Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 51
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. Dans un rep�re orthonorm�, le cercle de centre A(2 ;-1) et de rayon 4 a comme �quation :
a) (𝑥+2)2+(𝑦−1)2=16
b) (𝑥−2)2+(𝑦+1)2=4
c) (𝑥−2)2+(𝑦+1)2=16. Vrai.
d) (𝑥+2)2+(𝑦−1)2=4

 2. Soit la droite (𝑑) d’�quation cart�sienne 2𝑥−𝑦+1 = 0.
Sachant que la droite (𝑑1) est perpendiculaire � la droite (𝑑), une �quation de (𝑑1) peut �tre :
a) 𝑥−2𝑦+2 = 0
b) 𝑥+2𝑦−1 = 0. Vrai.
c) −2𝑥+𝑦−1 = 0
d) 𝑥−𝑦+2 = 0

 3. L’expression de sin(𝜋−𝑥)+cos(𝑥+ 𝜋 / 2) est �gale � :
a) −2sin(𝑥)
b) 0. Vrai.
c) 2sin(𝑥)
d) cos(𝑥)−sin (𝑥).
sin(𝜋−𝑥) = sin(x) ; cos(𝑥+ 𝜋 / 2) = - sin (x) ; sin(𝜋−𝑥)+cos(𝑥+ 𝜋 / 2) =0.

 4.  On consid�re la fonction polyn�me du second degr� 𝑓 d�finie sur ℝ par
𝑓(𝑥)= −3𝑥2+𝑥−5.
Le tableau de variations de cette fonction est :
f '(x) = -6x +1 ; f '(x)=0 si x = 1 /6.
f '(x) < 0 si x > 1 /6 et f(x) d�croissante.
f '(x) > 0 si x < 1 /6 et f(x) croissante.  R�ponse d.
5. � un jeu, la variable al�atoire donnant le gain alg�brique 𝐺 suit la loi de probabilit� suivante (en euros) :
valeurs de G
 -25
 -3
 x
100
probabilit�
 1 /3
 1 / 6
 0,3
 0,2

Sachant que l’esp�rance de 𝐺 est �gale � 38 / 3 , la valeur de 𝑥 est :
a) 0 ; b) 5 ; c) 20 ; d) 25. R�ponse b.
-25 / 3 -3 / 6+0,3x+0,2*100 =38 /3.
-25 / 3 -0,5+0,3x+20 =38 /3.
0,3x = 63 /3 -19,5 =(63- 58,5) /3 ; x = 4,5 /(3 *0,3) = 45 /9 = 5.

 Sujet 52.
1. Pour tout entier naturel 𝑛, on d�finit la suite (𝑢𝑛) par : 𝑢𝑛=3�10𝑛/ 2𝑛+1.
La suite (𝑢𝑛) est une suite :
A. arithm�tique de raison 3.
B. g�om�trique de raison 3.
C. arithm�tique de raison 5.
D. g�om�trique de raison 5. R�ponse D.
 𝑢𝑛=3�(10 /2)𝑛/ 2 = 1,5 x 5n.

 2. Dans un rep�re orthonorm� du plan, on consid�re les points A(−2 ; 1) et B(2 ; 4).
La droite Δ passe par le point C(−1 ; 1) et admet le vecteur AB pour vecteur normal.
La droite Δ admet pour �quation cart�sienne :
A. 3𝑥−4𝑦+7=0.
B. 4𝑥+3𝑦+1=0.
C. 3𝑥−4𝑦−1=0.
D.4𝑥+3𝑦+7=0. R�ponse B.
Coordonn�es du vecteur AB (2-(-2) ; 4-1) soit (4 ; 3).
Equation cart�sienne de cette droite : 4x+3y +d = 0.
C appartient � cette droite : 4*(-1) +3*1 +d = 0 ; d = 1.
3. Dans l’intervalle [0; 𝜋 /2], l’unique solution de l’�quation : 2cos (𝑥+𝜋)+1=0 est :
A. 𝜋 / 3
B. −5𝜋 / 3.
C. 𝜋 / 6
D. 2𝜋 / 3. R�ponse A.
cos (𝑥+𝜋) = -0,5 = cos (�2𝜋 / 3)
𝑥+𝜋 =�2𝜋 / 3 ; solution retenue x = 𝜋 -2𝜋 / 3 = 𝜋 / 3.

