Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 35
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. L'ensemble des solutions de l'in�quation 3x2−4x+1 ≥0 est :
a) ]−∞;−1]∪[−13;+∞[ ; b) ]−∞;1 / 3]∪[1;+∞[ ; c) ]−∞;−1 / 3]∪[1;+∞[ ; d) [1 / 3;1]. R�ponse b.
a est positif, la parabole pr�sente un minimum.
Solutions de 3x2−4x+1 =0 : discriminant D =(-4)2 -4*1*3=4 = 22.
x1 =(4+2) / 6 =6 / 6 = 1 ; x2 =(4-2) /6 =2/6 = 1 /3.
2. Dans le plan muni d'un rep�re orthonorm�, on consid�re les vecteurs de coordonn�es (a+2; −1) et  (3 ; a ), o� a est un nombre r�el. Les vecteurs  sont orthogonaux si, et seulement si :
a) a(a+2) -3=0 ; b) a(a+2)+3 =0 ; c) 3(a+2) -a = 0 ; d) 3(a+2)+a=0.
3(a+2) +(-1) a = 3(a+2)-a=0. R�ponse c.

3. Dans le plan muni d'un rep�re orthonorm�, on consid�re le point A (−2 ; 3) et le vecteur de coordonn�es (1 ; 2). Une �quation cart�sienne de la droite d passant par le point A et de vecteur normal de coordonn�es (1 ; 2) est :
a) -2x+y-7=0 ; b) x+2y -4=0 ; c) x-2y +8=0 ; d) 2x+y+1=0.
Equation de la droite d : x+2y +d = 0.
A appartient � cette droite : xA +2yA +d = 0 ; -2 +2*3+d =0 ; d = -4 ; x+2y-4=0. R�ponse b.
4.  On consid�re la suite (un), g�om�trique de raison 2 et de premier terme u0=3.
La somme u0+u1+⋯+u10 est �gale � :
a) 3(211-1) ; b) 3(1-211) : c) 3(210-1) ; d) 3(1-210).
u0(1-211) / (1-2) =3(211-1). R�ponse a.
5. Soit f la fonction d�finie et d�rivable sur ]1;+∞[ par f(x)=(2x+1) / (x-1). La fonction d�riv�e de f sur ]1;+∞[ a pour expression :
a) f '(x) = -1 /(x-1)2 ; b) f '(x) = -3 /(x-1)2 ; c) f '(x) = (4x-1) /(x-1)2 ; d)  f '(x) = 1 /(x-1)2 .
On pose u =2x+1 et v = x-1 ; u' = 2 ; v' = 1 ; (u'v-v'u) / v2 =(2(x-1)-(2x+1)) / (x-1)2 = -3 /(x-1)2. R�ponse b.

Sujet 36.
1. Dans le plan rapport� � un rep�re orthonorm�, on consid�re la droite D d'�quation cart�sienne 4x + 5y – 7 = 0.
Un vecteur normal � D a pour coordonn�es :
a. (5 ; 4) ; b. (−5 ; 4) ; c. (4 ; 5) ; d. (4 ; −5).  R�ponse c.

 2. Dans le plan rapport� � un rep�re orthonorm�, l'ensemble E des points M de coordonn�es (x ; y) v�rifiant : x2 – 2x + y2 = 3 est un cercle :
a. de centre A(1 ; 0) et de rayon 2.
 b. de centre A(1 ; 0) et de rayon 4.
c. de centre A(−1 ; 0) et de rayon 2.
 d. de centre A(−1 ; 0) et de rayon 4. R�ponse a.
x2 – 2x + y2 =x2 – 2x +1-1+ y2 =(x-1)2 +y2 = 3+1=4.

3. La somme 15 + 16 + 17 + … + 243 est �gale � :
a. 29 403 ; b. 29 412 ; c. 29 541 ; d. 29 646. R�ponse c.
Suite arithm�tique de raison 1 et de premier terme15.
Somme des 229  termes : 229(15+243) / 2 = 29541.
4. On consid�re la fonction f d�rivable d�finie sur R par f (x)= (x + 1)ex.
La fonction d�riv�e f ’ de f est d�finie sur R par :
a. f ′(x) = (x + 2)ex ; b. f ′(x) = (x + 1)ex ; c. f ′(x) = xex ;  d. f ′(x) =ex  R�ponse a.
On pose u = x+1 et v = ex ; u' = 1 ; v' = ex ; u'v+v'u =ex+(x+1)ex =(x + 2)ex .

5. En utilisant l’arbre de probabilit� pond�r� ci-dessous, on obtient :

a. P (B) = 1 / 4 ;  b. P (B) = 2 / 5 ; c. P (B) = 13 / 20 ; d. P (B) = 3 / 10
R�ponse d.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 35.

