Math�matiques,
QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.
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Sujet 33
Exercice 1.
( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. Dans un rep�re du plan, la droite (d) a pour �quation : 2x – 3y + 1 = 0.
Un vecteur directeur de la droite (d) a pour coordonn�s :
a) (2 ; −3) ; b) (3 ; 2) ; c) (−3 ; 1) ; d) (1; 1,5).
y = 2 / 3 x +1 /3 ; coefficient directeur de la droite : 2 /3 ; coordonn�es du vecteur directeur : (1 ; 2 /3) ou (3 ; 2). R�ponse b.
2. Dans un rep�re du plan, la droite (d) a pour �quation : 2x – 3y + 1 = 0.
Un vecteur directeur de la droite (d) a pour coordonn�s :
a) (2 ; −3) ; b) (3 ; 2) ; c) (−3 ; 1) ; d) (1; 1,5). R�ponse a.
3. On donne trois points distincts : A, B et C.
Les points D et E sont tels que  . On a :
a) A est le milieu de [EB] ; b) B est le milieu de [ED]
c) C est le milieu de [AD] ; d) D et le milieu de [AC]
4. Soit
x un nombre r�el. Dans un rep�re orthonorm�, les vecteurs de
coordonn�es (−x + 4; 7) et (9; 2x − 5) sont orthogonaux lorsque x
est �gal � :
a) 0,2 ; b) 10 ; c) -0,2 ; d) 6.
9(-x+4)+7(2x-5) = 0 ; -9x+36+14x-35=0 ; 5x+1=0 ; x = -1/5 = -0,2. R�ponse c.
5. Dans
un rep�re orthonorm�, on consid�re les points A(−1;−2), B(2;0), C(3;−1)
et D(−3;4). Alors le produit scalaire suivant est �gal � :
a) −16 ; b) 11 ; c) 21 ; d) −24. R�ponse a.
Sujet 34.
1. L'ensemble des solutions de l'in�quation −3x2+2x+1>0, o� x est un nombre r�el, est :
a) {−1/3 ; 1} ; B) ∅ ; c) ]−1/3 ; 1[ ; d) ]−∞;−1/3[∪]1;+∞[. R�ponse c.
On cherche les solutions de : −3x2+2x+1 = 0 ; discriminant D = 22 -4*1*(-3)=16 = 42.
x1 = (-2 +4) / (-3*2) = -1/3 et x2 =(-2 -4) / (-3*2) =1.
a �tant n�gatif, la parabole pr�sente un maximum :
.
2. Le
plan est muni d'un rep�re. Une �quation cart�sienne de la droite (d)
passant par le point A de coordonn�es (‒1 ; 5) et de vecteur directeur
de coordonn�es (3 ; ‒2) est :
a) −2𝑥+3𝑦+13=0 ; b) −2𝑥−3𝑦−13=0 ; c) 2𝑥−3𝑦+13=0 ; d) −2𝑥−3𝑦+13=0
y = -2 / 3x +b.
A appartient � la droite ; yA = -2 / 3 xA +b ; 2 / 3 +b = 5 ; b = 5 -2 /3 = (15-2) / 3 = 13 /3.
y = -2 /3 x +13 / 3 soit : 3y +2x-13 =0 ou -3y -2x +13 = 0. R�ponse d.
3. Soit f la fonction d�finie sur ]−∞;2[∪]2;+∞[ par f(x)=(2x+1) / (x−2).
La fonction d�riv�e de f ' est d�finie sur ]−∞;2[ ∪ ]2;+∞[ par :
a) f '(x) = 5 /(x-2)2 ; b) f '(x) = (3x-6) /(x-2)2 ; c) f '(x) = -3 /(x-2)2 ; d) f '(x) = -5 /(x-2)2 ;
On pose u = 2x+1 et v = x-2 ; u' = 2 ; v' = 1 ; (u'v-v'u) / v2 = (2(x-2)-(2x+1)) / (x-2)2 = -5 /(x-2)2 . R�ponse d.
4. Pour tout nombre r�el x, une expression simplifi�e de (ex)2�e−𝑥+1 / e5𝑥 est :
a) e-4x+1 ; b) exp(x2-6x+1) ; c) exp(x2+4x+1) ; d) exp(-x3+x5-5x) . R�ponse a.
ex�ex� e−𝑥+1 � e-5𝑥 =e-4x+1.
5. La fonction f est d�finie pour tout x r�el par f (x)=ex(3ex−1).
La fonction d�riv�e de f est d�finie pour tout x r�el par :
a) f ′(x)=ex(3ex) ; b) f ′(x)=6e2x−ex ; c ) f '(x) =3 e2x -ex ; d) f '(x)=3(ex)2-1.
On pose u = ex et v = 3ex-1 ; u' = ex ; v' =3ex ; u'v+v'u =ex(3ex-1)+3ex ex =ex (6ex -1)=6e2x-ex.
R�ponse b.
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Exercice 2. ( 5
points) Sujet 33. � partir d’un premier segment de 2 mm, on ajoute successivement un nouveau segment mesurant 150 % de la longueur du pr�c�dent.
Pour tout entier naturel n ≥1, on d�signe par un la longueur, en mm, du n i�me segment. Ainsi u1 = 2 et u2 = 3.
1. D�terminer u3 et u4.
u3 = 1,5 u2 =1,5 x3 =4,5 ; u4 = 1,5 u3 =1,5 x4,5 =6,75.
2. Pour tout entier naturel n sup�rieur � 1, exprimer un+1 en fonction de un.
En d�duire la nature de la suite (un).
un+1 = 1,5 x un, suite g�om�trique de raison 1,5 et de premier terme 2.
3. Pour tout entier naturel n ≥1, exprimer un en fonction de n.
un = 2 x 1,5n-1.
