Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 41
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1.Dans un rep�re orthonorm�, on donne les coordonn�es de deux vecteurs soit respectivement  (-4 ; 3) et (-1 ; 5). Le produit scalaire de ces deux vecteurs vaut :
a) −23 ; b) −17 ; c) 19 ; d) 23.
-4 *(-1) + 3 *5 = 19. R�ponse c.

 2. Dans un rep�re orthonorm�, on donne les coordonn�es d'un vecteur soit (-1 ; 5). Alors la longueur de ce vecteur est �gale � :
a) 24 ; b) √24  c) 26 ; d) √26.
[(-1)2 +52)]� =26�.  R�ponse c.

3.ABC est un triangle �quilat�ral de c�t� 3. I et H sont les milieux respectifs de [CB] et de [AB].
D est le projet� orthogonal de I sur (CH). On a :

R�ponse a.

4.  Soit un r�el 𝑥 tel que cos (x)=3� / 2. On a :
a) cos (-x)=3� / 2. cos (x)=3� / 2.Vrai. ( la fonction cosinus est paire)
b) sin (x)= -3� / 2.
c) sin (x)=3� / 2.
d) cos (-x)= -3� / 2.
R�ponse c.
5. Le plan est muni d’un rep�re orthonorm�.
On consid�re l’�quation de cercle x2−2x+(y+3)2=3. Son centre a pour coordonn�es :
a) (−1;−3) ; b) (1;−3) ; c) (−2;3) ; d) (−2;−3).
x2−2x+1-1+(y+3)2=3.
(x-1)2+(y+3)2=4.
 R�ponse b.

Sujet 42.
1. On consid�re la fonction g d�finie sur ℝ par g(x)=2x2+5x−4.
La tangente � la courbe repr�sentative de g au point d’abscisse 2 a pour �quation :
a) y=14x+14 ; b) y=14x−14 ; c) y=13x−15 ; d) y=13x−12. R�ponse d.
f '(x) =4x+5.
Coefficient directeur de la tangente f '(2) =4*2+5=13.
La droite passe par le point de coordonn�es (2 ; f(2) soit (2 ; 14).
14 = 13*2+b ; b = -12.
Equation de la tengente : y = 13x-12.

 2. On se place dans un rep�re orthonorm� du plan. On consid�re les points A(4;8), B(9;6) et D(2;11). Alors  est �gal � :
a) −1 ; b) 11; c) −31; d) 29.R�ponse d.
3. Dans un rep�re orthonorm� du plan, on consid�re la droite D d’�quation 3x−4y+5=0. La droite parall�le � D et passant par A(4;8) a pour �quation :
a) 4x+3y−40=0 ; b) 3x−4y−5=0 ; c) 3x−4y+20=0 ; d) 4x+3y+6=0. R�ponse c.
Les droites parall�les ont m�me vecteur directeur :  3x−4y+d=0.
A(4 ; 8) appartient � la droite : 3*4 - 4*8+d = 0 ; d =20.

4. Soit (un) la suite g�om�trique de raison q=−1,2 et de terme initial u0=10. Alors :
a) 0<u3000<1000 ; b) u3000=−3590 ; c) u3000 >1000 ; d) u3000=−36000.
u3000 = u0 * (-1,2)3000 ~3,497 x 10238.
 R�ponse c.

5. Soit (vn) la suite d�finie par : v0=1 et vn+1=4vn+2 pour tout entier n.
On veut d�terminer la plus petite valeur de n telle que vn est sup�rieur ou �gal � 100 000. On r�alise pour cela le programme incomplet ci-dessous �crit en langage Python :
def algo( ) :
V = 1
n = 0
while ……………… :
n = n+1
V = 4* V + 2
return(n)
Pour que le programme retourne la valeur demand�e, il faut compl�ter la partie en pointill� par :
a) V == 100000 ; b) V ! = 100000 ; c) V > 100000 ; d) V < 100000
R�ponse d.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 41.

Au sein d’un lyc�e, parmi les �l�ves de premi�re ayant choisi la sp�cialit� math�matique, il y a 110 filles dont 5 ne poursuivent pas la sp�cialit� en terminale et 90 gar�ons dont 8 ne poursuivent pas la sp�cialit�.
On interroge au hasard un �l�ve et on d�finit les �v�nements suivants :
 F l'�v�nement : � L'�l�ve interrog� est une fille �,
G l'�v�nement : � L'�l�ve interrog� est un gar�on �,
 S l'�v�nement : � L'�l�ve interrog� poursuit la sp�cialit� �.
On donnera les valeurs exactes pour chacune des questions.
1) Calculer p(G), p(G∩S̅) et p(S̅).