Un organisme de vacances propose des s�jours en France et � l'�tranger pour des jeunes. Ces derniers sont r�partis en deux cat�gories suivant leur �ge : adolescents ou jeunes enfants. 40 % des participants sont des adolescents et parmi eux, 70 % choisissent un s�jour � l'�tranger. Parmi les jeunes enfants, 90 % choisissent un s�jour en France.
On interroge au hasard un participant � un s�jour de cet organisme.
On note A l'�v�nement "le participant est un adolescent", et F l’�v�nement "le participant choisit un s�jour en France".
1. Recopier et compl�ter sur la copie les branches de l'arbre de probabilit� ci-dessous pour qu'il repr�sente la situation.
2. Calculer la probabilit� que le participant soit un adolescent et qu'il choisisse un s�jour � l'�tranger.
3. Montrer que la probabilit� qu'un participant choisisse un s�jour � l'�tranger est 0,34.

4. Calculer la probabilit� que le participant ne soit pas un adolescent, sachant qu'il part � l'�tranger. Donner la valeur arrondie au centi�me de cette probabilit�.
Pnon F(non A) =P(non A n non F) / P(non F) =0,06 / 0.34 ~0,18.
5. On interroge au hasard, et de mani�re ind�pendante, deux participants � des s�jours de cet organisme pour connaitre s'ils ont choisi un s�jour en France ou non. L’organisation de ce sondage est telle qu’une m�me personne peut �tre interrog�e deux fois. Calculer la probabilit� qu'au moins un des deux participants ait choisi un s�jour en France. Donner cette probabilit� arrondie au centi�me.
P(F) = 0,12 +0,54 = 0,66.
On d�finit une variable al�atoire X prenant pour valeurs le nombre de voyages en France.
Au moins un signifie X = 1 ou X = 2.
X suit la loi binomiale de param�tre p = 0,66 et avec N = 2.
1-P(X=0)=1-0,1156 ~0,88.

Sujet 36.
Dans un rep�re orthonorm� du plan, on consid�re les points A (2 ; −1), B (0 ; 3) et C (3 ; 1).
1. a. V�rifier que le produit scalairre suivant est �gal � 6.
b. Calculer AB et AC, on donnera les valeurs exactes.
c. V�rifier que cos(BAĈ)= 0,6 et en d�duire la mesure de l'angle BAĈ au degr� pr�s.

2. a. V�rifier qu’une �quation cart�sienne de la droite (AB) est 2x+y−3=0.
y = ax +b.
A appartient � cette droite : yA = axA +b ; -1=2a+b.
B appartient � cette droite : yB = axB +b ; 3=0+b.
Par suite a= (-1-3) / 2 = -2.
y = -2x+3 soit 2x+y-3=0.
b. On note H le pied la hauteur du triangle ABC issue du sommet C. D�terminer les coordonn�es du point H.
H appartient � la droite AB : 2xH +yH -3 = 0 soit yH =3-2xH.

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 35.
Une commune compte 800 habitants au d�but de l’ann�e 2019. Le maire pr�voit une baisse de 2 % par an du nombre d’habitants � partir de 2019.
Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d’habitants n ann�es apr�s 2019. Ainsi, u0=800 et pour tout entier naturel, un+1=0,98 un.
1. Calculer u1 et pr�ciser ce que cette valeur repr�sente dans le contexte de l'exercice.
u1 = 0,98 u0 = 0,98 x 800 =784.
En 2020, la commune comptera 784 habitants.
2. Pr�ciser la nature de la suite (un) ainsi que sa raison.
Suite g�om�trique de raison 0,98 et de premier terme u0 = 800.
3. D�terminer, pour tout entier naturel n, l’expression de un en fonction de n.
un = u0 * 0,98n = 800 *0,98n.
4. Calculer une valeur approch�e, � l’entier pr�s, du nombre d’habitants dans cette commune en 2025.
n = 6 ; u6 = 800 *0,986 ~709.
5. Recopier et compl�ter sur la copie la fonction �crite en langage Python ci-dessous, afin qu’elle permette de calculer, pour tout entier naturel n, le terme un.
def u(n) :
u =800
for i in range (1, n)
u = 0,98*u
return u

Sujet 36.

