Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 43
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1.On d�finit la fonction f sur ]2,5 ;+∞[ par : f(x)=(3x+1) / (−2𝑥+5)
Alors pour tout x∈]2,5;+∞[, f ′(x) est donn� par l’expression :
a) -1,5 ; b) 17/(−2𝑥+5)� ; c) 13 /(−2𝑥+5)� : d) −13(−2𝑥+5)� R�ponse b.
On pose u = 3x+1 et v = -2x+5 ; u' = 3 ; v' = -2.
(u'v-v'u) / v2 =[3(-2x+5)-(-2)(3x+1)] / (-2x+5)2 =17 / (-2x+5)2 .

 2. On consid�re une fonction f polyn�me de degr� 2 dont une repr�sentation graphique est donn�e ci dessous dans un rep�re orthonorm�.

Par lecture graphique, on peut affirmer qu’une forme factoris�e de 𝑓 est :
a) −2(x+1)(x+3)
b) −2(x−1)(x−3)
c) 2(x−1)(x−3)
d) 2(x+1)(x+3) R�ponse b.

3. On se place dans un rep�re orthogonal. On a trac� ci dessous la courbe repr�sentative d’une fonction 𝑓 ainsi que sa tangente au point A.

On a alors :
a) f ′(0)=0 ; b) f ′(0)=2 ; c) f ′(0)=1 ; d) f ′(0)=0,5
 R�ponse c.

4.  Le plan est rapport� � un rep�re orthonorm�. On consid�re les points G(1 ;−2) et H(6 ;4).
La droite (GH) passe par le point :
a) A(−3 ;2) ; b) B(2,5 ;0) ; c) C(10 ;12) ; d) D(−14 ;−20).  R�ponse d.
y = ax+b.
G appartient � cette droite : -2 =a+b ; H appartient � cette droite : 4=6a+b.
4-(-2) =6a-a ; a = 6 /5 =1,2 et b = -3,2.
y = 1,2x -3,2.
5.On consid�re un nombre r�el x appartenant � l’intervalle [𝜋 ; 3𝜋/2] tel que cos x =− √3 /2.
Alors sin(x) est �gal � :
a) √3 / 2 ; b) −√3 / 2 ; c) −1 / 2; d) 1 / 2.   R�ponse c.
sin2 x = 1 -cos2x = 1-3 /4 = 1 /4 ; sin x = �1 / 2.
x appartient � l’intervalle [𝜋 ; 3𝜋/2] , solution retenue sin x  = -1 / 2.

 Sujet 44.
1. cos(𝑥)=−√3 / 2 pour :
a) 𝑥=5𝜋 / 6 ; b) 𝑥=4𝜋 / 3 ; c) 𝑥=−𝜋  / 3 ; d) 𝑥=−𝜋 / 6. R�ponse a.
cos x = � cos (5𝜋 / 6).

 2. Dans le plan muni d’un rep�re, on consid�re la droite (AB) passant par les points A(−2,7) et B(4,−5) Un vecteur directeur de la droite (AB) a pour coordonn�es :
a) (2 ; 2) ; b) (−12 ; 6) ; c)  (6−12) ; d) (2 ; −12). R�ponse c.
y = ax +b.
A appartient � la droite : 7 =-2a+b ; B appartient � la droite : -5 = 4a+b.
-5-7=4a-(-2a) ; a = -2.
Coordonn�es d'un vecteur directeur de cette droite : (1 ; -2)  ou (6 ; -12)
3. Dans le plan muni d’un rep�re, la droite d’�quation 𝑦=−2𝑥+5 a pour vecteur directeur, le vecteur de coordonn�es :
a) (2 ; 1) ; b) (−1 ; 2) ; c)  (1 ; 2) ; d)  (−2 ; 1). R�ponse b.
Coordonn�es d'un vecteur directeur de cette droite : (1 ; -2)  ou ( -1 ; 2).