 4. On consid�re la fonction 𝑓 d�finie et d�rivable sur R par : 𝑓(𝑥)=e𝑥 / (1+e𝑥)
La fonction d�riv�e 𝑓′ de la fonction 𝑓 est d�finie par :
A. 𝑓′(𝑥)=e/ (1+e).
B. 𝑓′(𝑥)=e𝑥/ (1+e𝑥)2
C. 𝑓′(𝑥)=1
D. 𝑓′(𝑥)=−e𝑥/ (1+e𝑥)2. R�ponse B.
On pose u = ex et v = 1+ex ; u' = ex ; v' = ex.
(u'v-v'u) / v2 = [e𝑥  (1+e𝑥)-ex ex] / (1+e𝑥)2= e𝑥/ (1+e𝑥)2.

5. On consid�re la fonction 𝑓 d�finie sur R par : 𝑓(𝑥)=−0,5(𝑥+2)2+4,5.
On peut affirmer que :
A. Le tableau de variations de la fonction 𝑓 est donn� ci-dessous :

B. La courbe repr�sentative admet un sommet de coordonn�es (4,5; −2).
C. Le signe de 𝑓(𝑥) est donn� ci-dessous :

D. La fonction 𝑓 admet un minimum en −2 �gal � 4,5.
f(x) = -0,5x2-2x+2,5 ;  f '(x) = -x-2.
f '(x) < 0 si x > -2 et f(x) d�croissante ; f '(x) > 0 si x < -2 et f(x) croissante ;  f '(-2) = 0.
Axe de sym�trie de la parabole : x = -(-2) / (2*(-0,5) = -2.
Racines de -0,5x2-2x+2,5 =0 ; discriminant D = (-2)2 -4*(-0,5)*2,5 = 9 =32.
x1 = (2+3) / (2*(-0,5)) =-5 et x2 = (2-3) / (2*(-0,5)) =1.
R�ponse C.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 51.

Une note de musique est �mise en pin�ant la corde d’une guitare �lectrique. La puissance du son �mis, initialement de 120 watts, diminue en fonction du temps �coul� apr�s pincement de la corde.
Soit 𝑓 la fonction d�finie pour tout r�el 𝑡 ≥0 par : 𝑓(𝑡)= 120 𝑒−0,14𝑡.
On admet que 𝑓(𝑡) mod�lise la puissance du son, exprim�e en watt, � l’instant 𝑡 o� 𝑡 est le temps �coul�, exprim�e en seconde, apr�s pincement de la corde.
On d�signe par f ′ la fonction d�riv�e de 𝑓.
1. Calculer f ′(𝑡).
f '(t) = 120 *(-0,14)e-0,14t = -16,8 e-0,14t.
2. Dresser le tableau de variations de la fonction 𝑓 sur [0 ; +∞[ et interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.

La puissance du son diminue avec le temps jusqu'� s'annuler.
3. Quelle sera la puissance du son, trois secondes apr�s avoir pinc� la corde ? Arrondir au dixi�me.
f(3) = 120 exp(-0,14*3)~78,8 watts.

4. On consid�re la fonction seuil ci-dessous :
def seuil():
t=0
puissance=120
while puissance>=60:
t=t+0.1
puissance=120*exp(-0.14*t)
return t
Que renvoie cette fonction seuil() ?
La fonction renvoie la dur�e au bout de laquelle la puissance du son est inf�rieure ou �gale � 60 watts.

Sujet 52....
Une fleuriste met en vente quatre sortes de bouquets dont les tarifs et la composition sont indiqu�s ci-dessous :
Bouquet de tulipes orange : 10,50 €
Bouquet de roses orange : 23,50 €
Bouquet de tulipes blanches : 11,60 €
Bouquet de roses blanches : 25,50 €
- 72 % des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses.
- Les autres bouquets mis en vente ne contiennent que des tulipes.
- 20 % des bouquets de tulipe mis en vente ne contiennent que des tulipes orange.
- 36 % des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses blanches.
Un client ach�te au hasard un bouquet parmi ceux mis en vente par la fleuriste. On note :
- 𝑅 l’�v�nement : � Le bouquet achet� par ce client est compos� de roses. �
- 𝐵 l’�v�nement : � Le bouquet achet� par ce client est compos� de fleurs blanches. �
Les �v�nements contraires des �v�nements 𝑅 et 𝐵 sont not�s respectivement 𝑅̅ et 𝐵̅.
1. a. Donner, sans justifier, la probabilit� 𝑃(𝑅∩𝐵).
Le bouquet est compos� de roses blanches : 𝑃(𝑅∩𝐵) =0,72 x0,5=0,36.
b. Recopier et compl�ter le plus possible l’arbre de probabilit� ci-dessous en traduisant uniquement les donn�es de l’�nonc�.
c. Montrer que 𝑃(𝐵)=0,584.

