la r�duction obtenue � la fin des deux parties ? Expliquer la d�marche.
On d�finit une variable al�atoire X ayant pour valeur la r�duction obtenue.
xi
 0
 2
 4
P(X=xi)
 0,275
 0,20 +0,225 = 0,425
 0,30
R�duction moyenne : 2 x0,425 +4 x0,30 =2,05 €.


Sujet 26.
On consid�re la fonction d�rivable f d�finie sur R par f(x)=8x3−6x2−2. On note f ′ la fonction d�riv�e de la fonction f. Soit C la courbe repr�sentative de f dans un plan muni d’un rep�re orthogonal.
1. a. Justifier que pour tout r�el x, f(x) = ( x- 1 ) ( 8x2+ 2x +2 ).
On d�veloppe ( x- 1 ) ( 8x2+ 2x +2 ) =8x3+2x2+2x-8x2-2x-2=f(x)
b. En d�duire que la courbe C coupe l’axe des abscisses en un seul point A dont on donnera les coordonn�es.
Solution de ( x- 1 ) ( 8x2+ 2x +2 ) =0 :
x-1 =0 soit x = 1.
8x2+ 2x +2 =0 ; discriminant : 22-4*2*8 = -60. Le discriminant �tant n�gatif, 8x2+ 2x +2 =0ne poss�de pas de solution r�elle.
Ordonn�e de A : f(1) =8-6-2=0 ; A(1 ; 0).
2. a. Justifier que pour tout r�el x, f '(x) =12x(2x−1).
f '(x)  = 24x2-12x = 12x(2x-1)
b. En d�duire le tableau de variations de la fonction f.

3. Le point B de coordonn�es (0 ;-2,5 ) appartient-il � la tangente T � la courbe C au point B d’abscisse x =0,5 ? Justifier.
Coefficient directeur de T : f '(0,5) =0.
Equation de la tangente : y = b = f(0,5) = -2,5.
B appartient � la tangente.

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 25.
En France m�tropolitaine, 2018 a �t� l'ann�e la plus chaude d’apr�s les relev�s m�t�orologiques. La temp�rature moyenne y a �t� de 14 �C; elle a d�pass� de 1,4 �C la normale de r�f�rence calcul�e sur la p�riode 1981-2010. (Source : site M�t�o France)
1. Pour mod�liser la situation, on consid�re l’ann�e 2018 comme l’ann�e z�ro et on suppose que cette hausse moyenne de 1,4�C par an se poursuit chaque ann�e. Pour tout entier naturel n, on note alors Tn la temp�rature moyenne annuelle en France pour l’ann�e 2018+n.
a. Quelle est la nature de la suite (Tn) ainsi d�finie ? On donnera son premier terme et sa raison.
Suite arithm�tique de raison r = 1,4 et de premier terme T0 =14.
b. On consid�re qu’au-del� d’une temp�rature moyenne de 35�C les corps ne se refroidissent pas et il devient insupportable pour les humains de continuer � habiter cette r�gion que l’on qualifie alors d’inhabitable. Selon le mod�le consid�r�, en quelle ann�e la France deviendrait-elle inhabitable pour les humains ? Justifier.
Tn =14 +1,4 n = 35 ; 1,4 n = 35-14=21 ; n = 21 / 1,4 =15 (ann�e 2018+15 =2033).
2. � cause du r�chauffement climatique, certaines r�gions risquent de conna�tre une baisse de 10 % par an des pr�cipitations moyennes annuelles mesur�es en millim�tres (mm). Dans une r�gion du nord de la France, les pr�cipitations moyennes annuelles �taient de 673 mm en 2018. On consid�re l’ann�e 2018 comme l’ann�e z�ro et on suppose que cette baisse de 10 % par an se poursuit chaque ann�e. Pour tout entier naturel n, on note Pn les pr�cipitations annuelles moyennes en mm dans cette r�gion pour l’ann�e 2018+n.
a. Quelle est la nature de la suite (Pn) ainsi d�finie ? On donnera son premier terme et sa raison.
Suite g�om�trique de raison 1-10 /100 = 0,9 et de premier terme P0 =673.
b. Pour tout entier naturel n, exprimer Pn en fonction de n.
Pn = P0x0,9n.
c. On donne le programme Python suivant :
def precipitations(J):
I=673
n=0
while I > J:
I = 0.9*I
n = n+1
return n+2018
L’ex�cution de � precipitations(300) � renvoie la valeur 2026 . Que repr�sente cette valeur pour le probl�me pos� ?
A partir de 2026, les pr�cipitations moyennes dans cette r�gion seront inf�rieures � 300 mm.

Sujet 26.

Un parfumeur propose l’un de ses parfums, appel� � Fleur Rose �, et cela uniquement avec deux contenances de flacons : un de 30 ml ou un de 50 ml. Pour l'achat d'un flacon � Fleur Rose �, il propose une offre promotionnelle sur un autre parfum appel� � Bois d’�b�ne �. On dispose des donn�es suivantes :
 58 % des clients ach�tent un flacon de parfum � Fleur Rose � de 30 ml et, parmi ceux-l�, 24 % ach�tent �galement un flacon du parfum � Bois d’�b�ne � ;
 42 % des clients ach�tent un flacon de parfum � Fleur Rose � de 50 ml et, parmi ceux-l�, 13 % ach�tent �galement un flacon du parfum � Bois d’�b�ne �.
On admet qu’un client donn� n’ach�te qu’un seul flacon de parfum � Fleur de Rose � (soit en 30 ml soit en 50 ml), et que s’il ach�te un flacon du parfum � Bois d’�b�ne �, il n’en ach�te aussi qu’un seul flacon.
On choisit au hasard un client achetant un flacon du parfum � Fleur Rose �. On consid�re les �v�nements suivants :
 F : � le client a achet� un flacon � Fleur Rose � de 30 ml � ;
 B : � le client a achet� un flacon � Bois d’�b�ne �.
1. Construire un arbre pond�r� traduisant les donn�es de l’exercice.

