Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 49
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. On consid�re la droite 𝑑 dont une �quation cart�sienne dans un rep�re orthonorm� est 2𝑥−3𝑦+4=0.
a. Un vecteur directeur de 𝑑 a pour coordonn�es (−6 ; 4). Faux. ( y =2x /3 +4 /3, coefficient directeur 2 / 3 )
b. Un vecteur normal de 𝑑 a pour coordonn�es (−12 ; 18). Vrai.
c. Le point 𝐶(−5 ; 2) appartient � la droite 𝑑. Faux.(-5*2-3*2 diff�re de z�ro).
d. La droite 𝑑 coupe la droite d’�quation −𝑥+3𝑦−2=0 au point 𝐹(1 ; 2).
(Les coordonn�es de F v�rifient : 2-3*2+4 =0 mais ne v�rifient pas -1+6-2 =0).

 2. Dans un rep�re orthonorm� le cercle 𝒞 a pour �quation 𝑥2−2𝑥+𝑦2+𝑦=3 et la droite 𝐷 pour �quation 𝑦=1.
a. 𝒞 et 𝐷 n’ont aucun point d’intersection.
b. 𝒞 et 𝐷 ont un seul point d’intersection.
c. 𝒞 et 𝐷 ont deux points d’intersection. Vrai.
d. On ne peut pas savoir combien 𝒞 et 𝐷 ont de points d’intersection.
Les abscisses des points d'intersection v�rifient :
x2-2x+1+1=3 ; x2-2x-1=0 ; discriminant D =(-2)2 -4*(-1)=8. Le discriminant �tant positif, il y a deux racines r�elles.

 3. La fonction 𝑓 est la fonction d�finie sur l’ensemble des r�els par 𝑓(𝑥)=cos(2𝑥).
a. 𝑓 est paire. Vrai.
b. 𝑓 est impaire.
c. 𝑓 n’est ni paire ni impaire.
d. 𝑓 a pour p�riode 𝜋 /2.

 4.  Soit la suite (𝑢𝑛) d�finie par 𝑢0=1 et pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢𝑛+1=1 / 2(𝑢𝑛+2 / 𝑢𝑛)
On d�finit en langage Python une fonction � Suite � pour calculer 𝑢𝑛 connaissant 𝑛.

.  R�ponse d.
5. L’�quation e𝑥=1 :
a. n’a pas de solution.
b. a pour solution le nombre 1.
c. a pour solution le nombre 0.
d. a pour solution le nombre e. R�ponse c.

 Sujet 50.
1. Pour tout r�el 𝑥, l’expression 𝑒𝑥�𝑒𝑥+2 est �gale � :
a) 𝑒2𝑥+2
b) 𝑒𝑥�+2
c) 𝑒𝑥 / (𝑥+2)
d) 𝑒𝑥�+2𝑥. R�ponse a.
2. Soit 𝑔 une fonction d�finie et d�rivable en 1. Dans un rep�re du plan, une �quation de la tangente � la courbe de la fonction 𝑔 au point d’abscisse 1 est :
a) 𝑦=𝑔(1)�(𝑥−1)−𝑔′(1)
 b) 𝑦=𝑔′(1)�(𝑥−1)+𝑔(1)
c) 𝑦=𝑔′(1)�(𝑥+1)−𝑔(1)
d) 𝑦=𝑔(1)�(𝑥+1)+𝑔′(1). R�ponse b.
Coefficient directeur de la tangente : g'(1).
Equation de la tangente y = g'(1) x+b.
Le point de coordonn�es 1 ; g(1) appartient � la tangente : g(1) = g'(1) +b ; b = g(1)-g'(1).
y = g'(1) (x-1) +g(1).
3. Le plan est muni d’un rep�re (𝑂 ;𝑖⃗ ,𝑗⃗). On consid�re la droite (𝑑) de vecteur directeur de coordonn�es (4 ;7) et passant par le point 𝐴(-2 ; 3). Une �quation cart�sienne de la droite (𝑑) est :
a) −7𝑥+4𝑦−26=0
b) 4𝑥+7𝑦−13=0
c) −7𝑥+4𝑦+26=0
d) 4𝑥−7𝑦+29=0.
Equation de la droite y =7 /4 x+b.
A appartient � la droite : 3 = 7(-2) / 4 +b ; b = 6,5.
y = 7 x / 4 +6,5 soit 4y-7x -26=0. R�ponse a.

