Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 31
Exercice 1
. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1.On consid�re une fonction f d�finie sur R par :
f(x) = ax2 + bx + c, o� a, b et c sont des nombres r�els. Δ d�signe la quantit� b2 − 4ac .
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est coh�rente avec la repr�sentation graphique de cette fonction ?

a) a > 0 et Δ > 0 vrai ; b) a < 0 et Δ < 0 ; c) a > 0 et Δ < 0 ; d) a < 0 et Δ > 0.
La courbe admet un minimum, donc a > 0. La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points, donc D >0.

2. Lors d’un jeu, on mise 1 euro et on tire une carte au hasard parmi 30 cartes num�rot�es de 1 � 30. On gagne 3 euros si le nombre port� sur la carte est premier, sinon, on ne gagne rien. On d�termine le gain alg�brique en d�duisant le montant de la mise de celui du gain.
On note X la variable al�atoire qui prend pour valeur le gain alg�brique. Que vaut l’esp�rance E(X) de la variable al�atoire X ?
a) 1 / 3 ; b) 1 / 10 ; c) 0 ; d)  2 /3.
10 nombres premiers :   2, 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13  ; 17 ; 19 ; 23 ; 29.
valeurs xi ( €)
-1
2
P(X = xi)
20 / 30 = 2 / 3
10 / 30 =1 /3
E(X) = -1 *(2 / 3) + 2*1 /3 = 0. R�ponse c.

3. Quelle est la valeur exacte de e6�e3 / e2 ?
a) e11;  b) e9 ; c) e7 ; d) e−7.
e6+3-2 = e7.
R�ponse c.

4.  On consid�re la suite arithm�tique (un) de raison −5 et telle que u1 = 2. Quelle est, pour tout entier naturel n, l’expression du terme g�n�ral un de cette suite ?
a) un = 2 − 5n ;  b) un = −5 + 2n ;  c) un = 7 − 5n  ; d) un = 2 � (−5)n.
un = u1 +(-5)*(n-1) =2-5n +5 =7-5n. R�ponse c.

5. Les �quations cart�siennes ci-dessous sont celles de droites donn�es du plan. Le vecteur de coordonn�es (-1 ; 2) est un vecteur normal � l’une de ces droites. Quelle est l’�quation de cette droite ?
a) 2x + y + 5 = 0;  b) x + 2y + 3 = 0 ; c) −x + 0,5y + 2 = 0 ; d)−4x + 8y = 0.
Equation de cette droite -x +2y +c=0 avec c une constante ;
 -4x +8y =0 soit -x +2y +0 = 0 convient.
R�ponse d.

Sujet 32.
1. Soit la fonction P d�finie sur R par P(x) = (x2 + x + 1)(x − 1).
L’�quation P(x) = 0 :
a. n’a pas de solution sur R
b. a une unique solution sur R
c. a exactement deux solutions sur R
d. a exactement trois solutions sur R
.  R�ponse b.
x-1 = 0 soit x = 1.
x2 + x + 1 = 0 ; le discriminant D =12-4 = -3 �tant n�gatif il n'y a pas de solutions r�elles.

2. Soit la fonction f d�finie sur R par f(x) = (7x − 23)(ex + 1).
L’�quation f(x) = 0 :
a. admet x = 1 comme solution  ; b. admet deux solutions sur R
c. admet x = 23 / 7 comme solution  ; d. admet x = 0 comme solution.
.  R�ponse c.
ex �tant toujours positif, ex+1 ne s'annule pas. f(x) =0 est �quivalent � 7x-23 = 0 soit x = 23 /7.

3. Dans le plan rapport� � un rep�re orthonorm�, le cercle de centre A(−4 ; 2) et de rayon r = racine carr�e(2) a pour �quation :
a. (x + 4)2 + (y − 2)2 = √2= 2.
b. (x − 4)2 + (y − 2)2 = 4
c. (x + 4)2 + (y − 2)2 = 2
 d. (x − 4)2 + (y + 2)2 = 2.
R�ponse c.

