Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 39
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1.Pour tout r�el x, cos(25p + x) est �gal � :
a) cos(x)  ; b) - cos( x) ; c) cos(- x)  ; d) -1. R�ponse b.
25p= 12*(2p) +p ; cos(25p + x) = cos(p + x) = - cos(x).

 2. On consid�re une fonction f d�finie et d�rivable sur l’intervalle [−10 ; 10].
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction f :

On note c la courbe repr�sentative de f dans le plan muni d’un rep�re.
La tangente � la courbe c au point d’abscisse 3 a pour coefficient directeur :
a) 0 ; b) 3;  c) 4 ; d) 10. R�ponse a.
f '(3) =0, la tangente � la courbe est horizontale, son coefficient directeur est nul.

3. E et F sont deux �v�nements ind�pendants d’un m�me univers.
On sait que p(E) = 0,4 et p(F) = 0,3 alors :
a) p(E ∪ F) = 0,7 ; b) p(E ∩ F) = 1,2 ; c) p(E ∩ F) = 0 ; d) p(E ∩ F) = 0,12.
E et F sont deux �v�nements ind�pendants : p(E ∩ F) = p5E) * p(F) = 0,4 *0,3 = 0,12. R�ponse d.

4.  L’ensemble des solutions de l’in�quation −3x2 + 11x + 1 ≤ −3 est :
a) {−1 /3 ; 4} ; b) [−1 /3 ; 4] ; c) ]− ∞ ; −1 / 3] ∪ [4 ; +∞[ ; d) ]− ∞ ; 1 /3[ ∪ ]4 ; +∞[.
Solutions de −3x2 + 11x + 1+3=0 ; discriminant : D =112-4*4*(-3)=169 = 132.
x1 = (-11 +13) / (-6) = -1 / 3 et x2 = (-11-13) / (-6) =4.
a �tant n�gatif, la parabole pr�sente une maximum.
R�ponse c.
5. La loi de probabilit� d’une variable al�atoire X est donn�e par ce tableau :
xi
 -3
 2
 5
 10
p(X=xi)
 0,3
 0,21
 0,13
 0,36
On peut en d�duire que :
a) p(X > 2) = 0,49 ; b) p(X > 2) = 0,51 ; c) p(X ≥ 2) = 0,49 ; d) p(X ≥ 2) = 0,51.
p(X >2) =0,13 +0,36 = 0,49 ; p(X >2) =0,21 +0,13 +0,36 = 0,70 ;
 R�ponse a.

Sujet 40.
1. Pour tout r�el x, sin⁡(7p − x⁡) est �gal � :
a) sin x ; b) −⁡ sin x ; c) cos x ; d) − cos x.
sin⁡(6p +p- x⁡)=sin (p-x) = sin x. R�ponse a.

 2. Dans laquelle des quatre situations propos�es ci-dessous le produit scalaire  est-il �gal � 6 ?
a) ABC est un triangle tel que : AB = 6, AC = 4 et BC = 8.
b) Dans un rep�re orthonorm� du plan :
A(−3; 5), B(2; −2) et C(1; 7). Vrai.
Coordonn�es du vecteur AB ( 2-(-3) ; -2-5) soit (5 ; -7).
Coordonn�es du vecteur AC (1-(-3) ; 7-5) soit (4 ; 2).
Produit scalaire de ces deux vecteurs : 5 x4 +(-7) x2 ) = 20-14=6.
c) ABC est un triangle rectangle en B tel que : AB = 3 et AC= 2 .
d) ABC est un triangle tel que :AB = 6, AC = 4 et l'angle (BAC) = 30�  Faux.
AB x AC x cos 30 = 6 x4 x0,866 ~20,78.

3. On consid�re la fonction f d�finie sur R par : f(x) =(3x+4) /(x2+1).
f est d�rivable sur R et, pour tout r�el x,⁡ f ′(x) est �gal � :
a) 3 / (2x) ; b) (9x2+8x+3) / (x2+1)2 ; c ) (-3x2-8x+3) / (x2+1)2 ; d) 9x2+8x+3.
On pose u = 3x+4 et v = x2+1 ; u' = 3 et v' = 2x.
(u'v-v'u) / v2 =[3(x2+1)-2x(3x+4) ] / (x2+1)2 =(3x2+3-6x2-8x) / (x2+1)2 =(-3x2-8x+3) / (x2+1)2 . R�ponse c.

4. Le plan est rapport� � un rep�re orthonorm�.
L'ensemble des points 𝑀(x⁡; y) tels que x2 + y2 − 10x + 6y + 30 = 0 est :
a) une droite ; b) une parabole ; c) un cercle ; d) ni une droite, ni une parabole, ni un cercle.
 R�ponse c.
x2 + y2 − 10x + 6y + 30 =x2 -10x+25-25 + y2 + 6y +9-9+ 30=(x-5)2 +(y+3)2-4=0.
(x-5)2 +(y+3)2= 4. Cercle de centre (5 ; -3) et de rayon 2.

