Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 37
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1.Soit x un nombre r�el. On peut affirmer que :
a) cos(x) = sin⁡(x)  ; b) cos(p − x) = cos(𝜋 + x)
c) sin(𝜋 + x) = sin⁡(𝜋 − x) ; d) cos (𝜋/2+ 𝑥) = cos (𝜋/2− 𝑥). R�ponse b.

 2. Les solutions dans l’intervalle [0; 2p[ de l’�quation sin(x) = − 3� / 2 sont :
a) 4 p / 3 et 5 p / 3 ;
b) 2 p / 3 et 4 p / 3 ;
c)  p / 3 et  5 p / 3 ;
d) −2 p / 3 et - p / 3 ;
sin (-p/3) = − 3� / 2. x = -p/3 ou 5 p /3 et x = p-(-p/3 )= 4 p /3. R�ponse a.

3. On consid�re ABCD un carr� direct dans lequel on construit un triangle ABE �quilat�ral direct.
On note AB=a.
On peut alors affirmer que : 

R�ponse c.

4.  Soient deux vecteurs. On peut affirmer que :


R�ponse d.
5. Soit n un entier naturel.
On cherche � exprimer en fonction de n la somme suivante :
S=1−2+4−8+16−32+⋯+(−2)n.
On peut affirmer que :
a) S=1+(−2)n / 2�(n+1)
b) S est la somme des termes d’une suite arithm�tique de raison (−2)
c) S=[1−(−2)n] / (1−2)
d) S=1/3[1−(−2)n+1].
Il s'agit d'une suite g�om�trique de raison -2 et de premier terme 1.
S = 1 *[1-(-2)n+1] / (1-(-2)).
 R�ponse d.

Sujet 38.
1. L’in�quation −3(x − 2)(x + 1) > 0 admet pour ensemble des solutions :
a) [-1 ;2] ; b) ] − ∞; −1[∪ [2; +∞[ ; c) ] − 1 ; 2[ ; d) ] − ∞; −1[∪]2; +∞[.
-3x2+3x+6 >0 ; a est n�gatif, la parabole pr�sente un maximum et -3x2+3x+6 >0 sur ]-1 ; 2[.  R�ponse c.

 2. Soit x un nombre r�el. Le r�el cos(x + 3p) est �gal � :
a) cos⁡(x) ; b) −cos⁡(x) ; c) sin⁡(x) ; d) −sin⁡(x). R�ponse b.
cos(x + 3p)= cos(x +p+ 2p)= cos ( x+p)= - cos (x).

3. Dans un rep�re orthonorm�, on consid�re la droite d passant par le point A(1; 2) et dont un vecteur normal est le vecteur⁡ de coordonn�es ( 2 ; -3). Une �quation de la droite d est :
a) 2x + 3y − 8 =0  ; b) x + 2y + 4 = 0 ; c) 2x − 3y − 4 = 0  ; d) y =2 /3 x + 4 /3.
R�ponse d.
Equation cart�sienne de la droite d : 2x-3y +c = 0.
A appartient � la droite d : 2xA-3yA + c=0 ; 2-3*2+c=0 ; c = 4.
2x-3y+4=0 ou y = 2x / 3+ 4 /3.
4. On consid�re la fonction f d�finie sur [0; +∞[ par f(x) = x2 / (x+1).
On note C sa courbe repr�sentative sur [0; +∞[.
Le coefficient directeur de la tangente � C au point d’abscisse 1 est :
a) 0,5 ; b) 0,75 ; c) 1,5 ; d) 2.
 R�ponse b.
On pose u = x2 et v =x+1 ; u' = 2x ; v' = 1 ; f '(x) =(u'v-v'u) / v2 = [2x (x+1) -x2] /(x+1)2 =(x2+2x) / (x+1)2.
f '(1) =3 /4 = 0,75.
5. L’ensemble des points M(x; y) dont les coordonn�es v�rifient l’�quation x2 − 2x + y2 + 4y = 4 est :
a) une droite
b) le cercle de centre A(1; −2) et de rayon 3
c) le cercle de centre B(−1; 2) et de rayon 9
d) l’ensemble vide.
x2 − 2x +1-1+ y2 + 4y +4-4= 4 ; (x-1)2 +(y+2)2 =9.
R�ponse b.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 37.

