Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 47
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. Soient deux vecteurs de coordonn�es respectives (–1 ;0) et (–3 ;4) dans un rep�re orthonorm� du plan. Alors le module de la diff�rence de ces  deux vecteurs est �gale � :
a. 4√2 b ;  √32  ; c. 20  ; d. 2√5. R�ponse d.
.

 2. Le tableau de signes de la fonction polyn�me d�finie sur R par 𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥+5 est :  R�ponse c.
Racines de x2+2x+5=0 ; discriminant D =22-4*5 = -16 ; aucune racine r�elles.
f(x) est positive sur l'ensemble des r�els.

3. Sur l’intervalle ] –π ; π], l’�quation sin(𝑥)=1 / 2 a pour solution(s)
a. 𝜋 /6  ; b. 𝜋 / 3 et 2𝜋 /3  ; c. −𝜋 /6 et 𝜋 /6 ; d. 𝜋/ 6 et 5𝜋 /6. R�ponse d.


 4.  On consid�re la suite (𝑢𝑛) d�finie par 𝑢0=15 et pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑢𝑛+1=0,8 𝑢𝑛+1.
On a �crit la fonction suite() ci-dessous en langage Python.
def suite() :
n=0
u=15
while u >6
n=n+1
u=0,8*u+1
return n
L’appel de cette fonction renvoie :
a. Le plus petit entier n tel que un>6
b. Le plus petit entier 𝑛 tel que 𝑢𝑛 ≤ 6
c. Le premier terme de la suite tel que 𝑢𝑛 >6
d. Le premier terme de la suite tel que 𝑢𝑛 ≤ 6.  R�ponse d.
5. Pour tout r�el 𝑥, e3𝑥−5�e4−3𝑥 est �gal � :
a. 1 /e  ; b. e(3𝑥−5)�(4−3𝑥) ; c. e ; d. exp(−9𝑥2+27𝑥−20). R�ponse a.
exp(3x-5 +4-3x) = exp(-1) = 1 / e.
Sujet 48.
1. 1. On consid�re une fonction 𝑓 d�finie et d�rivable sur l’intervalle [−1 ; 4] .
On a trac� sur la figure ci-dessous la courbe 𝒞𝑓 et la tangente � cette courbe au point A de coordonn�es (2 ; 2).

L’�quation de la tangente � 𝒞𝑓 au point A est :
a. 𝑦 =2 / 3(𝑥−2)+2 ;  b. 𝑦 = 2(𝑥−2)+2 / 3 ; c. 𝑦 =2 / 3(𝑥+2)+2 ;  d. 𝑦 =3 / 2(𝑥−2)+2.
Coeficient directeur de la tangente en A : 4 / 6 = 2 /3.
A (2 ; 2) appartient � la tangente : 2 = 2 /3 *2+b ; b = 2 /3.
y =2x /3 +2 /3 = 2x /3 +4 /3-4 /3 +2 /3 = 2 /3 (x-2) +2. R�ponse a.
2. Dans un rep�re orthonormal (0,𝐼,𝐽), le point A, plac� ci-contre sur le cercle trigonom�trique de centre O d’origine I , est associ� au nombre r�el :
a. 11𝜋 / 6 ;  b. 2𝜋 / 3 ;  c. −2𝜋 / 3 ; d. −3𝜋 / 4. R�ponse c.

3. On consid�re une fonction du second degr� f d�finie sur R par :
𝑓 (𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥
o� 𝑎 et 𝑏 sont deux nombres r�els strictement positifs.
Quelle est la courbe repr�sentative de cette fonction dans un rep�re orthonorm� ? R�ponse d.

La parabole est sym�trique par rapport � la droite d'�quation x = -b / (2a), n�gatif et passe par l'origine.

 4. Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm� une droite 𝒟 a pour �quation : 𝑥−2𝑦=1 soit y = 0,5x -0,5. Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?
 a. Le vecteur de coordonn�es (1 ; −2) est un vecteur directeur de la droite 𝒟.
 b. Le vecteur de coordonn�es(1 ; −2) est un vecteur normal � la droite 𝒟. Vrai
 c. Le point de coordonn�es 𝐴(1,−2) appartient � la droite 𝒟.
d. L’ordonn�e � l’origine de la droite 𝒟 est �gale � 1.

5. Un homme marche pendant 10 jours. Le premier jour, il parcourt 12 km. Chaque jour, il parcourt 500 m de moins que la veille. Durant ces dix jours, il aura parcouru au total :
a. 95 km ;  b. 97,5 km ;  c.  19 km ;  d. 84 km.  R�ponse b.
12 +11,5 +11 +10,5 +10 +9,5 +9 +8,5 +8 +7,5 =97,5.
Somme des 10 premiers termes d'une suite arithm�tique de raison -0,5, de premier terme 12.
(12+7,5) *5 = 97,5.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 47.