4. Dans le plan muni d’un rep�re, la repr�sentation graphique d’une parabole P est donn�e ci-dessous. La forme canonique
de son �quation est :

a) 𝑦 = (𝑥 + 2)2 + 5 ; b) 𝑦 = (𝑥 − 5)2 + 1 ;
c) 𝑦 = (𝑥 − 1)2 + 2 d) 𝑦 = (𝑥 − 2)2 + 1.  R�ponse d.

5. Soit le cercle d’�quation cart�sienne (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 9 dans le plan muni d’un rep�re orthonorm� :
a) le cercle a pour centre C(−2, 3)
b) le cercle a pour centre C(3, −2)
c) le cercle a pour rayon 𝑅 = 9�
d) le cercle a pour centre C(2, −3)
R�ponse a.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 43.

Camille et Dominique ont �t� embauch�s au m�me moment dans une entreprise et ont n�goci� leur contrat � des conditions diff�rentes :
- Camille a commenc� en 2010 avec un salaire annuel de 14 400 €, alors que le salaire de Dominique �tait, cette m�me ann�e, de 13 200 €.
- Le salaire de Camille augmente de 600 € par an alors que celui de Dominique augmente de 4 % par an.
1) Quels �taient  salaires annuels de Camille et  Dominique en 2012 ?
14400 +600+600=15 600 €.
13200 x1,042 =14 277,12 €.
2) On mod�lise les salaires de Camille et de Dominique � l’aide de suites.
a. On note un le salaire de Camille en l’ann�e 2010 +n. On a donc u0= 14 400.
Quelle est la nature de la suite (𝑢n) ?
Suite arithm�tique de raison 600, de premier terme 14 400.
b. D�terminer en quelle ann�e le salaire de Camille d�passera 20 000 €.
un = 14 400 + 600 n > 20 000 ; 600 n > 5600 ; n > 5600 / 600 ; n > 9,33 soit 10 ( ann�e 2020 ).
c. On note 𝑣𝑛 le salaire de Dominique en l’ann�e 2010 +𝑛.
Exprimer 𝑣𝑛+1 en fonction de 𝑣𝑛.
vn+1 = 1,04 vn.
d. Calculer le salaire de Dominique en 2020. On arrondira le r�sultat � l’euro.
v10 = 13200 *1,0410 ~19539.
3) On veut d�terminer � partir de quelle ann�e le salaire de Dominique d�passera celui de Camille. Pour cela, on dispose du programme incomplet ci dessous �crit en langage Python.
Recopier et compl�ter les quatre parties en pointill� du programme ci dessous :
def algo() :
A = 14400
B = 13200
n=0
while : B < A
A = A+600
B = B*1,04
n =n+1
return (n)

Sujet 44.
Soit la fonction 𝑝 d�finie sur 𝑹 par 𝑝(𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2 + 9𝑥 + 5.
Partie A :
1. Quelle est l’image de 5 par 𝑝 ?
p(5) = -53 +3*52 +9*5+5= 0
2. Montrer que pour tout r�el 𝑥, 𝑝(𝑥) = (5 − 𝑥)(𝑥2 + 2𝑥 + 1).
(5 − 𝑥)(𝑥2 + 2𝑥 + 1) =5x2 +10x +5-x3-2x2-x =−𝑥3 + 3𝑥2 + 9𝑥 + 5 = p(x)
3. En d�duire le signe de 𝑝(𝑥) sur 𝑹.
p(x) = (5-x)(x+1)2.
(x+1)2 est positif, le signe de p(x) est celui de (5-x).
Si x < 5, p(x) positif ; si x=5, p(x) = 0 ; si x > 5, p(x) n�gatif.