4. Dans le plan rapport� � un rep�re orthonorm�, on consid�re les vecteurs de coordonn�es (m + 1 ; −1) et  (m ; 2) o� m est un r�el.
Une valeur de m pour laquelle les vecteurs sont orthogonaux est :
a. m = -2 / 3 ; b. m = −2 ; c. m = 2  ; d. m = −1.
  R�ponse b.
(m+1) m +2*(-1) =0 ; m2+m-2 = 0.
Discriminant D = 12-4*(-2) =9 = 32.
Racines : m = (-1 �3) / 2 soit -2 et 1.

5. Dans le plan rapport� � un rep�re orthonorm�, une �quation cart�sienne de la droite D passant par le point A(−2 ; 5) et admettant le vecteur normal de coordonn�es (−1 ; 3) est :
a. −x + 3y + 7 = 0  ; b. x − 3y + 17 = 0 ; c. −3x − y − 1 = 0 ; d. −x − 3y + 13 = 0.
Equation de la droite -x+3y+c=0.
Les coordonn�es de A v�rifient l'�quation de la droite : -(-2)+3*5+c = 0 soit c = -17.
Equation : -x+3y-17 = 0 ou x-3y+17=0.
R�ponse b.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 31.

Soit f la fonction d�finie sur R par : f(x)=(5−2x)ex.
On note C la courbe repr�sentative de f. Sur la figure ci-dessous, on a trac� la courbe C dans un rep�re orthogonal o� les unit�s ont �t� effac�es.
A est le point d’intersection de C avec l’axe des ordonn�es et B le point d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
D est le point de C dont l’ordonn�e est le maximum de la fonction f sur R.

1. Calculer les coordonn�es des points A et B.
En A, x = 0 ; f(0)=5e0 = 5.
En B : f(x) = 0 = (5-2x)ex soit x = 2,5.
2. Soit f ′ la fonction d�riv�e de f sur R. Montrer que, pour tout r�el x, f′(x)=(3−2x)ex.
On pose u = (5-2x) et v = ex ; u' = -2 ; v' = ex ; u'v+v'u = -2ex +(5-2x)ex =(3−2x)ex.
3. �tudier le sens de variation de la fonction f.
ex est toujours positif.
f '(x) > 0 si x < 1n5 et f(x) est strictement croissante.
f '(x) < 0 si x > 1,5 et f(x) est strictement d�croissante.
f '(x) = 0 pour x = 1,5 et f(x) pr�sente un maximum.
4. En d�duire que le point D admet comme coordonn�es (1,5 ; 2e1,5).
f(1,5) = (5-3)e1,5 = 2 e1,5.
5. D�terminer une �quation de la tangente � la courbe C au point A, puis v�rifier, � l’aide de l’�quation obtenue, que le point D n’appartient pas � cette tangente.
Coefficient directeur de la tangente en A : f '(0) =3e0 = 3.
Equation de cette tangente : y = 3 x+b.
A (0 ; 5) appartient � cette droite : 5 = b ; y = 3x+5.
Si D appartient � cette droite : 3 xD +5 =3*1,5 +5 = 9,5 diff�re de yD =2e1,5  ; donc D n'appartient pas � cette droite.

Sujet 32.
Une entreprise vend des t�l�viseurs. Une �tude a montr� que ces t�l�viseurs peuvent rencontrer deux types de d�fauts : un d�faut sur la dalle, un d�faut sur le condensateur.
L’�tude indique que :
 3% des t�l�viseurs pr�sentent un d�faut sur la dalle et que parmi ceux-ci, 2% ont �galement un d�faut sur le condensateur.
 5% des t�l�viseurs ont un d�faut sur le condensateur.
On choisit un t�l�viseur au hasard et on consid�re les �v�nements suivants :
 D : � le t�l�viseur a un d�faut sur la dalle � ;
 C : � le t�l�viseur a un d�faut sur le condensateur �.
Les r�sultats seront approch�s si n�cessaire � 10-4 pr�s.
1. Justifier que P(D) = 0,03 puis donner PD(C).
3 % = 3 /100 = 0,03  ; probabilit� qu'un t�l�viseur est un d�faut de dalle : P(D) = 0,03.
PD(C) = P(D n C) / P(D) =0,03 x0,02 / 0,03 = 0,02.
2. Recopier l’arbre ci-dessous et compl�ter uniquement les pointill�s par les probabilit�s associ�es :

3. Calculer la probabilit� P(D ∩ C) de l’�v�nement D ∩ C.
P(D ∩ C) =0,0006.
4. Le t�l�viseur choisi a un d�faut sur le condensateur. Quelle est alors la probabilit� qu’il ait un d�faut sur la dalle ?
PC(D) =P(D ∩ C) / P(C) =0,0006 / 0,05 =0,012.
5. Montrer que la probabilit� que le t�l�viseur choisi ait un d�faut sur le condensateur et n’ait pas de d�faut sur la dalle est �gale � 0,0494.