2) L'�l�ve interrog� ne poursuit pas la sp�cialit�. Calculer la probabilit� que ce soit un gar�on.
Pnon S (G) =P(non S n G) / P(non S) =8 / 13.
3) Les �v�nements G et S sont-ils ind�pendants ?
P(G) x P(S) = 9 / 20 x 187 / 200 = 1683 / 4000.
P(G∩S) =41 / 100 diff�rent de P(G) x P(S).
Ces �v�nements ne sont pas ind�pendants.

Sujet 42.
Un fromager fait l’inventaire des produits qu’il a en cave.
La r�partition de ses 3 types de fromages est : 25 % au lait de ch�vre, 60 % au lait de vache, 15 % au lait de brebis.
Chacun de ses 3 types de fromages se partage en deux cat�gories : frais ou affin�.
Le tableau suivant donne la r�partition des fromages de chaque cat�gorie suivant leur affinage :

 frais
 affin�
lait de vache
 20 %
 80 %
lait de ch�vre
 40 %
 60 %
lait de brebis
 70 %
 30 %
Le fromager prend un fromage au hasard. On note les �v�nements suivants :
 V : � le fromage est fait avec du lait de vache � ;
 C : � le fromage est fait avec du lait de ch�vre � ;
 B : � le fromage est fait avec du lait de brebis � ;
 F : � le fromage est frais � ;
 A : � le fromage est affin� �.
1) Donner les probabilit�s PC(A) et P(B).
2) D�montrer que P(A)=0,675.

3) Le fromager prend au hasard un fromage affin�. Quelle est la probabilit� qu’il s’agisse d’un fromage au lait de vache ? On donnera le r�sultat � 10−3 pr�s.
PA(V) =P(A n V) / P(A) =0,48 / 0,675 ~0,711.

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 41.
Partie A.
Soit la suite g�om�trique (un) de raison 0,999 et de premier terme u0=82695.
1) Calculer u19.
u19 = u0 x0,99919 =82695 x0,99919 ~81 137, 856.
2) Calculer S=u0+u1+⋯+u19.
S = u0(1-0,99920) /(1-0,999) ~1 638 281,82.

Partie B.
La population d’un pays s’�levait � 82 695 000 habitants au premier janvier 2016.
Sans tenir compte des flux migratoires, on estime que la population baisse de 0,1 % chaque ann�e.
D�terminer une estimation de l’effectif de la population de ce pays au premier janvier 2035.
0,1 % = 0,001.
Il s'agit d'une suite g�om�trique de raison 1-0,001 = 0,999 et de premier terme 82 695 000.
2035-2016 =19.
Estimation de la population en 2035 : 81 137 856.

Partie C.
Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires : on estime qu’en 2016, le solde migratoire (diff�rence entre les entr�es et les sorties du territoire) est positif et s’�l�ve � 58 700 personnes.
De plus, on admet que la baisse de 0,1 % de la population ainsi que le solde migratoire restent constants chaque ann�e suivant 2016.
On propose la fonction suivante �crite sous Python :
def population(N) :
p =82695000
for I in range (1, N+1):
p = 0,999*p+58700
return p

1) Si on saisit : � population (2) �, quelle valeur nous retourne cette fonction ?
p1 = 0,999*82695000 + 58700 =82 671 005.
p2 = 0,999*82671005 + 58700 =82 647 034.
2) Si on saisit : � population (19) �, la valeur arrondie � l'entier retourn�e par cette fonction est 82 243 175.
Que repr�sente ce nombre dans le contexte de la partie C ?
En 2035, la population est estim�e � 82 243 175 personnes.

Sujet 42.

Partie A.
�tudier sur ℝ le signe de P(x)=−10x2−40x+120.
Discriminant de −10x2−40x+120 = 0 ; D = (-40)2 -4*(-10)*120 =6400 =802.
Solutions de P(x) = 0 : x1 =(40 +80) / (-20) = -6 ; x1 =(40 -80) / (-20) = 2.
P(x) > 0 si x appartient � [-6 ; 2 ] et P(x) < 0 si x < 2 et x < -6.
Partie B.
On se place dans un rep�re orthonorm�. La courbe H repr�sent�e sur le graphique ci -dessous est l’ensemble des points de l’hyperbole d’�quation : y=(10x+4) / (x+2)
avec x appartenant � l’intervalle [0 ; 8].
Pour toute abscisse x dans l’intervalle [0 ; 8], on construit le rectangle ABDE comme indiqu� sur la figure. On donne les informations suivantes :
 A et B sont sur l’axe des abscisses ;
 A est d’abscisse x ;
 B et D ont pour abscisse 8 ;
 E appartient � la courbe H ;
D et E ont la m�me ordonn�e.