5. La somme 1 + 5 + 52 + ⁡ 53 + ⁡ … + 530 est �gale � :
a) (1-530) / 4 ; b)  (530-1) / 4 ; c) (1-531) /4 ; d) (531-1) / 4.
Somme des termes d'une suite g�om�trique de raison 5 et de premier terme1.
(1-531) / (1-5)=(531-1) / 4.
R�ponse d.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 39.

1. Soit la fonction f d�finie sur l’intervalle [0; +∞[ par f(x) = x2- 3x + 4.
Etudier les variations de f sur [0; +∞[.
f '(x) =2x-3.
Si x < 1,5 , f '(x) est n�gative et f(x) est strictement d�croissante.
Si x > 1,5 , f '(x) est positive et f(x) est strictement croissante.
Si x = 1,5, f '(x) est nulle et f(x) pr�sente un minimum.
2. Dans un rep�re orthonorm�, on consid�re la courbe c repr�sentant la fonction racine carr�e et le point A(2 ; 0).

a) Soit M(x ; y) un point de c. Exprimer y en fonction de x.
y = x�.
b) En d�duire que AM2=x2- 3x+4.
AM2 = (xM-xA)2 +(yM-yA)2=(x-2)2+y2 =x2+4-4x+x=x2- 3x+4.
c) D�terminer les coordonn�es du point de c le plus proche de A. Ce point est not� B pour la suite.
L'abscisse de B est l'abscisse du minimum de la parabole d'�quation  y =x2- 3x+4.
B( 1,5 ; 1,5�).
d) Un �l�ve affirme que la tangente en B � c est perpendiculaire au segment [AB]. A-t-il raison ? Justifier.
y ' =0,5 x-� ; coefficient directeur de cette tangente : y '(1,5) = 0,5 / 1,5�.
Coefficient directeur de la droite (AB) : (yB-yA) /(xB-xA) =1,5� / (-0,5) =-2*1,5�.
Le produit de ces deux coefficients directeurs �tant �gal � -1, la tangente � c en B est perpendiculaire au segment [AB].

Sujet 40.
Une enqu�te a �t� r�alis�e aupr�s des �l�ves d'un lyc�e afin de conna�tre leur point de vue sur la dur�e de la pause m�ridienne et sur les rythmes scolaires.
L'enqu�te r�v�le que 55 % des �l�ves sont favorables � une pause m�ridienne plus longue.
Parmi ceux qui sont favorables � une pause m�ridienne plus longue, 95 % souhaitent une r�partition des cours plus �tal�e sur l'ann�e scolaire.
Parmi ceux qui ne sont pas favorables � une pause m�ridienne plus longue, seulement 10 % souhaitent une r�partition des cours plus �tal�e sur l'ann�e scolaire.
On tire au hasard le nom d’un �l�ve du lyc�e.
On consid�re les �v�nements suivants :
 L : � L'�l�ve concern� est favorable � une pause m�ridienne plus longue. �
 C⁡: � L'�l�ve concern� souhaite une r�partition des cours plus �tal�e sur l'ann�e scolaire. �.
1. Recopier et compl�ter l'arbre pond�r� ci-dessous d�crivant la situation.

2. Calculer la probabilit� que l'�l�ve concern� soit favorable � une pause m�ridienne plus longue et souhaite une r�partition des cours plus �tal�e sur l'ann�e scolaire.
0,55 x0,95 = 0,5225.
3. Montrer que p(C) = 0,5675.
4. Calculer la probabilit� que l'�l�ve concern� soit favorable � une pause m�ridienne plus longue sachant qu'il souhaite une r�partition des cours plus �tal�e sur l'ann�e scolaire.
En donner une valeur arrondie � 10−4.
PC(L) = p(C n L) / p(C) =0,5225 / 0,5675 ~0,9207
5. Les �v�nements L et C sont-ils ind�pendants ? Justifier la r�ponse.
P(L) = 0,55 ; p(C) =0,5675 ; p(L) x p(C) =0,312125 diff�re de p(L n C).
Ces �v�nements ne sont pas ind�pendants.

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 39.
Une balle est l�ch�e d’une hauteur de 3 m�tres au-dessus du sol. Elle touche le sol et rebondit. � chaque rebond, la balle perd 25 % de sa hauteur pr�c�dente.
On mod�lise la hauteur de la balle par une suite (hn) o� hn d�signe la hauteur maximale de la balle, en m�tres, apr�s le n-i�me rebond. On a donc h0=3.
1. Calculer h1 et h2.
h1 = 3 x(1-25 /100) = 3 *0,75 = 2,25.
h2 = 2,25 *0,75 =1,6875.
2. La suite (hn) est-elle arithm�tique ? Justifier.
hn+1-hn =0,75 hn-hn = -0,25 hn, diff�re d'une constante : la suite n'est pas arithm�tique.
3. Donner la nature de la suite (hn) en pr�cisant ses �l�ments caract�ristiques.
hn+1/ hn =0,75; suite g�om�trique de raison 0,75 et de premier terme h0 =3.
4. D�terminer la hauteur, arrondie au cm, de la balle apr�s 6 rebonds.
h6 = h0 * 0,756 =3 *0,756 ~0,534 m.
5. La fonction � seuil � est d�finie ci-dessous en langage Python.
La recopier et la compl�ter  pour que cette fonction renvoie le nombre de rebonds � partir duquel la hauteur maximale de la balle sera inf�rieure ou �gale � 10 cm.
def seuil () :
h =3
n=0
while h >0,1
h = 0,75*h
n=n+1
return n.