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 31.
On injecte dans le sang d’un malade 2 cm3 d’un m�dicament. On admet que le processus d’�limination du m�dicament peut �tre mod�lis� par une suite (un), dont le terme g�n�ral un repr�sente le volume en cm3 de m�dicament pr�sent dans le sang au bout de n heures, n �tant un entier naturel. Dans ce mod�le, on consid�re que le volume de m�dicament contenu dans le sang diminue de 8 % chaque heure.
1. V�rifier que u1=1,84 et en donner une interpr�tation dans le contexte de l’exercice.
1-8 / 100 = 0,92 ; u1 = 0,92 *u0 = 0,92 *2=1,84 .
Au bout d'une heure,  le volume de m�dicament dans le sang vaut 1,84 cm3.
2. a. Pour tout entier naturel n , exprimer un+1 en fonction de un.
un+1 =0,92 un.
b. En d�duire la nature de la suite (un). Pr�ciser sa raison et son premier terme.
Suite g�om�trique de raison 0,92 et de premier terme u0 = 2.
3. Pour que le m�dicament soit actif, le volume de m�dicament pr�sent dans le sang du malade doit rester sup�rieur � un certain seuil S ; ce seuil d�pend du malade.
a. � l’aide d’une fonction �crite en langage Python, on se propose de d�terminer, en fonction de S, le nombre maximal d’heures durant lesquelles le m�dicament reste actif. Compl�ter le programme �crit en Python.
def volMedicament(S) :
u=2
n=0
while u > S
u=u*0,92
n = n+1
return n

b. On s’int�resse au cas d’un malade pour qui ce seuil est estim� � S=1,5 cm3. Que doit-on saisir pour ex�cuter la fonction volMedicament afin qu’elle renvoie le nombre maximal d’heures durant lesquelles le m�dicament reste actif chez ce malade ? Quel est alors ce nombre d’heures ?
On doit saisir 1,5.

n
2
3
4
un
1,69
1,56
1,43

Au bout de 4 heures, le volume de m�dicament dans le sang est inf�rieur � 1,5 cm3.

Sujet 32.

Dans le rep�re ci-dessous, on note Cf la courbe repr�sentative d’une fonction f d�finie sur l’intervalle [−10 ;2].
On a plac� dans ce rep�re les points A(0 ;2), B(2 ;0) et C(−2 ;0).
On dispose des renseignements suivants :
 Le point B appartient � la courbe Cf.
 La droite (AC) est tangente en A � la courbe Cf.
 La tangente � la courbe Cf au point d’abscisse 1 est une droite parall�le � l’axe des abscisses.

1. D�terminer la valeur de f ′(1).
La tangente � la courbe Cf au point d’abscisse 1 est une droite parall�le � l’axe des abscisses, son coefficient directeur est donc nul, c'est � dire f '(1) = 0.
2. Donner une �quation de la tangente � la courbe Cf au point A.
Coefficient directeur : +1 ; �quation de cette droite tangente en A : y = x +b.
A appartient � cette droite : yA = xA + d ; 2 = 0 +b ; b = 2 et y = x+2.
On admet que cette fonction f est d�finie sur [−10 ;2] par f(x)=(2−x)ex.
3. Montrer que pour tout r�el x appartenant � l’intervalle [−10 ;2], f ′(x)=(−x+1)ex.
On pose u = 2-x et v = ex ; u' = -1 ; v' = ex ; u'v+v'u = -ex +(2-x)ex =
(−x+1)ex.
4. En d�duire le tableau de variations de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [−10 ;2].
ex est toujours positif ;
 Si x > 1, f '(x) est n�gative et f(x) est strictement d�croissante.
Si x < 1, f '(x) est positive et f(x) est strictement croissante.
Si x = 1, f '(x) =0 et f(x) pr�sente un maximum.