Partie B :
1. D�terminer la fonction d�riv�e de la fonction 𝑝.
2. D�montrer que la fonction 𝑝 admet un maximum sur l’intervalle [0;5] dont on pr�cisera la valeur.
p '(x) = -3x2 +6x +9 = 3(-x2 +2x+3).
Racines de -x2 +2x+3 =0 ; discriminant D =22-4*3*(-1) =16 = 42.
x1 =(-2-4) / (-2) = 3 ; x1 =(-2+4) / (-2) = -1 ;
p'(x) < 0 sur ]-oo ; -1], p(x) d�croissante.
p'(x) > 0 sur [-1 ;3], p(x) croissante.
p'(x) <0 sur [3 ; +oo[, p(x) d�croissante.
p'(-1) = 0 ; p(x) pr�sente un minimum pour x = -1.
p'(3) = 0 ; p(x) pr�sente un maximum pour x =3
p(3) =-33 +3*32 +9*3+5= 32.

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 43.
Dans un rep�re orthonorm�, on consid�re les points A(−1 ;3), B(5 ;0) et C(9 ;3).
1) D�terminer une �quation cart�sienne de la droite (AB).
y = ax +b.
A appartient � cette droite :3= -a+b ; B appartient � cette droite : 0 = 5a+b.
0-3=5a-(-a) ; a = -0,5 et b = 2,5.
y = -0,5x+2.5 soit y +0,5x-2,5=0.
2) D�terminer une �quation cart�sienne de la droite 𝐷 passant par le point C et de vecteur normal de coordonn�es (-1 ; 3).
3y-x+b =0.
C appartient � cette droite : 3*3-9+b=0 ; b = 0 ; 3y-x=0.
3) D�montrer que les droites 𝐷 et (AB) ne sont pas parall�les.
Coefficient directeur de la droite (AB) : -0,5.
Coefficient directeur de la droite (D) : 1 /3.
Ces coefficient �tant diff�rents, les droites ne sont pas parall�les.
On admet que le point E(3 ;1) est le point d’intersection de ces deux droites.
4) Les droites 𝐷 et (AB) sont elles perpendiculaires ?
Coordonn�es d'un vecteur normal � la droite (AB) : 0,5 ; 1.
Coordonn�es d'un vecteur normal � la droite (D) : -1 ; 3.
Ces deux vecteurs ne sont pas perpendiculaires; leur produit scalaire n'est pas nul ( 0,5 *(-1)+3*1 =2,5, diff�re de z�ro).
Les droites ne sont pas perpendiculaires.
5) On donne AE=2√5 et EC=2√10.
Calculer la mesure en degr�s de l’angle AEC.


Sujet 44.

Au cours de l’hiver, on observe dans une population, 12 % de personnes malades.
Parmi les personnes malades, 36 % d’entre elles pratiquent une activit� sportive r�guli�rement.
Parmi les personnes non malades, 54 % d’entre elles pratiquent une activit� sportive r�guli�rement.
Une personne est choisie au hasard dans la population.
On note M l’�v�nement � la personne est malade � et S l’�v�nement � la personne a une activit� sportive r�guli�re �.
Dans cet exercice, les r�sultats approch�s seront donn�s � 10 – 3 pr�s.
1. Recopier et compl�ter l’arbre pond�r�.
2.a) Quelle est la probabilit� que la personne soit malade et qu’elle pratique une activit� sportive r�guli�rement ?
b) Montrer que la probabilit� que la personne pratique une activit� sportive r�guli�rement est �gale � 0,5184.

3. La personne choisie n’a pas d’activit� sportive r�guli�re. Quelle est la probabilit� pour qu’elle soit malade ?
Pnon S (M) =P(non S n M) / P(non S) =0,0768 / (1-0,5184)~0,160.
4. Un journaliste annonce qu’une pratique r�guli�re d’une activit� sportive diminue par deux le risque de tomber malade. Que peut-on conclure sur la pertinence de cette annonce ? Justifier.
P S (M) =P(S n M) / P( S) =0,0432 / 0,5184~0,0833.
P S (M) ~0,5 Pnon S (M), l'affirmation est vraie.