En 1995, le taux de scolarisation des jeunes de 18 ans atteignait 84,8 %, du fait d’une forte progression de la poursuite d’�tudes dans le second cycle g�n�ral et technologique jusqu’au baccalaur�at.
Une �tude de l’INSEE montre que ce taux de scolarisation a r�guli�rement diminu� au cours des dix ann�es suivantes.
On consid�re que la diminution du taux de scolarisation � 18 ans est chaque ann�e de 1 % � partir de 1995.
Pour tout entier naturel n, on mod�lise le taux de scolarisation des jeunes de 18 ans en 1995 + n, par une suite (un) ; ainsi u0=84,8.
1. Quel est le taux de scolarisation des jeunes �g�s de 18 ans en 1996 ?
u1 = u0(1-1 /100) =0,99 u0 = 0,99 x84,8 = 83,952.
2. D�terminer, en justifiant, la nature de la suite (un).
un+1 / un = 0,99 ; suite g�om�trique de raison 0,99 et de premier terme u0 = 84,8.
3. On donne le programme suivant en langage Python :
u = 84,8
n =0
while u > 80 :
u = 0,99 *u
n=n+1
D�terminer la valeur num�rique que contient la variable n � l’issue de l’ex�cution du programme. Interpr�ter cette valeur dans le contexte de l’�nonc�.
u6=79,83 ; u5 = 80,64.
n = 6 ; en 2001, le taux de scolarisation des jeunes de 18 ans sera inf�rieur � 80 %.
4. Exprimer, pour tout entier naturel n, un en fonction de n.
un = u0 *0,99n=84,8 *0,99n.
5. Quel est le taux de scolarisation des jeunes de 18 ans en 2005 ?
n = 10 ; u10 =84,8 *0,9910 ~76,7 %.



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 35

Partie A : lecture graphique
1. Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, Cf est la courbe repr�sentative d’une fonction f, d�finie et d�rivable sur l'ensemble R des nombres r�els.
Les points A et B sont les points de Cf d’abscisses respectives −2 et 0, et on a trac� les tangentes � Cf en ces points.
On suppose que la tangente en A est parall�le � l'axe des abscisses et que la tangente en B passe par le point C(1 ; 6).
On note f ′ la fonction d�riv�e de f.
Lire graphiquement les valeurs de f ′(−2) et f ′(0). Justifier bri�vement.

f '(-2) =0, la tangente � la courbe est horizontale.
f '(0) = coefficient directeur de la tangente � la courbe en B = 4.
Partie B : Calcul alg�brique
La fonction repr�sent�e sur le graphique pr�c�dent est la fonction f d�finie sur l'ensemble R des nombres r�els par : f(x)=ex(2x+2)
On admet que f est d�rivable sur R.
2. Montrer que pour tout nombre r�el x, f ′(x)=ex(2x+4).
On pose u = ex et v = (2x+2) ; u' = ex et v' = 2 ; u'v+v'u=ex(2x+2) +2ex =ex(2x+4).
3. �tudier le signe de f ′ sur R, puis en d�duire le tableau de variation de f sur R.
ex est toujours positif.
Si x < -2, f '(x) <0 et f(x) est strictement d�croissante.
Si x > -2, f '(x) >0 et f(x) est strictement croissante.
Si x = -2, f '(x) =0 et f(x) pr�sente un minimum.

4. D�terminer par le calcul, l’�quation r�duite de la tangente � Cf au point d’abscisse 0.
Coefficient directeur : f  '(0) =4 ; y = 4x +b.
B( 0 ; 2) appartient � la tangente : 2 = 4*0+b ; b = 2 ; y = 4x+2.
5. Justifier par le calcul les deux r�sultats suivants admis au d�but de l’exercice : - La tangente en A est parall�le � l'axe des abscisses. - La tangente en B passe par le point C(1;6).
En A, f '(-2) = 0, la tangente est horizontale.
yC = 6 ; xC+4 = 2+4 = 6 ; yC = 4xC+2. C appartient � la tangente � la courbe en B.
Sujet 36.
Soit f la fonction d�rivable d�finie sur [−3 ; 3] par f(x) = 2x3 + 2x2 – 2x + 1. On note C sa courbe repr�sentative dans un rep�re donn�.
1. D�terminer f ′(x), o� f ’ est la fonction d�riv�e de f sur [−3 ; 3].
f '(x) =6x2+4x-2.
2. �tudier le signe de f ’(x) sur [−3 ; 3].
Solutions de 6x2+4x-2=0 ; discriminant D = 42-4*6*(-2)=64 = 82.
x1 = (-4-8) / 12 = -1 ; x2 =(-4+8) /12 =1 /3.
f '(x) = 6(x+1)(x-1 / 3).
 3. Dresser le tableau de variations de f sur [−3 ; 3]. Les valeurs aux bornes pourront �tre donn�es en valeur approch�e � 10-2 pr�s.

4.a. V�rifier qu’une �quation de la tangente T � la courbe C au point A d’abscisse 0, est y=−2x+1.
Coefficient directeur de la tangente  en A  � la courbe C : f '(0) = -2.
A ( 0 ; 1) appartient � la tangente T : 1 = -2*0+b ; b = 1. y = -2x+1.
b. Montrer que cette tangente T passe par un point B de la courbe C, avec B distinct du point A.
En B : 2x3 + 2x2 – 2x + 1= -2x+1 ; 2x3 + 2x2 – =0 ; 2x2(x+1) = 0. Abscisse du point B : x= -1.
Ordonn�e de B : yB = -2*(-1)+1) = 3.


  

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