Le pr�sident d’un club de handball a constat� une augmentation du nombre d’adh�rents dans son club depuis 2016 (toutes cat�gories confondues). En effet en 2016, il y avait 377 adh�rents, 396 en 2017 et 416 en 2018. Ce qui correspond � une hausse chaque ann�e d’environ 5 %.
Il souhaite faire une estimation pour les ann�es � venir, en supposant que cette hausse de 5 % par an se poursuit.
On mod�lise le nombre d’adh�rents l’ann�e 2018+𝑛 par la suite de terme g�n�ral 𝑢𝑛.
On a donc 𝑢0 = 416.
1. Calculer 𝑢1 et 𝑢2. Arrondir les r�sultats � l’unit�.
u1 = 416 *1,05 ~437 ; u2 = 416 *1,052 ~459.
2. Quelle est la nature de la suite (𝑢𝑛) ? Pr�ciser son premier terme et sa raison.
un+1 / un = 1,05, suite g�om�trique de raison 1,05, de premier terme 416.
3. Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛, pour tout entier naturel 𝑛.
un = 416*1,05n.
4. Calculer 𝑢7. Interpr�ter ce r�sultat par rapport aux donn�es de l’�nonc�.
u7 = 416*1,057~585.
En 2018+7 soit en 2025, il y aura 585 adh�rents.
5. � partir de quelle ann�e le pr�sident du club peut-il esp�rer d�passer les 700 adh�rents ?
416*1,05n > 700 ; 1,05n > 700 / 416 ; 1,05n >1,683 ; n > 11 ( 416 x1,0511 ~711 ). Ann�e 2029.

Sujet 48.
Une entreprise fabrique chaque jour 𝑥 tonnes d’un produit. Le co�t total mensuel, en milliers d’euros, pour produire chaque jour 𝑥 tonnes de ce produit est mod�lis� par la fonction 𝐶 d�finie sur l’intervalle [0 ; 10] par : 𝐶(𝑥)= (5𝑥−2)e−0,2𝑥 +2
On a repr�sent� ci-dessous la courbe 𝒞𝐶 de la fonction C dans un rep�re.

1. Par lecture graphique, donner une estimation de la quantit� journali�re de produit pour laquelle le co�t total mensuel est maximal.
5,5 tonnes.
2. Le co�t marginal 𝐶𝑚, qui correspond au suppl�ment de co�t total pour la production d’une unit� de valeur suppl�mentaire, est assimil� � la d�riv�e de la fonction co�t total.
a) D�montrer que le co�t marginal 𝐶𝑚 est d�fini sur l’intervalle [0 ; 10] par :
𝐶𝑚(𝑥)=(−𝑥+5,4)e−0,2𝑥.
On pose u = 5x-2 et v = e-0,2x ; u' = 5 ; v' = -0,2e-0,2x.
u'v+v'u = 5e-0,2x-0,2(5x-2)e-0,2x =(-x+5,4)e−0,2𝑥.
b) Pour quelle quantit� de produit fabriqu� par jour le co�t marginal est-il n�gatif ?
e−0,2𝑥 >0 ; -x+5,4 < 0 soit x >5,4.
c) Donner le tableau de variations de la fonction 𝐶 sur l’intervalle [0 ;10].

d) D�terminer le co�t total mensuel maximal sur l’intervalle consid�r�. On donnera la valeur arrondie � l’euro pr�s.
10 490 €

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 47.
Un artisan fabrique de la confiture qu’il vend � un grossiste. Le co�t, en euros, de fabrication de 𝑥 kilos de confiture est :
𝐶(𝑥)=0,1𝑥2+0,7𝑥+100, pour 𝑥∈[0;160].
1. Chaque kilo est vendu 14 €. Exprimer la recette 𝑅 en fonction de 𝑥.
R = 14 x.
2. Soit 𝐵 la fonction repr�sentant le b�n�fice de l’artisan, d�finie sur [0;160].
𝐵 a pour expression 𝐵(𝑥)=−0,1𝑥2+13,3𝑥−100.
�tudier le signe de 𝐵(𝑥). En d�duire l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre de kilos de confiture � vendre pour que l’artisan r�alise un b�n�fice positif.
Racines de -0,1x2+13,3x-100 = 0 : discriminant D =13,32-4*(-0,1)*(-100)=136,89=11,72.
x1 =(-13,3-11,7) /(-0,2) =125 ; x1 =(-13,3+11,7) /(-0,2) =8 ;
x doit appartenir � l'intervalle [ 8 ; 125].
3. On note B′ la fonction d�riv�e de la fonction B.
a. D�terminer 𝐵′(𝑥).
B'(x) = -0,2x +13,3.
b. Dresser le tableau de variation de B sur l’intervalle [0;160].
c. Donner le nombre de kilos � vendre pour que le b�n�fice soit maximal ainsi que son montant.


Sujet 48.

