Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 27
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. Soit g la fonction d�finie sur R par g(x))=e100x. Alors :
a) g est croissante sur R. vrai ; b) g est d�croissante sur R ; c) g change de sens de variation sur R ;
d) aucune des propositions pr�c�dentes.

 2. Soit f la fonction d�finie sur 𝐑 par f(x)=100x2+10x+1. Dans le plan muni d’un rep�re orthogonal, la courbe repr�sentative de la fonction f est une parabole dont l’axe de sym�trie a pour �quation :
a) x = 10 ; b) x=10 ; c) x=0,05 ; d) x = -0,05 vrai.
x = -b / (2a) = -10 / 200 =-0,05.

3. Soit a et b les fonctions d�finies sur 𝐑 par a(x)=3x2+15x+1 et b(x)=25x2+5x−100. Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm� les courbes repr�sentatives des fonctions a et b ont :
a) aucun point d'intersection ; b) un point d'intersection ; c) 2 points d'intersection, vrai ; d) 4 points d'intersection.
3x2+15x+1 =25x2+5x−100 ; 22x2-10x−101=0 ; discriminant : (-10)2 -4*(-101)*22=8988.
Le discriminant est positif, donc 2 points d'intersection.
4.  La somme 1+5+52+⋯+510 est �gale � :
a) 2 441 406 ; b) 271 ; c) 555 ; d) 12 207 031. Vrai.
Somme des dix premiers termes d'une suite g�om�trique de raison 5 et de premier terme 1.
S = (1-511) /(1-5)=12 207 031.

 5. Soit f la fonction d�finie sur 𝐑 dont la repr�sentation graphique Cf est donn�e ci-dessous. On sait de plus que la courbe Cf admet deux tangentes horizontales : une au point d’abscisse −1 et l’autre au point d’abscisse 3.

Alors le r�el f ′(−1)xf ′(3) est :
a) strictement positif ; b) strictement n�gatif ; c) �gal � 0 vrai ; d) �gal � f ′(−3).
Si la tangente est horizontale, f '(-1) = f '(3) = 0.


Sujet 28.
1. La droite D de vecteur directeur de coordonn�es (-3 ; 1) passant par A(−1 ; 2) a pour �quation :
a) −3x+y−5=0 ; b) x+3y−5=0 ; c) x−3y−5=0; d) 3x+y+1=0.
Equation r�duite y = -x / 3 +b.
La droite passe par A :  2 = 1 /3 +b ; b = 5 /3.
y = -x /3 +5 /3 soit 3y = -x+5 ; x+3y-5=0.  R�ponse b.

 2. On consid�re la droite d d’�quation 5x−8y+9=0. Alors :
a) A(6 ; 7) appartient � D. Faux. 5*6-8*7+9= -17 dif�re de z�ro.
b) Le vecteur de coordonn�es (5 ; 8) est un vecteur normal � D. Faux. ( il aurait fallu �crire ( 5 ; -8))
c) D coupe l’axe des ordonn�es au point B(0;1). Faux.
y = 0 ; 5x+9=0 ; x = -9 / 5.
d) D est parall�le � la droite D′ d’�quation 2,5x−4y+2=0.
Coordonn�es d'un vecteur normal � D' ; ( 2,5 ; -4) ou (5 ; -8). R�ponse d.

3. On consid�re la fonction f dont la repr�sentation graphique Cf est donn�e. La droite D est la tangente � Cf au point A(1;1). Le point B(0;−1) appartient � la droite D. Le nombre d�riv� f ’(1) est �gal � :
a) 1 : b)0,5 ; c) 2 ; d) -2.
(yB-yA) / (xB-xA) = -2 / (-1) = 2. R�ponse c.
4. On consid�re une fonction f polyn�me du second degr� dont le tableau de signes est donn� ci-apr�s :

Une expression de f(x) peut �tre :
a) 2x2+5x−2 ; b) −x2+1 ; c) - x2+x+2 ; d) x2+x−2.
2*(-1)2 +5*(-1)-2 =-5 diff�re de z�ro ;
-22 +1 =-3 diff�re de z�ro.
-(-1)2+(-1)+2 =0 ; -22 +2+2=0.   R�ponse c.

