Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 45
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, on consid�re les vecteurs decoordonn�es respectives (−2,4) et  (3,−6).
Le produit scalaire de ces deux vecteurs est �gal � :
a. 18 ; b. −30 ; c. 0 ; d. 24 R�ponse b.
-2x3+4x(-6) =-6-24 = -30.

 2. On consid�re le triangle ABC tel que 𝐴𝐵=5, 𝐴𝐶=7 et l'angle BAC=60�.
Quelle est la longueur du c�t� BC ?
a. 𝐵𝐶=√109 ; b. 𝐵𝐶=√74 ; c. 𝐵𝐶=−35√3+74 ; d. 𝐵𝐶=√39.  R�ponse d.
BC2 = AB2+AC2-2*AB*AC*cos 60 =25+49-70 cos 60 = 74-35 =39.

3. Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, on consid�re le cercle C de centre 𝐴(2;3) et de rayon 𝑅=4.
Parmi les �quations suivantes, laquelle est une �quation du cercle C ?
a. 𝑥2+4𝑥+𝑦2+6𝑦+9=0
b. 𝑥2+4𝑥+𝑦2+6𝑦−3=0
c. 𝑥2−4𝑥+𝑦2−6𝑦−3=0
d. 𝑥2−4𝑥+𝑦2−6𝑦+9=0
 R�ponse c.
(x-2)2 +(y-3)2 = 42 ; x2-4x+4 +y2-6y+9 = 16 ; x2-4x +y2-6y-3 = 0.

 4.  Le r�el −23π / 3 a le m�me point image sur le cercle trigonom�trique que le r�el :
a. −π / 3 ; b. π / 3 ; c. −2π / 3 ; d. 2π / 3.  R�ponse b.
 −23π / 3 = −24π / 3 +π / 3 = π / 3 -4*2π.
 
5. On consid�re l’algorithme suivant �crit en langage Python :
Liste(N):
U=1
L = [U]
for i in range (1 ; N):
U = 2*U+3
L.append(U)
return(L)
Que contient la variable L � la fin de l’ex�cution dans le cas o� on choisit 𝑁 = 4 ?
a. [1, 5, 13, 29, 61]  ; b. [1, 5, 13, 29]  ; c. 61 ; d. 9. R�ponse b.

 Sujet 46.
1. On munit le plan du rep�re orthonorm�.
On consid�re trois points du plan A, B et C tels que AB=2 ; AC =√3 et angle BAĈ=5𝜋 /6.
Alors le produit scalaire suivant est �gal � :
a. 2√3 ; b. 3 ; c.− 2√3 ; d. – 3. R�ponse d.


 2. Soit a un nombre r�el. On munit le plan du rep�re orthonorm�.
On consid�re les vecteurs de coordonn�es respectives (sin (𝑎) ; cos (𝑎)) et (−cos (𝑎) ; sin (𝑎)). Alors  le produit scalaire  de ces deux vecteurs est �gal � :
a. sin2(𝑎)+ cos2(𝑎) ; b. 1 ; c. sin2(𝑎)− cos2(𝑎) ; d. 0. R�ponse d.
sin(a) x(- cos(a)) +cos(a) x sin(a) = 0.
3. On munit le plan du rep�re orthonorm�.
On consid�re les points A(2 ; 8), B(25 / 3 ; 0), C(7 ; −5) et D(3 ; 0).
Alors, les droites (AB) et (CD) sont :
a. parall�les ; b. perpendiculaires : c. s�cantes ; d. confondues. R�ponse c.

Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite (AB): (0-8) / (25 / 3-2) = -24 /19 = -1,263.
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite (CD): (0-(-5)) / ( 3-7) = -5 /4 = -1,25, diff�re de -1,263 ( droites non parall�les )

 4. On munit le plan du rep�re orthonorm�.
On consid�re la fonction 𝑓 d�finie pour tout r�el 𝑥 non nul par 𝑓(𝑥)=3 / 𝑥. On note 𝒞 sa courbe repr�sentative dans ce rep�re. L’�quation r�duite de la tangente � 𝒞 au point d’abscisse 1 est :
a. 𝑦=−3𝑥+6 : b. 𝑦=−3𝑥 ; c. 𝑦=3𝑥 ; d. 𝑦=3𝑥+6. R�ponse a.
f '(x) = -3 /x2 ; f '(1) = -3.
Equation r�duite de la tangente : y = -3x+b.
Le point de coordonn�es (1 ; f(1) =3) appartient � la tangente : 3 = -3+b ; b = 6.

5. L’ensemble des solutions dans R de l’�quation 𝑥2=6𝑥−5 est :
a. 𝑆={1 ; 5} ; b. 𝑆={1} ; c. 𝑆=∅ ; d. 𝑆={−5 ; −1}.
x2-6x+5=0 ; discriminant D =(-6)2 -4*5=16 = 42 ;
x1 =(6-4) / 2 = 1 ; x2 =(6+4) / 2 = 5.
 R�ponse a.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 45.

Une urne contient deux boules rouges et trois boules noires toutes indiscernables au toucher.
On tire au hasard une premi�re boule en notant sa couleur puis on la remet dans l’urne.
On tire ensuite toujours au hasard une deuxi�me boule en notant sa couleur.
On note 𝑅 l’�v�nement � tirer une boule rouge � et 𝑁 l’�v�nement � tirer une boule noire �.
1. Recopier et compl�ter sur la copie l’arbre pond�r� ci-dessous associ� � cette exp�rience.
2. Quelle est la probabilit� de tirer deux boules rouges ?

3. Si un joueur tire une boule rouge, il gagne 20 euros. S’il tire une boule noire, il perd 10 euros.
On note X la variable al�atoire �gale au gain alg�brique du joueur, en euros, � l’issue des deux tirages successifs.
D�terminer la loi de probabilit� de la variable al�atoire X.
valeurs de X
 40
 10
 -20
P(X) = a
 0,16
 0,48
 0,36

4. Calculer la probabilit� que le joueur gagne de l’argent.
1-036 = 0,64.
5. Calculer l’esp�rance de la variable al�atoire X et en donner une interpr�tation.
E =40*0,16 +10*0,48-20*0,36=6,4+4,8-7,2=4.
En moyenne, on gagne  4 €.

Sujet 46.
Maxime participe � un jeu qui se d�roule en deux parties :
- La probabilit� qu’il gagne la premi�re partie est de 0,2.
- S’il gagne la premi�re partie, il gagne la deuxi�me avec une probabilit� de 0,9.
- S’il perd la premi�re partie, il perd la suivante avec une probabilit� de 0,6.
On note :
 𝐺1 l’�v�nement � Maxime gagne la premi�re partie �
 𝐺2 l’�v�nement � Maxime gagne la seconde partie �
Partie A.
1. Construire un arbre pond�r� illustrant la situation.
2. Calculer la probabilit� que Maxime gagne les deux parties du jeu.
3. Montrer que la probabilit� que Maxime gagne la deuxi�me partie du jeu est 0,5.

Partie B.
On sait de plus que :
- � chaque partie gagn�e, le joueur gagne 1,5 €.
- � chaque partie perdue, il perd 1 €.
On note 𝑋 la variable al�atoire qui correspond au gain alg�brique en euros de Maxime � l’issue des deux parties.
1. Compl�ter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilit� de la variable al�atoire 𝑋.
valeurs de X
 -2
 0,5
 3
probabilit�
 0,48
 0,34
 0,18

2. D�terminer si ce jeu est �quitable. Justifier.
Esp�rance de X : -2 x0,48 +0,5 x0,34 +3 x0,18 = -0,96 +0,17 +0,54 = -0,25.
Le jeu n'est pas �quitable, on perd plus souvant de l'argent que l'on gagne de l'argent.