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 43

Un parent d’�l�ves propose un jeu pour la f�te de l’�cole.
Une urne opaque contient 100 billes indiscernables au toucher : 10 billes rouges, 30 billes blanches et 60 billes vertes.
Pour une partie, chaque joueur doit miser 2 jetons. Ensuite, le joueur pr�l�ve une bille au hasard dans l’urne.
 Si la bille pr�lev�e est rouge, le joueur r�cup�re 8 jetons.
 Si la bille est blanche, le joueur r�cup�re 4 jetons.
  Si la bille est verte, le joueur ne gagne rien.
On note X la variable al�atoire �gale au gain alg�brique du joueur en nombre de jetons, c’est � dire, le nombre de jetons gagn�s diminu� de la mise.
1) a) �tablir que la loi de probabilit� de X est donn�e par :
valeurs prises par X
 -2
 2
 6
P(X) =a
 0,6
 0,3
 0,1
Probabilit� de tirer une boule rouge : 10 /100 = 0,1. Gain :8-2 =6.
Probabilit� de tirer une boule blanche : 30 /100 = 0,3. Gain :4-2 =2.
Probabilit� de tirer une boule verte : 60 /100 = 0,6. Gain :0-2 = -2.
1) b) D�montrer que le jeu est �quitable, c’est � dire que l’esp�rance de X est nulle.
-2 *0,6 +2 *0,3 +6*0,1 = 0.
1) c) Calculer la variance puis l’�cart type de X. On arrondira au centi�me.
Variance : V = 0,6*(-2)2 +0,3 *22 +0,1*62 =2,4 +1,2 +3,6 =7,2 ; �cart type : s = 7,2� =2,68.
2) Pour financer les diff�rentes actions de l’�cole, les organisateurs de la f�te veulent modifier le jeu pour qu’il leur devienne favorable. Ils d�cident alors d’ajouter des billes vertes dans l’urne.
Combien de billes vertes doit on ajouter dans l’urne pour que l’esp�rance du jeu soit �gale � −1 ?
Soit x le nombre de billes vertes ajout�es dans l'urne.
Probabilit� de tirer une boule rouge : 10 /(100+x) . Gain :8-2 =6.
Probabilit� de tirer une boule blanche : 30 /(100+x) . Gain :4-2 =2.
Probabilit� de tirer une boule verte : 60+x / (100+x) . Gain :0-2 = -2.
Esp�rance : E=[6*10 +2*30 -2(60+x)] / (100+x) = -1.
-2x /(100+x) = - 1 ; 2x = 100 +x ; x = 100.
Sujet 44.
En 2012, un artisan batelier a transport� 300 tonnes de marchandises sur sa p�niche.
Il augmente sa cargaison chaque ann�e de 11 % par rapport � l’ann�e pr�c�dente.
On mod�lise alors la quantit� en tonnes de marchandises transport�es par l’artisan batelier par une suite (𝑢𝑛) o� pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 est la quantit� en tonnes de marchandises transport�es en (2012 + 𝑛). Ainsi 𝑢0=300.
1. a) Donner la nature de la suite (𝑢𝑛) et pr�ciser sa raison.
un+1 / un = 1,11, suite g�om�trique de raison 1,11.
b) Pour tout entier naturel 𝑛, exprimer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.
un = 300 x 1,11n.
2. Le batelier d�cide qu’� partir de 1 000 tonnes transport�es dans l’ann�e, il ach�tera une p�niche plus grande.
a) Recopier et compl�ter l’algorithme suivant, �crit en langage Python, afin de d�terminer en quelle ann�e il devra changer de p�niche :
u =300
n=0
while u <1000 :
u = 1,11*u
n=n+1
b) En quelle ann�e changera-t-il de p�niche ?
u11 = 300 x 1,1111 =945 ; u12 = 300 x 1,1112 =1049. (ann�e 2012+12=2024).
3. Une tonne transport�e est pay�e au batelier 15 €.
La proposition : � Le chiffre d’affaires total entre 2012 et 2019 de l’artisan batelier sera sup�rieur � 70 000 € � est-elle vraie ? Justifier la r�ponse.
Somme des 8 premiers termes de la suite g�om�trique : 300(1-1,118) /(1-1,11) =3557,83.
3557,83 x15 =53 367 €, l'affirmation est fausse.
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