L’objectif de ce probl�me est de d�terminer la ou les valeurs �ventuelles x de l’intervalle [0 ; 8] correspondant � un rectangle ABDE d’aire maximale.
1) D�terminer l’aire du rectangle ABDE lorsque x = 0.
AB = 8 ; AE = 2 ; aire du rectangle : 8 * 2 = 16.
2) D�terminer l’aire du rectangle ABDE lorsque x = 4.
AB = 4 ; AE =44 / 6 = 22 /3 ; aire du rectangle : 4 *22 /3 = 88 /3.
On d�finit la fonction f qui � tout r�el x de [0 ; 8], associe l’aire du rectangle ABDE. On admet que : f(x)=(−10x2+76x+32) / (x+2).
3) R�pondre au probl�me pos�.
Calcul de f '(x) en posant u = −10x2+76x+32 et v = x+2; u' = -20x +76 ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 =[(-20x+76)(x+2)-(−10x2+76x+32)] /(x+2)2 =[-20x2-40x +76x +152+10x2-76x-32)] /(x+2)2 =[-10x2-40x +120] /(x+2)2 .
f ' (x) poss�de le signe de -10x2-40x +120 :
 f '(x) >0 si x appartient �  [2 ; 8] et f(x) est croisante ; f ' (x) < 0 si x appartient � [0 ; 2] et f(x) est d�croissante.
L'aire du rectangle est maximale pour x = 2.



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 41

On consid�re la fonction f d�finie sur ]−∞;2[ par : f(x) = (x2-4x+8) / (x-2).
On se place dans un rep�re orthonorm�.
1) R�soudre f(x) = 0.
x2-4x+8 =0 ; discriminant D =(-4)2 -4*8= -16.
Le discriminant �tant n�gatif, il n'y a pas de solution r�elle.
2) On note f ′ la fonction d�riv�e de f.
a. D�montrer que pour tout r�el x de ]−∞;2[ : f ′(x)=(x2−4x) / (x−2)2.
On pose u = x2-4x+8 et v = x-2 ; u' = 2x-4 ; v ' = 1.
(u ' v- v 'u) / v2 = [(2x-4)(x-2)-( x2-4x+8)] /(x-2)2 =[2x2-4x-4x+8-x2+4x-8)] / (x-2)2 =(x2−4x) / (x−2)2.
b. D�terminer les variations de la fonction f.
Le signe de f '(x) est celui de x2-4x = x(x-4).

3) D�terminer une �quation de la tangente D � la courbe repr�sentative de f au point d’abscisse 1.
Coefficient directeur de cette droite : f '(1) = -3.
La tangente passe par le point de coordonn�e (1 ; f(1)) soit (1 ; -5).
-5 = -3+b ;  b = -2. y = -3x-2.
4) Tracer la droite D et une esquisse de la courbe repr�sentative de la fonction f dans le rep�re donn�.
Sujet 42.
On applique une tension sinuso�dale u aux bornes d’un circuit �lectrique comportant en s�rie une r�sistance et une diode id�ale.
Le temps t est exprim� en seconde.
La tension est donn�e par la fonction u d�finie pour tout r�el t ≥0 par : u(t)=3� sin(100p t+p/3)
La diode est non passante si u(t)≤ 3� / 2 et elle est passante si  u(t) > 3� / 2.
1) La diode est-elle passante � l’instant t=0 ?
u(0) =3� sin(p/3)=1,5.
u(0) > 3� / 2, la diode est passante.
2) Calculer u(0,01). Interpr�ter le r�sultat.
 u(0,01)=3� sin(100p *0,01+p/3) =3� sin(4p /3) = -1,5.
u(0,01) < 3� / 2, la diode est non passante.
3) On admet que u(t+0,02)=u(t) pour tout t ≥0. En d�duire une propri�t� de la fonction u.
u(t) est p�riodique de p�riode 0,02 s.
4) On donne ci-dessous la courbe repr�sentative de la fonction u sur l’intervalle [0;0,02] :

On cherche � savoir au bout de combien de temps la diode devient non passante pour la premi�re fois.
a. Conjecturer la solution du probl�me � l’aide du graphique.
b. Calculer u(0,005) et conclure.
 u(0,005)=3� sin(100p *0,005+p/3) =3� sin(5p /6) = 3� / 2.
.


  

menu