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 45.
On consid�re les suites (𝑢𝑛)𝑛≥0 et (𝑣𝑛)𝑛≥0 d�finies par 𝑢0=7 et, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛+1=0,5𝑢𝑛+3 et 𝑣𝑛=𝑢𝑛−6.
1. Montrer que la suite (𝑣𝑛)𝑛≥0 est une suite g�om�trique de raison 0,5 et de premier terme 1.
vn+1 =un+1-6 =0,5un+3-6=0,5 un-3 =0,5(un-6) =0,5 vn.
v1 = u1-6=0,5 u0+3-6 =0,5u0-3=0,5* 7-3 = 0,5.
v1 = 0,5 v0 ; v0 =2 v1=2*0,5 = 1.
2. Pour tout entier naturel 𝑛, exprimer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.
vn = v0 x0,5n =0,5n .
3. En d�duire, pour tout entier naturel 𝑛, une expression de 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.
un = vn+6 =0,5n+6.
4. On note 𝑆=𝑣0+𝑣1+⋯+𝑣100 la somme des 101 premiers termes de la suite (𝑣𝑛)𝑛≥0.
a. D�terminer la valeur de S.
S = (1-0,5101) /(1-0,5)=1,9999.
b. En d�duire la valeur de la somme des 101 premiers termes de la suite (𝑢𝑛)𝑛≥0.
S+101*6=607,999999.

Sujet 46.

Une personne souhaite louer une maison � partir du 1er janvier 2020 et a le choix entre deux formules de contrat :
 Contrat n�1 : le loyer augmente chaque ann�e de 200 €.
 Contrat n�2 : le loyer augmente chaque ann�e de 5 %.
Pour tout entier naturel 𝑛, on note :
 𝑢𝑛 le loyer annuel de l’ann�e 2020 + 𝑛 pour le contrat n�1.
 𝑣𝑛 le loyer annuel de l’ann�e 2020 + 𝑛 pour le contrat n�2.
Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de 3600 €. On a donc 𝑢0=𝑣0= 3600.
1. �tude de la suite (𝑢𝑛)
a) D�terminer le loyer annuel de l’ann�e 2021 pour le contrat n�1.
3600 +200 = 3800 €.
b) D�terminer l’expression de 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛 puis en d�duire le loyer annuel de l’ann�e 2030.
un = u0 +200 n = 3600 +200 n
u10 =3600 +2000 = 5600 €.
2. �tude de la suite (𝑣𝑛)
a) D�terminer le loyer annuel de l’ann�e 2021 pour le contrat n�2.
v1 =3600 x1,05 =3780 €.
b) D�terminer l’expression de 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛 puis en d�duire le loyer annuel de l’ann�e 2030.
vn = 3600 x1,05n.
v10 = 3600 x1,0510 =5864,02 €.
3. On consid�re le script suivant, �crit en langage Python :
u =3600
v=3600
n=0
while u >=v :
u = u+200
v =1,05*v
n=n+1
Apr�s ex�cution, la variable 𝑛 contient la valeur 6. Donner une interpr�tation de ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
A partir de 2026, le loyer du contrat n�1 est inf�rieur au loyer du contrat n�2.



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 45

Soit 𝑓 la fonction d�finie sur l’ensemble R des nombre r�els par 𝑓(𝑥)=3𝑥3−5𝑥2+2.
On note 𝐶𝑓 sa courbe repr�sentative dans un rep�re du plan.
1. On admet que 𝑓est d�rivable sur R et on note 𝑓 ′ sa fonction d�riv�e.
Donner l’expression de 𝑓 ′(𝑥), pour tout nombre r�el 𝑥.
f '(x) =9x2-10x.
2. On note 𝑇 la tangente � 𝐶𝑓 au point d’abscisse −1. Donner l’�quation r�duite de la tangente 𝑇.
Equation r�duite : y = a x+b avec a = f '(-1) = 19.
Le point de coordonn�es (-1 ; f(-1) = -6 ) appartient � T : -6 = -19 +b ; b = 13.
y = 19x+13.