2. Calculer la probabilit� P(F∩B).
P(F∩B)=0,58 x0,24 =0,1392.
3. Calculer la probabilit� que le client ait achet� un flacon � Bois d’�b�ne �.
P(F∩B) + P(non F∩B)=0,1392 +0,42 x0,13 =0,1938
4. Un flacon � Fleur Rose � de 30 ml est vendu 40 €, un flacon � Fleur Rose � de 50 ml est vendu 60 € et un flacon � Bois d’�b�ne � 25 €. On note X la variable al�atoire correspondant au montant total des achats par un client du parfum � Fleur Rose �.
a. D�terminer la loi de probabilit� de X.
xi
 0
 40
 65
 85
P(X=xi)
 0,3654
 0,4408
 0,1392
 0,0546

b. Calculer l’esp�rance de X et interpr�ter le r�sultat dans le contexte de l’exercice.
E(X) =40 x0,4408 +65 x0,1392 +85 x0,0546 =17,632 +9,048 +4,641 =31,32 € ( prix moyen d'un achat).



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 25

Soit f la fonction d�finie sur [0;+∞[ par f(x)=−x2+2x+4. Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, on note C sa courbe repr�sentative.
1. D�terminer les variations de la fonction f sur [0;+∞[ .
f '(x) = -2x+2.
Si x > 1, f '(x) est n�gative et f(x) est strictement d�croissante.
Si x appartient � [0 ; 1[, f '(x) est positive et f(x) est strictement croissante.
Pour x = 1, f '(x) =0, f(x) pr�sente un maximum.
2. D�terminer la valeur exacte de l’abscisse du point A, intersection de la courbe C et de l’axe des abscisses, puis en donner une valeur approch�e � 10−2 pr�s.
−x2+2x+4=0 ; discriminant : 22-4*(-1)*4 =20 =( 2*5�)2.
Solution retenue : (-2-2*5�) / (-2)=1+5�~3,23.
3. On note T la tangente � la courbe C au point B d’abscisse 2.
D�terminer l’�quation r�duite de la droite T.
Coefficient directeur : f '(2) = -2*2+2 = -2.
y = -2x +b ;
B (2 ; f(2) =4) appartient � T : 4 = -2*2+b ; b = 8.
y = -2x+8.
4. Tracer la droite T sur le graphique fourni.

5. On admet que la courbe C est toujours en-dessous de la droite T.
La soci�t� Logo re�oit une commande de l’entreprise RapidResto, qui lui demande de confectionner des logos dans des plaques rectangulaires de largeur 4 dm et de hauteur 8 dm selon le mod�le ci-dessous. Le bord sup�rieur du logo est mod�lis� par la courbe C trac�e dans le rep�re orthonorm� dont l’unit� graphique est le d�cim�tre (dm). Les figures ci-dessous ne sont pas � l’�chelle.
Dans un souci d’�conomie, l’entreprise Logo esp�re pouvoir r�aliser deux logos identiques dans une seule plaque, en la coupant dans sa diagonale. Est-ce possible ? Justifier � l’aide des questions pr�c�dentes.
Cela est possible, la courbe C �tant en dessous de T.
Sujet 26.
D’apr�s l’ADEME (Agence De l’Environnement et de la Ma�trise de l’�nergie), chaque fran�ais a produit une masse moyenne de 365 kg de d�chets m�nagers en 2018.
Un maire, �tant inform� que la masse moyenne de d�chets m�nagers dans sa commune en 2018 �tait de 400 kg par habitant, d�cide d’une campagne annuelle de sensibilisation au recyclage qui conduit � une r�duction de cette production de 1,5 % par an, et cela d�s l’ann�e 2019.
On mod�lise alors la masse moyenne de d�chets m�nagers par habitant calcul�e en fin d’ann�e dans cette commune par une suite (dn) o� pour tout entier naturel n, dn correspond � la masse moyenne de d�chets m�nagers par habitant, en kg, pour l’ann�e 2018+ n. Ainsi, d0=400.
1. Prouver que d1=394. Interpr�ter ce r�sultat.
d1 = 400 (1-1,5 /100) = 400 x0,985 =394.
2. a. D�terminer la nature de la suite (dn). Pr�ciser sa raison et son premier terme.
Suite g�om�trique de raison 0,985 et de premier terme 400.
b. Pour tout entier naturel n, exprimer dn en fonction de n.
dn = 400 x0,985n.
3. a. D’apr�s le tableau de valeurs suivant, en quelle ann�e la masse moyenne de d�chets m�nagers par habitant deviendra-t-elle inf�rieure � 365 kg ?
n
 4
 5
 6
 7
 8
dn
 376,53
 370,89
 365,32
 359,84
 354,45
n = 7, ann�e 2019+7 = 2026.
b. �crire une fonction Python qui retourne l’ann�e � laquelle la masse moyenne de d�chets m�nagers par habitant de la commune devient inf�rieure � 365 kg.
 def masse(J):
I=400
n=0
while I > 365 :
I = 0.985*I
n = n+1
return n+2019


  

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