2. On note 𝑋 la variable al�atoire qui donne le prix d’un bouquet achet� par un client.
a. Recopier et compl�ter le tableau ci-dessous donnant, pour chaque valeur 𝑥𝑖 de 𝑋, la probabilit� de l’�v�nement {𝑋=𝑥𝑖}. Justifier.
xi
 25,5
 23,5
 11,6
 10,5
p(X=xi)
 0,36
 0,36
 0,224
 0,056

b. Calculer l’esp�rance de la variable al�atoire 𝑋. On arrondira le r�sultat au centi�me.
E(X) = 25,5 *0,36 +23,5 *0,36 +11,6 *0,224 +10,5*0,056 =9,18 +8,46 + 2,5984 +0,588 ~20,83 €.

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 51.
Un journal hebdomadaire est sur le point d’�tre cr��.
Une �tude de march� aboutit � deux estimations diff�rentes concernant le nombre de journaux vendus :
 1re estimation : 1 000 journaux vendus lors du lancement, puis une progression des ventes de 3 % chaque semaine.
 2e estimation : 1 000 journaux vendus lors du lancement, puis une progression r�guli�re de 40 journaux suppl�mentaires vendus chaque semaine.
On consid�re les suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) telles que, pour tout entier naturel 𝑛≥1, 𝑢𝑛 repr�sente le nombre de journaux vendus la 𝑛-i�me semaine selon la premi�re estimation et 𝑣𝑛 repr�sente le nombre de journaux vendus la 𝑛-i�me semaine selon la deuxi�me estimation. Ainsi, 𝑢1=𝑣1=1 000.
1. On consid�re la feuille de calcul ci-dessous :

A
 B
 C
1
 n
 un
 vn
2
 1
 1000
 1000
3
 2
 1030
 1040
4
 3
 1060,9
 1080
5
 4
 1092,727
 1120

Quelle formule, saisie en B3 et recopi�e vers le bas, permet d’obtenir les termes de la suite (𝑢𝑛) ?
=B2*1,03
2.a. Donner la nature de la suite (𝑢𝑛) puis celle de la suite (𝑣𝑛). Justifier.
un+1 / un = 1,03, suite g�om�trique de raison 1,03.
vn+1-vn = 40, suite arithm�tique de  raison 40.
b. Montrer que pour tout entier naturel 𝑛≥1, 𝑣𝑛=960+40𝑛.
Initialisation : v1 =1000 = 960 +40 *1;  v2 =1000 +40 =960 + 40*2. La propri�t� est vraie au rang 1.
H�r�dit� : 𝑣𝑛=960+40𝑛 est suppos�e vraie.
vn+1 = vn +40 = 960 +40(n+1). La propri�t� est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire ; elle est vraie pour tout n > 1.
c. �crire, pour tout entier naturel 𝑛≥1, l’expression de 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.
un = 1000 * 1,03n-1.
3. On d�finit, pour tout entier 𝑛≥1, la suite (𝑤𝑛) par 𝑤𝑛=𝑣𝑛−𝑢𝑛. On donne ci-dessous un extrait de son tableau de valeurs :
n
 1
 2
19
 20
 21
 22
wn
 0
 10
18
 6
 -6
 -20

� partir de quelle semaine le nombre de journaux vendus d’apr�s la premi�re estimation devient-il sup�rieur au nombre de journaux vendus d’apr�s la deuxi�me estimation ?
A partir de la 21� semaine.

Sujet 52.

Soit 𝑓 la fonction d�finie sur l’intervalle [0;10] par : 𝑓(𝑥)=60𝑥e−0,5𝑥.
La fonction d�riv�e de la fonction 𝑓 est not�e 𝑓′.
1. D�montrer que, pour tout r�el 𝑥, 𝑓′(𝑥)=−30(𝑥−2)e−0,5𝑥.
On pose u = x et v = e-0,5x ; u' = 1 ; v' = -0,5e-0,5x ;
u'v +v'u = e-0,5x -0,5xe-0,5x  =0,5(2- x)e-0,5x ; f '(x) =−30(𝑥−2)e−0,5𝑥.
2. D�terminer le signe de 𝑓′(𝑥) sur l’intervalle [0 ;10].
e−0,5𝑥 est positif ; le signe de f '(x) est celui de 2-x.
si x < 2, f '(x) > 0 ; si x >2, f '(x) < 0 ; si x = 2, f '(x) =0.
3. �tablir le tableau de variation de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0 ;10].
On indiquera dans ce tableau les valeurs exactes des extremums.