3. Soit 𝑔 la fonction d�finie sur R par 𝑔(𝑥)=3𝑥3−4𝑥+1.
On note 𝐶𝑔 sa courbe repr�sentative dans le m�me rep�re que la courbe 𝐶𝑓.
a. Montrer que pour tout nombre r�el 𝑥, 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)=−5𝑥2+4𝑥+1.
f(x)-g(x)=3𝑥3−5𝑥2+2-3𝑥3+4𝑥-1 =−5𝑥2+4𝑥+1.
b. �tudier sur R le signe de 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥).
Racines de −5𝑥2+4𝑥+1 = 0 ; discriminant D = 42-4*1*(-5) =36 = 62.
x1 =(-4-6) / (-10)= 1 ; x2 =(-4+6) /(-10) = -0,2.
 c. En d�duire pour quelles valeurs de 𝑥 la courbe 𝐶𝑓 est au-dessus de la courbe 𝐶𝑔.
𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) > 0 pour x appartenant � ]-0,2 ; 1[.
Sujet 46.
Des pucerons envahissent une roseraie.
On introduit alors des coccinelles, pr�datrices des pucerons, � l’instant 𝑡=0, et on s’int�resse � l’�volution du nombre de pucerons � partir de cet instant et sur une p�riode de 20 jours.
Partie A :
Dans le rep�re ci-dessous, on a trac� :
 La courbe 𝒞 repr�sentant le nombre de milliers de pucerons en fonction du nombre de jours �coul�s depuis l’introduction des coccinelles.
 La tangente 𝑇 � la courbe 𝒞 au point d’abscisse 0 passe par les points 𝐴(0 ; 2,1) et 𝐵(2 ; 4,3).

1. D�terminer par lecture graphique le nombre de pucerons � l’instant o� l’on introduit les coccinelles puis le nombre maximal de pucerons sur la p�riode de 20 jours.
2 100 pucerons � t = 0 et 5000 pucerons � t = 6 jours.
2. On assimile la vitesse de prolif�ration des pucerons � l’instant 𝑡 au nombre d�riv� 𝑓′(𝑡).
D�terminer graphiquement la vitesse de prolif�ration des pucerons � l’instant 𝑡=0.
(4300 -2100) / 2 = 2 200 pucerons / jours.

Partie B :
On mod�lise l’�volution du nombre de pucerons par la fonction 𝑓 d�finie, pour tout 𝑡 appartenant � l’intervalle [0 ;20], par :
𝑓(𝑡)=0,003𝑡3−0,12𝑡2+1,1𝑡+2,1
o� 𝑡 repr�sente le nombre de jours �coul�s depuis l’introduction des coccinelles et 𝑓(𝑡) le nombre de pucerons en milliers.
1. D�terminer 𝑓′(𝑡) pour tout 𝑡 appartenant � l’intervalle [0 ; 20] o� 𝑓’ d�signe la d�riv�e de la fonction 𝑓.
f '(t) = 0,009t2 -0,24t+1,1.
2. Dresser le tableau de signes de 𝑓′(𝑡) sur l’intervalle [0 ; 20].
Racines de 0,009t2 -0,24t+1,1 = 0 : discriminant D =(-0,24)2 -4*1,1*0,009 =0,0576-0,0396=0,018~0,1342.
Solution positive retenue : (0,24 -0,134) / 0,018 ~5,9 jours.
f '(t) > 0 si t appartient � [0 ; 5,9] et f '(t) < 0 si t appartient � [5,9 ; 20 ].
3. En d�duire le tableau des variations de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0 ; 20]. Pr�ciser les images des valeurs de 𝑡 apparaissant dans le tableau.
  


  

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