5. On consid�re la fonction f d�finie sur R par f(x)=xex.
Alors la fonction d�riv�e de f, not�e f ′ est d�finie sur R par :
a) f ′(𝑥)= ex ; b) f ′(𝑥)=(x+1)ex ; c) f ′(𝑥)=e ; d) f ′(x)= x2ex.
On pose u = x et v =ex; u' = 1 ; v' = ex.
u'v +v'u = ex+xex =(x+1)ex. R�ponse b.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 27.

Dans le plan muni d’un rep�re, on a trac� la courbe repr�sentative Cf d’une fonction f d�finie et d�rivable sur R. On note f ′ la d�riv�e de f. On sait que la courbe Cf admet exactement deux tangentes horizontales :
 l’axe des abscisses comme tangente � la courbe Cf au point A(-1 ; 0) ;
 la droite TB comme tangente � la courbe Cf au point B(1 / 3;−32 / 27).

1. Par lecture graphique, donner les solutions de l’�quation f(x)=0.
x = -1 et x = 1.
La fonction f est d�finie sur R par f(x)=x3+x2−x−1. On note f ′ la d�riv�e de f.
2. D�terminer f ′(x) pour tout r�el x.
f '(x) =3x2+2x-1.
f '(x) s'annule pour x = 1 / 3 et x = -1.
f '(x) est n�gative sur ]-1 ; 1 /3[ ; f est d�croissante.
f '(x) > 0 sur ]-oo ; -1[ union ]1  /3 ; +oo[ ; f(x) est croissante.
f '(-1) = f '(1/3) =0; f(x)pr�sente deux extr�mums.
3. En d�duire le tableau de variations de f.

4. En utilisant ce qui pr�c�de, d�terminer la position relative de la courbe Cg de la fonction g d�finie sur R par g(x)=x3+x2 et de la droite D d’�quation y=x+1.
g(x) -y = x3+x2 -x-1= f(x).
f(x) > 0 si x > 1 : g(x) > y ; Cg est au dessus de  la droite D.
f(x) < 0 si x < 1 : g(x) < y ; Cg est en dessous de  la droite D.
Pour x = 1, la droite est tangente � Cg.


Sujet 28.
Dans un a�roport, les portiques de s�curit� servent � d�tecter les objets m�talliques que pourraient emporter certains voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique. On note :
 S l’�v�nement � le voyageur fait sonner le portique �.
 M l’�v�nement � le voyageur porte un objet m�tallique �.
On consid�re qu’un voyageur sur 500 porte sur lui un objet m�tallique.
On remarque que :
 Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet m�tallique, la probabilit� que le portique sonne est �gale � 0,98.
 Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet m�tallique, la probabilit� que le portique ne sonne pas est aussi �gale � 0,98.
1. Recopier et compl�ter l’arbre de probabilit�s ci-dessous illustrant cette situation.
2. Montrer que : P(S)=0,021 92.

3. On suppose qu’� chaque fois qu’un voyageur franchit le portique, la probabilit� que ce portique sonne est �gale � 0,02192, et ce de fa�on ind�pendante des �ventuels d�clenchements de sonnerie lors des passages des autres voyageurs.
Deux personnes passent successivement le portique de s�curit�. On note X la variable al�atoire donnant le nombre de fois o� le portique sonne.
a. Justifier qu’on peut mod�liser la loi de X par une loi binomiale B(n, p) dont on pr�cisera les param�tres n et p.
Les �v�nements sont ind�pendants et conduisent � deux issues : sonnerie avec une probabilit� p = 0,02192 ou absence de sonnerie avec une probabilit� q = 1-p.
B(n, p) soit B(2, 0,02192).
b. Reprendre et compl�ter le tableau donnant la loi de X :
k
 0
 1
 2
P(X=k)
 00,95664
 0,04288
 0,00048

c Calculer et interpr�ter l’esp�rance de X dans le contexte de l’exercice.
E(X) =0,04288 +2 x 0,00048 =0,04384.
Ou encore E(X) = np = 2 x0,02192 =0,04384.
En moyenne, le portique sonne environ 44 fois lorsque 1000 personnes le franchissent.