4. On cherche �
d�terminer � partir de combien de segments la longueur totale d�passe 1
m�tre. On r�alise pour cela un programme �crit en langage Python.
Recopier et compl�ter sur la copie ce programme pour qu’il affiche le
nombre attendu de segments.
i=1
u=2
longueur =2
while longueur < 1000 :
i = i+1
u = u*1,5
longueur =longueur +u
print (i)
5. Ce programme affiche 14. D�terminer, par le calcul, la longueur de
la spirale form�e des 14 premiers segments. Arrondir le r�sultat au mm.
Somme des 14 premiers termes de la suite g�om�trique de raison 1,5 et de premier terme 2 :
S = 2 (1-1,514) /(1-1,5)~1164 mm.
Sujet 34.
Un
p�pini�riste stocke un grand nombre d’arbustes de la famille des
viburnum en vue de les vendre. Ceux-ci sont de deux esp�ces diff�rentes
: les viburnum tinus (nom commun : laurier
tin) et les viburnum opulus (nom commun : boule de neige). Il constate que :
- 80 % de ses arbustes sont des lauriers tins, les autres sont des boules de neige.
- Parmi les lauriers tins, 41 % mesurent 1m10 ou plus.
- Parmi les boules de neige, 32 % mesurent 1m10 ou plus.
1. Est-il vrai que moins de 15% des viburnum de ce p�pini�riste sont des boules de neige de moins de 1m10 ?
0,20 x(1-0,32) =0,136, valeur inf�rieure � 0,15, l'affirmation est vraie.
On choisit au hasard un viburnum chez ce p�pini�riste et on consid�re les �v�nements suivants :
L : � le viburnum choisi est un laurier tin �
T : � le viburnum mesure plus de 1m10 �.
2. D�crire par une phrase la probabilit� PL(non T). D�crire �galement par une phrase l’�v�nement non L ∩ T.
PL(non T) : probabilit� que le viburnum mesure moins de 1,10 m sachant que c'est un laurier tin.
non L ∩ T : le viburnum est un boule de neige et il mesure plus de 1,10 m.
3. Recopier et compl�ter sur la copie l’arbre de probabilit� ci-dessous traduisant les donn�es de l’�nonc�.
4. Montrer que la probabilit� que le viburnum mesure 1m10 ou plus est �gale � 0,392.
5. Le viburnum
choisi a une taille inf�rieure � 1m10. Quelle est la probabilit� que ce
soit un boule de neige ? On arrondira le r�sultat � 10-3.
Pnon T (non L) = P(non T n non L) / P(non L) =0,136 /(0,136+0,472)=0,224.
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Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 33.
Un
libraire dispose d’un stock de magazines. On sait que 40 % des
magazines provient d’un fournisseur A et le reste d’un fournisseur B.
Il constate que 91 % des magazines re�us sont vendus dans la semaine.
Il constate �galement que 85 % des magazines provenant du fournisseur A sont vendus dans la semaine.
Le responsable des achats prend au hasard un magazine dans le stock. On consid�re les �v�nements suivants :
A : � le magazine provient du fournisseur A �
B : � le magazine provient du fournisseur B �
S : � le magazine est vendu dans la semaine �
1. Quelle est la probabilit� que le magazine provienne du fournisseur B ?
P(B) = 0,6.
2. On note PB(S) =x, x ∈[0;1]. Recopier et compl�ter l’arbre pond�r� ci dessous traduisant la situation :
3. Calculer la probabilit� que le magazine choisi au hasard provienne du fournisseur A et qu’il soit vendu dans la semaine.
P(A n S) =0,85 x0,4 = 0,34.
4. D�montrer que 0,34+0,6x=0,91. En d�duire que P(B∩S)=0,57.
Formule des probabilit�s totales : P(S) = P(A n S) + P(B n S) = 0,34 +0,6x = 0,91 ;
P(B n S) =0,6x = 0,91-0,34 =0,57 soit x = 0,95.
5. Le magazine
choisi est vendu dans la semaine. Calculer la probabilit� qu’il
provienne du fournisseur B. En donner sa valeur arrondie � 10−3.
PS(B) =P(B∩S) / P(S) = 0,57 / 0,91 =0,626.
Sujet 34.
Les deux parties suivantes sont ind�pendantes.
Partie A. On consid�re la suite (vn) d�finie par v0 = 1 et vn+1 =2 / 3 vn pour tout entier naturel n.
1. Quelle est la nature de la suite (vn ) ? En pr�ciser les �l�ments caract�ristiques.
Vn+1 / vn = 2 / 3 = constante. C'est une suite g�om�trique de raison 2 / 3 et de premier terme v0 =1.
2. Donner, pour tout entier naturel n, une expression de vn en fonction de n.
vn = v0 *(2 /3)n =(2 /3)n .
3. Calculer la somme S des dix premiers termes de la suite (vn).
S = v0(1-qn+1) / (1-q) =(1-(2 /3)10) / (1-2/3)~2,948.
Partie B. On mod�lise une suite (wn) � l’aide de la fonction suivante �crite en langage Python :
def terme (n) :
w=4
for i in range (n) ;
w = 2*w-3
return w
4. Que renvoie l’ex�cution de terme (5) ?
w1 = 4 ; w2 = 2 w1 -3 =8-3=5 ; w3 = 2 w2 -3 =10-3=7 ; w4 = 2 w3 -3 =14-3=11 ; w5 = 2 w4 -3 =22-3=19.
5.
En s’inspirant de la fonction terme(n), proposer une fonction
somme_termes(n), �crite en langage Python, qui renvoie la somme des n
premiers termes de la suite (wn).
def somme_termes (n) :
w=4
somme = w
for i in range (n) ;
w = 2*w-3
somme = somme +w
return w
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