Un magasin effectue des promotions avant sa liquidation d�finitive, chaque semaine les prix des articles sont diminu�s de 10⁡% par rapport � la semaine pr�c�dente.
Un manteau co�te 200⁡€ ⁡avant le d�but de la liquidation, on pose u0=200 et on note un son prix lors de la n-i�me semaine de liquidation.
1. Calculer les termes u1 et u2 de la suite (un).
u1 = u0 x(1-10 /100) = 200 x 0,9 =180.
u2 = 0,9 x u1 = 0,9 x180=162.
2. Montrer que la suite (un) est une suite g�om�trique de premier terme u0=200 dont on pr�cisera la raison et exprimer le terme g�n�ral de la suite (un) en fonction de n.
un+1 / un = 0,9 , suite g�om�trique de raison 0,9 et de premier terme u0 = 200.
un = 200 x0,9n.
3. La liquidation dure 12 semaines, d�terminer le prix du manteau � la fin de la liquidation s’il est toujours en vente. On donnera le r�sultat arrondi au centime.
u12=200 x 0,912 =56,49 €.
4. On consid�re la fonction suivante, �crite en langage Python :
def seuil(x) :
u = 200
n = 0
while u > x :
u =0,9*u
n =n+1
return n
Recopier et compl�ter sur la copie la fonction afin qu’elle renvoie le nombre de semaines n�cessaires pour que le terme g�n�ral de la suite (un) soit inf�rieur au nombre r�el x.
5. Une personne d�cide d’acheter le manteau d�s que son prix sera inf�rieur � 100 ⁡€. Combien de semaines devra-t-elle attendre ?
u7=200 x0,97 =95,66. u6=200 x0,96 =106,29.
Elle doit attendre 7 semaines.

Sujet 38.
Un snack propose deux types de plats : des sandwichs et des pizzas.
Le snack propose �galement plusieurs desserts.
La g�rante constate que 80% des clients qui ach�tent un plat choisissent un sandwich et que parmi ceux-ci seulement 30% prennent �galement un dessert.
Elle constate aussi que 45 % des clients qui ont choisi une pizza comme plat ne prennent pas de dessert.
On choisit au hasard un client ayant achet� un plat dans ce snack.
On consid�re les �v�nements suivants :
S : � Le client interrog� a choisi un sandwich �.
T : � Le client interrog� a choisi un dessert �.
1. Sans justifier, recopier puis compl�ter l’arbre pond�r� suivant :

2. Calculer la probabilit� que le client ait choisi un sandwich et un dessert. 0,3 x0,8 = 0,24.
3. D�montrer que P(T) = 0,35.
4. Sachant que le client a achet� un dessert, quelle est la probabilit�, arrondie � 0, 01 pr�s, qu’il ait achet� une pizza ?
PT(non S) =P(T n non S) / P(T) =0,11 / 0,35 ~0,31.
5. Les �v�nements S et T sont-ils ind�pendants ?
P(S) = 0,8 ; P(T) =0,35 ; P(S) x P(T) = 0,8 x 0,35 = 0,28 diff�re de P(S n T).
Les �v�nements S et T ne sont pas ind�pendants.

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 37.
Afin d’�tablir les liens entre le surpoids et l’alimentation, on interroge les enfants des �coles primaires d’une ville.
L’enqu�te r�v�le que 60⁡% des enfants boivent 1 boisson sucr�e ou plus par jour.
Parmi les enfants buvant 1 boisson sucr�e ou plus par jour, un enfant sur 8 est en surpoids, contre seulement 8⁡% pour les enfants buvant moins d’une boisson sucr�e par jour.
On choisit un enfant au hasard parmi les enfants des �coles primaires de la ville et on consid�re les �v�nements suivants :
B : � l’enfant boit 1 boisson sucr�e ou plus par jour �,
S : � l’enfant est en surpoids �.
1. Justifier que PB(S)=0,125.
Parmi les enfants buvant 1 boisson sucr�e ou plus par jour, un enfant sur 8 est en surpoids.
1 / 8 = 0,125.
2. Repr�senter la situation par un arbre pond�r�.


3. Calculer P(B∩S).
0,6 x 0,125 = 0,075.
4. D�terminer la probabilit� que l’enfant soit en surpoids.
5. On a choisi un enfant en surpoids. Quelle est la probabilit� qu’il boive 1 boisson sucr�e ou plus par jour ? On arrondira le r�sultat au milli�me.
PS(B) = P(B∩S) / P(S) = 0,075 / 0,107 =0,701.

Sujet 38.