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 27.
Dans cet exercice et si cela est n�cessaire, les r�sultats seront arrondis � 0,1.
Le graphique ci-dessous illustre l’�volution du nombre (en milliers) de voitures �lectriques immatricul�es en France entre 2015 et 2018.


1. On cherche � mod�liser l’�volution du nombre (en milliers) de voitures �lectriques immatricul�es en France � compter de l’ann�e 2015 � l’aide d’une suite. On h�site entre deux mod�les :
 Premier mod�le : on fait l’hypoth�se que ce nombre augmente de 21 % par an. On d�finit alors une suite (un) o�, selon ce mod�le, un est le nombre (en milliers) de voitures �lectriques immatricul�es en France l’ann�e 2015+n avec n entier. Ainsi, on a u0=17,3.
 Second mod�le : on d�finit la suite (vn) par v0=17,3 et pour tout entier naturel n, vn+1=0,7vn+10. D’apr�s ce mod�le et pour tout entier naturel n, vn est le nombre (en milliers) de voitures �lectriques immatricul�es en France l’ann�e 2015+n.
a. Donner les valeurs des r�els u1, u2, u3, v1, v2 et v3.
u1 =1,21 u0 =1,21 x17,3 =20,9 ; u2 =1,21 u1 =1,21 x20,3 =25,3 ; u3 =1,21 u2 =1,21 x25,3 =30,6 ;
v1 =0,7 v0 +10=22,1 ; v2 =0,7 v1 +10=25,5 ; v3 =0,7 v2 +10=27,8.
b. Des deux mod�les, lequel apparait le mieux adapt� pour mod�liser � l’aide d’une suite l’�volution du nombre de voitures �lectriques immatricul�es en France � compter de l’ann�e 2015 donn�e dans le graphique ? Argumenter.
Seul le premier mod�le confirme les valeurs de l'histogramme.
2. Dans ce qui suit, on choisit de mod�liser le nombre de voitures immatricul�es en France � compter de l’ann�e 2015 � l’aide de la suite (un) d�finie dans la question 1.
a. Donner la nature de la suite (un) et pr�ciser sa raison.
C'est une suite g�om�trique de raison 1,21 et de premier terme u0=17,3.
b. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.
un = 17,3 x 1,21n.
c. On consid�re l’algorithme en langage Python ci-dessous.
u =17,3
n=0
while u < 50 :
u=1.21*u
n=n+1
Quelle est la valeur de la variable n � la fin de l’ex�cution de cet algorithme ? Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
un = 17,3 x 1,21n > 50.
u5 =44,87 ; u6=54,29.
A la fin de l'algorithme n = 6.
A partir de l'ann�e 2015 +6 = 2021, le nombre de voitures �lectriques immatricul�es d�passera 50 milliers en France.

Sujet 28.

En 2019, les d�chets d'une entreprise sont �valu�s � 6 000 tonnes.
Cette entreprise s'engage � r�duire ses d�chets de 5 % chaque ann�e.
1. Avec cette politique, quelle quantit� de d�chets peut envisager l'entreprise pour l'ann�e 2020 ?
6000 x(1-5 /100)=6000 x0,95 =5700 t.
2. Pour tout entier naturel n, on note dn la quantit� de d�chets produits en tonne par cette entreprise l'ann�e 2019+n. Avec cette notation, on a alors d0=6000.
a. Exprimer dn+1 en fonction de 𝑑𝑛 pour tout entier naturel n.
dn+1 = 0,95 dn.
b. Quelle est la nature de la suite (dn) ?
Suite g�om�trique de raison 0,95 et de premier terme d0 = 6000.
c. D�terminer la quantit� totale de d�chets produits par l'entreprise entre 2019 et 2023. On arrondira le r�sultat � la tonne pr�s.
n = 4, somme des 4 premiers termes d'une suite g�om�trique :
S = 6000 (1-0,954) /(1-0,95) =22 959 t.
3. L'entreprise souhaite savoir au bout de combien d'ann�es d'application de cette politique de r�duction des d�chets la quantit� annuelle produite aura diminu� de 40 % par rapport � la quantit� produite en 2019.
Recopier et compl�ter l'algorithme ci dessous sur la copie afin qu'il permette de r�pondre � la question pos�e :
6000-0,40 x 6000=6000 x0,6 =3600 t.
D=6000
N=0
Tant que D > 3600
D=0,95*D
N=N+1
Fin Tant que