Sujet 40.

� l’issue d’une �tude conduite pendant plusieurs ann�es, on mod�lise l'�volution du prix du m� d'un appartement neuf dans une ville fran�aise de la mani�re suivante :
� partir d'un prix de 4 200 € le m� en 2019, on applique chaque ann�e une augmentation annuelle de 3 % .
1. Avec ce mod�le, montrer que le prix du m� d'un appartement neuf dans cette ville en 2021 serait de 4 455,78 €.
En 2020: 4200 x(1+3/100) = 4200 x1,03 =4326.
En 2021 : 4326 x1,03 =4 455,78.
2. On consid�re la suite de terme g�n�ral un qui permet d’estimer, avec ce mod�le, le prix en euro du m� d'un appartement neuf l'ann�e 2019 + n𝑛. On a donc u0 = 4 200.
a) Quelle est la nature de la suite (un) ? En pr�ciser la raison.
un+1 / un = 1,03, suite g�om�trique de raison 1,03 et de premier terme 4200.
b) En d�duire l'expression du terme g�n�ral un en fonction de n, pour tout entier naturel n.
un =4200 x1,03n.
c) Selon ce mod�le, pourra-t-on acheter en 2024, un appartement de 40 m� si l'on dispose d'une somme de 200 000 € ?
En 2024 : u5=4200 x1,035=4868,95 € le m2.
4868,95 x 40 =194 758 €, valeur inf�rieure � 200 000 €. R�ponse oui.
3. On d�finit, en langage Python, la fonction seuil ci-dessous.
def seuil() :
u =4200
n=0
while u < 8000 :
u =u*1,03
n=n+1
return n.
Recopier et compl�ter le programme de sorte que cette fonction renvoie le nombre d'ann�es n�cessaires pour que, selon ce mod�le, le prix du m� d'un appartement neuf
d�passe 8 000 €.



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 39

Une enqu�te r�alis�e dans un camping a donn� les r�sultats suivants :
 60 % des campeurs viennent en famille, les autres viennent entre amis ;
 parmi ceux venant en famille, 35 % profitent des activit�s du camping ;
 parmi ceux venant entre amis, 70 % ne profitent pas des activit�s du camping.
On choisit au hasard un client de ce camping et on consid�re les �v�nements suivants :
F : � le campeur choisi est venu en famille �,
A : � le campeur choisi profite des activit�s du camping �.
1. Recopier et compl�ter l’arbre de probabilit�s donn� ci-dessous :

2. a) Calculer p(F∩ non A)
b) Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
p(F∩ non A)=0,6 * 0,65 = 0,39.
39 % des campeurs viennent en famille sans profiter des activit�s du camping.
3. Montrer que p(A)=0,33.
4. Sachant que le campeur choisi a profit� des activit�s du camping, calculer la probabilit� qu’il soit venu en famille. Arrondir le r�sultat au centi�me.
pA(F) = p(A n F) / p(A) =0,21 / 0,33 ~0,64.
Sujet 40.
1. Soit ⁡f la fonction d�finie sur R par f(x) = 4x3 − 48x2 + 144x.
a) Calculer f ′(x) et montrer que f ′(x) = 12(x2 − 8x + 12).
b) En d�duire le tableau variations de la fonction f sur R.
f '(x) = 12x2 -96x+144 = 12(x2-8x+12).
Solutions de x2-8x+12=0 : discriminant D =(-8)2 -4 *12=16 = 42.
x1 = (8+4) / 2 = 6 et x2 =(8-4) / 2=2.
f '(x) = 12(x-2)(x-6).

2. Dans une plaque de carton carr�e de 12 cm de c�t�, on d�coupe, aux quatre coins, des carr�s identiques afin de construire une bo�te sans couvercle, comme indiqu� sur les figures
ci-dessous.

On note x la longueur (en cm) du c�t� de chacun des carr�s d�coup�s.
On admet que x ∈⁡]0⁡; 6[. L'objectif est de d�terminer la longueur x permettant d'obtenir une bo�te de volume maximal.
a) Montrer que le volume de la bo�te est �gal � 100 ⁡cm3 pour 𝑥 = 1. D�tailler le calcul.
Aire du fond de la bo�te : (12-2x)2 ; volume de la bo�te : V =x(12-2x)2 ; si x = 1 V = (12-2)2 = 100 cm3.
b) Montrer que, pour x ∈⁡]0⁡; 6[, le volume de la bo�te est �gal � f(x), f �tant la fonction �tudi�e � la question 1.
V = x(12-2x)2 = x(144+4x2-48x) =144x+4x3-48x2 = f(x).
c) Quelle est la valeur de x permettant d'obtenir une bo�te de volume maximal ?
f(x) admet un maximum pour x = 2 et le volume est �gal � 128 cm3.
 .


  

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