4. Quelles sont les coordonn�es du point en lequel la tangente � la courbe repr�sentative de la fonction 𝑓 est parall�le � l’axe des abscisses ?
f '(2) =0. La tangente est parrall�le � l'axe des abscisses en x = 2.
5. D�terminer l’�quation r�duite de la tangente � la courbe repr�sentative de la fonction 𝑓 au point d’abscisse 0.
Coefficient directeur de cette tangente : f '(0)=60.
Le point de coordonn�e (0 ; 0) appartient � la tangente; �quation r�duite  : y = 60x.



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 51.

On consid�re deux �levages de chatons sacr�s de Birmanie :
 Dans le premier �levage 75 % des chatons deviennent couleur Chocolat et 25 % deviennent couleur Blue.
 Dans le second �levage 30 % des chatons deviennent couleur Chocolat et 70 % deviennent couleur Blue.
Une animalerie se fournit dans ces deux �levages. Elle ach�te 40 % de ses chatons au premier �levage et 60 % au deuxi�me.
On choisit au hasard un chaton de l’animalerie.
On note 𝐴 l’�v�nement � Le chaton provient du premier �levage � et 𝐵 l’�v�nement � Le chaton est de couleur Blue �.
On note 𝐴̅ l’�v�nement contraire de 𝐴 et 𝐵̅ l’�v�nement contraire de 𝐵.
1. a. Recopier sur la copie et compl�ter l’arbre de probabilit� ci-dessous :

b. Calculer 𝑃(𝐴̅∩𝐵̅) et interpr�ter ce r�sultat.
0,30 x0,6 =0,18.
La probabilit� qu'un chaton soit issu du second �levage et devienne chocolat est de 0,18.
c. Montrer que la probabilit� que le chaton soit de couleur Chocolat est 0,48.
Formule des probabilit� totale : 0,3 +0,18 = 0,48.
d. Sachant que Jules a choisi un chaton couleur Blue dans cette animalerie, quelle est la probabilit� que le chaton provienne du deuxi�me �levage ? On donnera le r�sultat � 10−2 pr�s.
PB(non A) = P(N n non A) / P(B) =0,18 / 0,48 = 3  / 8 =0,375 ~0,38.
2. Le responsable du rayon fixe � 100 € le prix de vente d’un chaton couleur Blue et � 75 € le prix d’un chaton couleur Chocolat.
On choisit au hasard un chaton de l'animalerie et on d�signe par 𝑋 la variable al�atoire �gale au prix en euros du chaton achet�. D�terminer la loi de probabilit� de 𝑋.
valeur de X
 100
 75
probabilit�
 0,52
 0,48
.
Sujet 52.
Le 1er janvier 2019, le propri�taire d’un appartement a fix� � 650 euros le montant des loyers mensuels pour l’ann�e 2019. Chaque 1er janvier, le propri�taire augmente de 1,52 % le loyer mensuel.
On mod�lise l’�volution du montant des loyers mensuels par une suite (𝑢𝑛). L’arrondi � l’unit� du terme 𝑢𝑛 repr�sente le montant, en euros, du loyer mensuel fix� le 1er janvier de l’ann�e (2019+𝑛), pour 𝑛 entier naturel. Ainsi 𝑢0=650 euros.
1. a. Calculer le montant du loyer mensuel fix� le 1er janvier 2020.
u1 = 650 x1, 0152~660 €
b. Quelle est la nature de la suite (𝑢𝑛) ? Pr�ciser sa raison et son premier terme.
Suite g�om�trique de raison 1,0152 et de premier terme 650.
c. Calculer le montant du loyer mensuel qui, selon ce mod�le, sera fix� pour l’ann�e 2027.
n =8 ; u8 = 650 x1,01528~733 €.
2. Pour calculer la somme totale des loyers per�us par le propri�taire durant les ann�es 2019 � 2019+A, on utilise la fonction ci-dessous, �crite en langage Python.
1 def somme(A):
2 S=0
3 n=0
4 while n<=A:
5 S=S+7800*1.0152**n
6 n = n + 1
7 return S
L’ex�cution de ce programme pour quelques valeurs de A donne les r�sultats ci-dessous :
somme(0)=7800 : somme(1) =15718 ; somme(2) =23757 ; somme(3) =31918 ; somme(8) =74623.
a. Interpr�ter, dans le contexte de l’exercice, le r�sultat obtenu lors de l’appel somme(1).
somme(1) repr�sente le total des loyers annuels des ann�es 2019 et 2020.
b. D�terminer la somme totale des loyers per�us par le propri�taire durant les ann�es 2022 � 2027 incluses. On arrondira le r�sultat � l’unit�.
somme(8)-somme(2) =74 623-23 757=50 866 €.


  

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