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 27

Un jeu est organis� � partir d’un sac contenant 6 jetons rouges et 4 jetons noirs. Les jetons sont indiscernables au toucher.
Un joueur prend deux jetons au hasard dans le sac selon le d�roul� suivant :  le joueur prend un premier jeton au hasard dans le sac et il met le jeton de c�t� ;  le joueur prend un second jeton au hasard dans le sac et il met le jeton de c�t�.
On note :
 R1 l’�v�nement � le premier jeton tir� est de couleur rouge � ;
 R2 l’�v�nement � le second jeton tir� est de couleur rouge �.
1. Recopier sur la copie et compl�ter l’arbre ci-dessous :

2. On consid�re l’�v�nement A � le joueur obtient deux jetons de couleur rouge �.
a. D�terminer la probabilit� p(A).
p(A) = 0,6 x5 / 9 = 1 / 3 ~0,33.
b. D�crire l’�v�nement contraire de l’�v�nement A par une phrase de la forme � le joueur obtient … � .
Le joueur n'obtient pas deux jetons de couleur rouge.
3. Montrer que la probabilit� que le second jeton tir� soit de couleur rouge est �gale � 0,6.
P(R )=0,6 x5 /9 +0,4 x6 / 9 =1 / 3 +8 /30 =18 /30 =6 /10 = 0,6.
4. Le second jeton tir� est de couleur noire. Que peut-on alors penser de l’affirmation suivante: � il y a plus de 50 % de chance que le premier jeton tir� ait �t� de couleur rouge � ? Justifier la r�ponse.
Pnon R2( R1) = P(non R2 n R1) / P(non R2) =4 / 15 / (6 /15) =4 /6 = 2 /3. Affirmation vraie.
Sujet 28.
On proc�de, chez un sportif, � l'injection intramusculaire d'un produit. Celui ci se diffuse progressivement dans le sang. On admet que la concentration de ce produit dans le sang (exprim�e en mg/L = milligramme par litre) peut �tre mod�lis�e par la fonction f, d�finie sur l'intervalle [0;10] par :
f(x)=6xe-x o� x est le temps exprim� en heure.
Sa courbe repr�sentative C est donn�e ci dessous dans un rep�re orthonorm� du plan.

1. Montrer que pour tout x ∈[0;10], la fonction d�riv�e de f, not�e f ', a pour expression : f '(x)=(6–6x) e-x.
On pose u = 6x et v = e-x ; u' = 6 ; v' = -e-x.
u'v+v'u = 6e-x-6x e-x.
2. �tudier le signe de f '′ sur [0;10] puis en d�duire le tableau de variations de f sur [0;10].
e-x est toujours positif.
si x < 1 , f '(x) > 0 et f(x) est strictement croissante.
si x > 1 , f '(x) < 0 et f(x) est strictement d�croissante.
Si x=1, f '(x) = 0 et f(x) pr�sente un maximum.

3. Quelle est la concentration maximale du m�dicament dans le sang ? (on donnera la valeur exacte et une valeur approch�e � 10−1 pr�s). Au bout de combien de temps est elle atteinte ?
Au bout d'une heure, la concentration maximale est �gale � 6 / e ~2,2 mg / L.
4. Ce produit fait l'objet d'une r�glementation par la f�d�ration sportive : un sportif est en infraction si, au moment du contr�le, la concentration dans son sang du produit est sup�rieure � 2 mg/L.
Le sportif peut il �tre contr�l� � tout moment apr�s son injection ? Expliquer votre raisonnement en vous basant sur l'�tude de la fonction et/ou une lecture graphique sur la courbe C.
Non car la concentration d�passe 2 mg / L entre environ 0,615 h( 37 min) et 1,52 h ( 91 min).
temps ( h)
 0,615
 0,8
 1
 1,2
 1,4
 1,52
concentration ( mg / L)
 1,99
 2,156
 2,21
 2,17
 2,07
 1,99

.


  

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