 4. 𝑡 est un r�el. On sait que cos(𝑡)= 2 / 3 . Alors cos(𝑡+4π)+cos (−𝑡) est �gal � :
a) −4 / 3
b) 0
c) 4 / 3
d) 2 / 3.
cos(𝑡+4π) = cos(𝑡) ; cos (−𝑡)  =cos (𝑡) ; cos(𝑡+4π)+cos (−𝑡) = 2 cos(𝑡)= 4 / 3 . R�ponse c.

5. On consid�re, dans un rep�re du plan, la parabole (P) d’�quation :
y=−x2+6x−9. La parabole (P) admet :
a) aucun point d’intersection avec l’axe des abscisses
b) un seul point d’intersection avec l’axe des abscisses
c) deux points d’intersection avec l’axe des abscisses
d) trois points d’intersection avec l’axe des abscisses.
Racines de −x2+6x−9 = 0 ; discriminant D =62-4*(-9)*(-1) =0.
-(x-3)2=0 ; x = 3. R�ponse b.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 49.

Dans cet exercice, les r�sultats seront arrondis au centi�me.
Un g�rant d’un salon de th� ach�te des bo�tes de th� vert chez deux fournisseurs.
Il ach�te 80 % de ses bo�tes chez le fournisseur � Au th� de qualit� � et 20 % de ses bo�tes chez le fournisseur � Bon th� �.
Des contr�les de qualit� montrent que 10 % des bo�tes provenant du fournisseur � Au th� de qualit� � pr�sentent des traces de pesticides et que 20 % de celles provenant du fournisseur � Bon th� � pr�sentent aussi des traces de pesticides.
On pr�l�ve au hasard une bo�te du stock du g�rant et on consid�re les �v�nements suivants :
𝐴 : � la bo�te provient du fournisseur � Au th� de qualit� � � ;
𝐵 : � la bo�te provient du fournisseur � Bon th� � � ;
𝑇 : � la bo�te pr�sente des traces de pesticides �.
1. Traduire l’�nonc� � l’aide d’un arbre pond�r�.
2. Quelle est la probabilit� que la bo�te pr�lev�e provienne du fournisseur A et contienne des traces de pesticide ?
0,8 x0,1 = 0,08.
3. Que repr�sente l’�v�nement 𝐵∩𝑇̅ ? Quelle est la probabilit� de cet �v�nement ?
La bo�te provient du fournisseur B et ne pr�sente pas de traces de pesticides.
0,2 x0,8 = 0,16.

4. Justifier que la probabilit� que la bo�te ne pr�sente aucune trace de pesticides est �gale � 0,88.
0,8 x(1-0,1) +0,2 x(1-0,2) =0,72 +0,16 = 0,88.
5. On constate que la bo�te pr�lev�e pr�sente des traces de pesticides. Quelle est la probabilit� que cette bo�te provienne du fournisseur � Bon th� � ?
PT(B)= P(B n T) / P(T)=0,04 /(1-0,88) =4 / 12 = 1 / 3 ~0,33.

Sujet 50.
Dans cet exercice, les distances sont exprim�es en m�tres.
On consid�re un rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 d’aire 49 m2 tel que 𝐷𝐶 = 𝑥 et 𝐵𝐶 = 𝑦.
On admet que les nombres 𝑥 et 𝑦 sont strictement positifs.
On souhaite d�terminer les dimensions 𝑥 et 𝑦 pour que le p�rim�tre de ce rectangle soit minimal.
1. a. Montrer que le p�rim�tre, en m�tres, du rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 est �gal � 2𝑥+98 / 𝑥.
xy = 49 soit y = 49 /x ; p�rim�tre : 2(x+y) = 2x +98 / x.
b. Calculer ce p�rim�tre pour 𝑥=10.
20+9,8 = 29,8 m.
Soit 𝑓 la fonction d�finie sur ]0 ;+∞[ par 𝑓(𝑥)=2𝑥+98 / 𝑥.
On admet que 𝑓 est d�rivable sur ]0 ; +∞[ et on note 𝑓′ sa fonction d�riv�e.
2. Montrer que, pour tout 𝑥 > 0,
𝑓′(𝑥)= (2𝑥2−98) / x2.
f '(x) = 2 -98 / x2 = (2𝑥2−98) / x2.
3. D�terminer le tableau de variations de la fonction 𝑓 sur ]0 ; +∞[.