D�sirant participer � une course de 150 km, un cycliste pr�voit l’entra�nement suivant :
 parcourir 30 km en premi�re semaine ;
 chaque semaine qui suit, augmenter la distance parcourue de 9% par rapport � celle parcourue la semaine pr�c�dente.
On mod�lise la distance parcourue chaque semaine � l’entrainement par la suite (dn) o� dn repr�sente la distance en km parcourue pendant la n-i�me semaine d’entra�nement.
On a ainsi d1 = 30.
1. Prouver que d3 = 35,643.
d2 = d1(1+9 /100) = 1,09 d1 =1,09 x 30 =32,7 ;  d3 = 1,09 d2 =1,09 x32,7 =35,643.
2. Quelle est la nature de la suite (dn)⁡?⁡ Justifier.
dn+1 / dn = 1,09 ; suite g�om�trique de raison 1,09 et de premier terme d1=30.
3. En d�duire l’expression de dn en fonction de n.
dn = d1 x1,09n-1 = 30 x1,09n-1.
4. On consid�re la fonction d�finie de la fa�on suivante en langage Python.
def distance (k) :
d =30
n=1
while d <=k:
d=d*1,09
n=n+1
return n
Quelle information est obtenue par le calcul de distance(150) ?
La distance parcourue est �gale � 150 km au bout de n =20 semaines.
d20 = 30 x1,0919=154 km.
5. Calculer la distance totale parcourue par le cycliste pendant les 20 premi�res semaines d’entra�nement.
d1(1-1,0920) / (1-1,09) =1534,8 km.



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 37

On consid�re la fonction f d�finie sur l’intervalle [−4 ; 4] par f(x)=x3+3x2−9x−20. On admet que la fonction f est d�rivable sur l’intervalle [−4 ; 4] et on note f ′ sa fonction d�riv�e.
La courbe repr�sentative de la fonction f, not�e C, est trac�e dans le rep�re ci-dessous.
La droite T trac�e dans le rep�re est la tangente � la courbe C au point d’abscisse 0.

1. D�terminer graphiquement les extrema de la fonction f.
2. D�terminer l’expression de f ′(x) sur [−4;4].
f '(x) = 3x2+6x-9.
3. �tudier le signe de 3x2+6x−9 en fonction de ⁡x sur [−4;4].
Solutions de 3x2+6x−9 =0 ; discriminant D = 62-4*3*(-9) =144 = 122.
x1 =(-6+12) / 6 = 1 ; x2 = (-6-12) / 6 = -3.
a �tant positif, 3x2+6x-9 >0 sur [-4 ; -3[ union ]1 ; 4] et f(x) est strictement croissante.
3x2+6x-9 <0 sur ]-3 ; 1[  et f(x) est strictement d�croissante.
f '(x) = 0 pour x = -3 ( f(x) pr�sente un maximum) et pour x = 1 ( f(x) pr�sente un minimum).
4. En d�duire le tableau de variations de f ⁡sur [−4 ; 4] et retrouver les r�sultats de la question 1.

5. D�terminer l’�quation r�duite de la droite T, tangente � la courbe C au point d’abscisse 0.
Coefficient directeur de T : f  '(0) = -9.
Equation de T : y = -9x +b.
Le point de coordonn�es (0 ; -20) appartient � T : -20 = -9*0 +b ; b = -20.
y = -9x-20.
Sujet 38.
1. Soit f la fonction d�finie sur l’intervalle [0; 2] par f(x) = 8x − 2x3.
a. Montrer que pour tout r�el x de [0; 2], f ′(x) a le m�me signe que 4 − 3x2.
f '(x) =8-6x2= 2(4-3x2).
b. �tudier les variations de la fonction f ⁡sur [0 ; 2].
Solution  de 4-3x2 = 0 appartenant � [0 ; 2 ] : x = 2 / 3�.

2. Dans un rep�re orthonormal, on consid�re la parabole p d’�quation y = x2 et la droite d d’�quation y = 4.
On consid�re le rectangle MSFE tel que :
 M un point de p dont l’abscisse x est un r�el de ]0 ; 2[.
 S est le sym�trique de M par rapport � l’axe des ordonn�es.
 E et F sont respectivement les projet�s orthogonaux de M et S sur la droite d.

a. Lorsque l’abscisse x du point M varie dans ]0 ; 2[,⁡l’aire du rectangle MSFE est-elle constante ?
b. Montrer que l’aire du rectangle MSFE en fonction de l’abscisse x de M est 8x − 2x3.
Aire du rectangle :  MS * ME = 2x *(4-x2) =8x-2x3.
L'aire du rectangle n'est pas constante si x varie.
c. Montrer que l’aire maximale du rectangle MSFE est 32 / (3*3�).
f(x) pr�sente un maximum �gal � 32 / (3*3�) pour x =2 / 3�.
.


  

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