5. D�terminer une �quation de la tangente � la courbe Cf au point B.
Coefficient directeur de la tangente en B : f '(2) =(-2+1)e2 = -e2.
Equation de cette droite : y = -e2x +b.
B appartient � cette droite : yB =
-e2xB +b ; 0 = -2e2 +b ; b = 2e2.
y = -
e2x +2e2.



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 31

Une culture de pois comporte des pois de couleur � jaune � ou � vert � et de forme � lisse � ou � rid� �.
Le tableau ci-dessous est partiellement renseign� � partir des observations effectu�es sur un grand nombre de pois de cette culture.

Nombre de pois jaunes
Nombre de pois verts
Total
Nombre de pois rid�s
100
500
600
Nombre de pois lisses
200
9200
9400
Total
300
9700
10 000

1. Compl�ter le tableau.
On choisit au hasard un pois de la culture et on s’int�resse aux �v�nements suivants :
J : � le pois est jaune � ;
R : � le pois est rid� �.
L’�chantillon �tudi� est suffisamment important pour �tre consid�r� comme repr�sentatif de l’ensemble de la culture de pois.
2. Quelle est la probabilit� que le pois soit vert et lisse ?
9200 / 10 000 = 0,92.
3. Calculer la probabilit� que le pois soit vert.
9700 / 10 000 = 0,97.
4. Calculer la probabilit� qu’un pois soit jaune sachant qu’il est rid�, et en d�duire la probabilit� qu’un pois soit vert sachant qu’il est rid�.
PR(J)=P(J n R) / P(R) =100 / 600 = 1 / 6.
PR(non J)=P( non J n R) / P(R) =500 / 600 = 5 / 6 soit 1 - 1 /6.
5. Calculer PJ(R) et en donner une interpr�tation dans le contexte de l’�nonc�.
PJ(R) = P(J n R) / P(J) =100 / 300 = 1 /3.
La probabilit� qu'un pois soit rid� sachant qu'il est jaune est �gale � 1 /3.

Sujet 32.
La m�diath�que d’une petite ville a ouvert ses portes d�but janvier 2013 et a enregistr� 2 500 inscriptions pour l’ann�e 2013.
Elle estime que, chaque ann�e, 80% des anciens inscrits renouvellent leur inscription l’ann�e suivante et qu’il y aura �galement 400 nouveaux adh�rents.
Pour tout entier naturel n, on peut donc mod�liser le nombre d’inscrits � la m�diath�que n ann�es apr�s 2013 par une suite num�rique (an) d�finie par :
a0=2500 et an+1=0,8an+400 .
1. Calculer a1 et a2.
a1 = 0,80a0 +400 =0,8 *2500+400=2400.
a2 = 0,80a1 +400 =0,8 *2400+400=2320.
2. On pose, pour tout entier naturel n, vn=an−2000.
a. D�montrer que (vn) est une suite g�om�trique de raison 0,8. Pr�ciser son premier terme.
vn+1= an+1-2000 =
0,8an+400 -2000=0,8an-1600 = 0,8(an-2000)=0,8 vn.
vn+1 / vn = 0,8 ; suite g�om�trique de raison 0,8 et de premier terme v0 = 2500-2000 = 500.
b. Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.
vn = v0 x0,8n = 500 x0,8n.
c. En d�duire que pour tout entier naturel n, an=500�0,8n+2000.
vn = 500 x0,8n =an−2000 ; an= 500�0,8n+2000.
d. D�terminer le plus petit entier naturel n tel que an ≤ 2010. Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
500�0,8n+2000 < 2010 ; 500�0,8n <  10 ; 0,8n <  10 / 500 ; 0,8n <  0,02
 n ln (0,8)
< ln( 0,02) ; n > 17,53 soit n > 18..
On v�rifie : a17 =500 x0,817  +2000 =2011 ;
a18 =500 x0,818  +2000 =2009.
n 2013 +18 =2031, le nombre d'inscrits sera inf�rieur � 2010.



  

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