4. En d�duire les dimensions du rectangle d’aire 49 m� dont le p�rim�tre est minimal.
x = 7 ; y = 7. C'est un carr�.

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 49.
Un propri�taire propose � un commer�ant deux types de contrat pour la location d’un local pendant 3 ans.
1er contrat : un loyer de 200 € pour le premier mois puis une augmentation de 5 € par mois jusqu’� la fin du bail.
2e contrat : un loyer de 200 € pour le premier mois puis une augmentation de 2% par mois jusqu’� la fin du bail.
On mod�lise ces deux contrats par des suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛), de sorte que pour tout entier 𝑛≥1, le prix du loyer le 𝑛-i�me mois avec le 1er contrat est repr�sent� par 𝑢𝑛 et le prix loyer le 𝑛-i�me mois avec le 2e contrat est repr�sent� par 𝑣𝑛.
On a ainsi 𝑢1=𝑣1=200.
1. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxi�me mois puis le loyer du troisi�me mois.
u2 =205 € ; u3 = 210 €.
v2 =200 x1,02 =204 € ; v3 =204 x1,02 =208,08 € .
2. Le commer�ant a �crit un programme en langage Python qui lui permet de d�terminer 𝑢𝑛 et 𝑣𝑛 pour une valeur donn�e de 𝑛.
1. u=200
2. v=200
3. n=int(input("Saisir une valeur de n :"))
4. for i in range(1,n):
5. u= u+5
6. v=v*1,02
7. print("Pour n =",n,"on a","u =",u," et v =",v)
a) Recopier et compl�ter les lignes 5 et 6 de ce programme.
b) Quels nombres obtiendra-t-on avec 𝑛=4 ?
u4 = 200 +4 x5 = 220 €.
v4 = 200 x1,024 ~ 216,49 €.
3. D�terminer, pour tout entier 𝑛≥1, l’expression de 𝑢𝑛 et de 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.
un = 200 +5(n-1).
vn = 200 x1,02n-1.
4. Quel contrat co�tera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de 3 ans ?
Somme des 36 premiers termes de chaque suite :
u1 = 200 ; u36 = 200+35x5 =375 ; 18x(200+375)=10 350 €.
200 x(1-1,0236) /(1-1,02) =10 398,87 €. Le contrat n�1 est le moins cher.

Sujet 50.

Un constructeur de v�hicules fabrique deux types d’automobiles : � Citadine � ou � Routi�re �.
Pour ces v�hicules, ce constructeur propose deux finitions :
– � Sport � au tarif de 2500 euros par v�hicule,
– � Luxe � au tarif de 4000 euros par v�hicule.
En consultant le carnet de commandes de ce constructeur, on recueille les indications suivantes :
 80% des clients ont command� une automobile � Citadine �. Les autres clients ont command� une automobile � Routi�re �.
Parmi les clients poss�dant une automobile � Citadine �, 70% ont pris la finition � Sport �.
 Parmi les clients poss�dant une automobile � Routi�re �, 60% ont pris la finition � Luxe �.
On choisit un client au hasard et on consid�re les �v�nements suivants :
 𝐶 : � Le client a command� une automobile � Citadine � �,
 𝐿 : � Le client a choisi la finition � Luxe � �.
D’une mani�re g�n�rale, on note 𝐴̅ l’�v�nement contraire d’un �v�nement 𝐴.
On note 𝑋 la variable al�atoire qui donne le montant en euros de la finition choisie par un client.
1. Construire l’arbre pond�r� de probabilit� traduisant les donn�es de l’exercice.
2. Calculer la probabilit� que le client ait command� une automobile � Citadine � et ait choisi la finition � Luxe �, c’est-�-dire calculer 𝑃(𝐶∩𝐿) .
0,3 x0,8 = 0,24.
3. Justifier que 𝑃(𝐿)=0,36.

4. La variable al�atoire X ne prend que deux valeurs 𝑎 et 𝑏.
a. D�terminer les probabilit�s 𝑃(𝑋=𝑎) et 𝑃(𝑋=𝑏).
Version luxe : P(L ) = 0,36 ; a = 4000 ;
Version sport : P(non L) = 1-0,36 = 0,64 ; b = 2500.
b. D�terminer l’esp�rance de 𝑋.
E =4000 x 0,36 +2500 x 0,64 =1 440 + 1600 =3040 €.