On consid�re qu’en 2019, 3 300 000 personnes �taient atteintes de diab�te en France.
Pour �tudier l’�volution de la maladie, des chercheurs appliquent un mod�le selon lequel le nombre de personnes atteintes augmente de 2 % par an.
On note 𝑢𝑛 le nombre de personnes atteintes de diab�te en France selon ce mod�le durant l’ann�e (2019+𝑛). On a donc 𝑢0=3 300 000.
1. Justifier que, selon ce mod�le, le nombre de personnes atteintes de diab�te en France sera de 3 433 320 en 2021.
En 2020 : 3 300 000 x1,02 =3 366 000 ; en 2021 : 3 366 000 x1,02 =3 433 320.
2. Quelle est la nature de la suite (un) ?
Suite g�om�trique de raison 1,02 et de premier terme 3 300 000.
3. Donner l’expression de un en fonction de 𝑛.
un = 3 300 000 x1,02n.
4. En d�duire le nombre de personnes qui, selon ce mod�le, seront atteintes de diab�te en France en 2025.
u6 = 3 300 000 x1,026= 3 716 336.
5. On d�finit en langage Python la fonction suivante.
def seuil(S) :
u=3300000
n=0
while u < S:
u=u*1,02
n=n+1
return n.
Apr�s ex�cution dans la console on obtient l’affichage suivant.
seuil(5000000)
21
Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
En 2019+21 soit en 2040, le nombre de diab�tiques d�passe 5 000 000.



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 47

On dispose d’un d� �quilibr� � six faces et de deux urnes U et V contenant des boules blanches ou rouges, indiscernables au toucher.
L’urne U contient 40 boules blanches et 60 boules rouges.
L’urne V contient 70 boules blanches et 30 boules rouges.
Un jeu consiste � lancer le d� puis tirer une boule dans l’une des urnes. Si on obtient 1 ou 6 sur le d�, le tirage s’effectue dans l’urne U. Si on obtient 2, 3, 4 ou 5 sur le d�, le tirage s’effectue dans l’urne V.
On consid�re les �v�nements :
𝑈 : � le tirage s’effectue dans l’urne U �
𝑉 : � le tirage s’effectue dans l’urne V �
𝐵 : � la boule tir�e est blanche �
𝑅 : � la boule tir�e est rouge �.
Sauf indication contraire, les probabilit�s seront arrondies au milli�me.
1. Repr�senter la situation � l’aide d’un arbre pond�r�.
2. D�terminer la probabilit� de l’�v�nement � la boule tir�e est rouge �.

3. On tire une boule rouge. Quelle est la probabilit� qu’elle ait �t� tir�e dans l’urne U ?
PR(U)= P(R n U) / P(R) =1 /5 /(2 /5) = 0,5.
4. Pour jouer, il faut miser 1 €. Le joueur gagne 3 € s’il tire une boule rouge et il ne gagne rien s’il tire une boule blanche. On note 𝐺 la variable al�atoire donnant le gain du joueur.
a. D�terminer la loi de probabilit� de la variable al�atoire 𝐺.
On donnera le tableau de la loi de probabilit�, mais aucune justification n'est demand�e.
valeur de G
 2
 -1
probabilit�
 0,4
 0,6

b. Calculer l’esp�rance math�matique de 𝐺. Interpr�ter ce r�sultat.
E =2 x0,4 -1 x0,6=0,2. En moyenne, on gagne 0,2 €.
Sujet 48.
Dans un a�roport, les portiques de s�curit� servent � d�tecter les objets m�talliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :
 𝑆 l’�v�nement � le voyageur fait sonner le portique � ;
 𝑀 l’�v�nement � le voyageur porte un objet m�tallique �.
On note 𝑆̅ et 𝑀̅ les �v�nements contraires des �v�nements 𝑆 et 𝑀.
On consid�re qu’un voyageur sur 500 porte sur lui un objet m�tallique.
On admet que :
Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet m�tallique, la probabilit� que le portique sonne est �gale � 0,95.
 Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet m�tallique, la probabilit� que le portique ne sonne pas est de 0,96.
1. � l’aide des donn�es de l’�nonc�, pr�ciser les valeurs de 𝑃(𝑀), 𝑃𝑀(𝑆) et 𝑃𝑀̅(𝑆̅).
P(M) =1 500 = 0,002. PM(S)=0,95. P nonM( non S) = 0,96.
2. Recopier et compl�ter l’arbre pond�r� ci-dessous, mod�lisant cette situation :
3. Montrer que 𝑃(𝑆)= 0,04182.

4. En d�duire la probabilit� qu’un voyageur porte un objet m�tallique sachant qu’il a fait sonner le portique en passant. On arrondira le r�sultat � 10−3.
PS(M) =P(S n M) / P(S)=0,0019 / 0,04182 =0,0454.
5. Les �v�nements 𝑀 et 𝑆 sont-ils ind�pendants ?
P(M) x P(S) =0,002 x 0,04182 = 0,00008364, diff�re de P(S n M)=0,0019.
Les �v�nements M et S ne sont pas ind�pendants.


  

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