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 49

On consid�re la fonction 𝑓 d�finie et d�rivable sur 𝐑 par 𝑓(𝑥)=(𝑎𝑥+𝑏)e−0,1𝑥 o� 𝑎 et 𝑏 sont des r�els fix�s.
La courbe repr�sentative 𝒞𝑓 de la fonction 𝑓 est donn�e ci-dessous, dans un rep�re orthogonal.
On a �galement repr�sent� la tangente 𝑇 � 𝒞𝑓 au point 𝐴(0 ;5).
On admet que cette tangente 𝑇 passe par le point 𝐵(4 ;19).

1. En exprimant 𝑓(0), d�terminer la valeur de 𝑏.
f(0) = b =xA=5.
2. a) � l’aide des coordonn�es des points 𝐴 et 𝐵, d�terminer une �quation de la droite 𝑇.
Coefficient directeur de T : (yB-yA) /(xB-xA) =(19-5) / 4 =3,5.
A appartient � T : 5 =b ; �quation de T : y = 3,5x+5.
b) Exprimer, pour tout r�el 𝑥, 𝑓′(𝑥) en fonction de 𝑥 et de 𝑎 et en d�duire que pour tout r�el 𝑥, 𝑓(𝑥)=(4𝑥+5)e−0,1𝑥.
On pose u = ax+5 et v = e-0,1x ; u' =a ; v' = -0,1e-0,1x ;   u'v + v'u = ae-0,1x -0,1(ax+5)e-0,1x =(-0,1ax+a-0,5)e-0,1x .
f '(0) = 3,5 =a-0,5 ; a =4.
3. On souhaite d�terminer le maximum de la fonction 𝑓 sur 𝐑.
a) Montrer que pour tout 𝑥∈𝐑, 𝑓′(𝑥)=(−0,4𝑥+3,5)e−0,1𝑥.
f '(x) = (-0,4x+4-0,5)e-0,1x =(−0,4𝑥+3,5)e−0,1𝑥.
b) D�terminer les variations de 𝑓 sur 𝐑 et en d�duire le maximum de 𝑓 sur 𝐑.
e−0,1𝑥 >0, le signe de f '(x) est celui de −0,4𝑥+3,5.
Si x < 3,5 /0,4 soit x < 8,75, f '(x) >0 et f(x) croissante.
Si x >  8,75, f '(x) < 0 et f(x) d�croissante.
Si x = 8,75, f '(x) =0 et f(x) pr�sente un maximum.
f(8,75) =(4 *8,75+5)e-0,875 =40 e-0,875 ~16,7.
Sujet 50.
Fanny est inscrite dans un club d’athl�tisme. Elle pratique le penta bond (le penta bond est un encha�nement de cinq bonds apr�s une course d’�lan).
La premi�re semaine d’entra�nement, Fanny r�alise un saut de 8 m.
Chaque semaine, la longueur de son saut augmente de 0,1 m.
Pour 𝑛 entier naturel non nul, on note 𝑠𝑛 la longueur, en m�tres, de son saut la 𝑛-i�me semaine d’entra�nement.
Puisque lors de la premi�re semaine d’entra�nement, Fanny r�alise un saut de 8 m, on a
𝑠1=8.
1. Pour 𝑛≥2, on consid�re la fonction Python suivante.
def saut(n)
s=8
for k in range(2,n+1) :
s = s+0,1
return s
a. Quelle valeur 𝑠 est-elle renvoy�e par la commande saut(4) ?
s = 8 +0,4 = 8,4 m.
b. Interpr�ter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
A la fin de la quatri�me semaine, elle saute 8,4 m.
2. Exprimer avec justification 𝑠𝑛 en fonction de 𝑛 pour 𝑛 entier naturel non nul.
sn = 8 +0,1(n-1).
3. Pour �tre qualifi�e � une comp�tition, Fanny doit faire un saut d’au moins 12 m�tres.
a. � partir de quelle semaine, Fanny r�alisera-t-elle un tel saut ?
b. Justifier votre r�ponse.
8+0,1(n-1) = 12 ; 0,1(n-1) = 4 ; n-1 = 4 /0,1 = 40 ; n = 41.


  

menu