Math�matiques,
QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.
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Sujet 53
Exercice 1.
( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. L’�quation 2𝑥2−8𝑥+6=0 admet deux solutions. Leur somme 𝑆 et leur produit 𝑃 sont :
a) S= -8 ; P =6
b) S= -4 ; P = 3
c) S=4 ; P =3. Vrai.
d) S=3 ; P=-4.
Somme S = -b / a = -(-8) / 2 = 4 ; produit P = c / a = 6 /2 = 3.
2. a est un nombre r�el tel que sin(a)=0,5. On a alors :
a) sin (p-a) = 0,5. Vrai.
b) sin (p-a) = -0,5
c) sin (p-a) = 3� /2.
d) sin (p-a) =p /6.
3. Dans un rep�re orthonorm� du plan, on consid�re le cercle d’�quation : (𝑥−3)2+(𝑦+0,5)2=25 / 4
On peut affirmer que :
a) ce cercle a un rayon de 6,25.
b) ce cercle passe par le point R(5 ; −2). Vrai.
c) le centre de ce cercle a pour coordonn�es (−3 ; 0,5).
d) aucune des r�ponses a), a) ou a) n’est correcte.
Rayon du cercle : (25 /4)� = 5 /2 = 2,5.
Coordonn�es du centre du cercle (3 ; -0,5).
Si le point de coordonn�es (5 ; -2) appartient au cercle, alors : (5-3)2 + (-2+0,5)2 =4+2,25=6,25 =25 / 4.
4.
Dans un rep�re orthonorm� du plan, une �quation cart�sienne de la
droite passant par le point A(2 ; −4) et de vecteur normal de
coordonn�es (5 ;6) est :
a). 6x-5y-32=0 ;
b) 6x+5y+8=0.
c) 5x+6y+14=0. Vrai.
d) 5x+6y-14=0.
Equation cart�sienne de la droite : 5x+6y +d = 0.
A appartient � la droite : 5*2+6*(-4)+d=0 ; d = 14.
5. On consid�re la fonction 𝑓 d�finie sur 𝐑 par 𝑓(𝑥)=(2𝑥+3)e𝑥.
La fonction d�riv�e de la fonction 𝑓 est not�e 𝑓′. On a alors :
a) 2 ex ; b) (2𝑥+3)e𝑥 ; c) (2𝑥+1)e𝑥. ; d) (2𝑥+5)e𝑥. R�ponse d.
-On pose u = 2x+3 et v = ex ; u' = 2 ; v' = ex ; u'v+v'u = 2ex+(2x+3)ex =(2x+5)ex.
Sujet 54.
1. Si sin 𝑥=13 alors
A. sin (x+p) = -1 /3. Vrai.
B. sin (x-p) = 1 /3.
C. cos x = 2 /3.
D. sin (x+15 p)= 1 /3.
2. Parmi les paraboles ci-dessous laquelle repr�sente une fonction qui n’admet aucune racine ?
 . R�ponse D.
3. Soit la fonction 𝑓 d�finie sur l’intervalle ]0;+∞[ par 𝑓(𝑥)=2𝑥− 1 / 𝑥
Le coefficient directeur de la tangente � la courbe repr�sentative de 𝑓 au point d’abscisse 1 est :
A. 1
B. 3.
C. -1
D. 0. R�ponse B.
f '(x) = 2+1/x2. f '(1) = 3.
4. Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, l’ensemble des points 𝑀(𝑥;𝑦) tels que
𝑥2−2𝑥+𝑦2+6𝑦+2=0 est :
A. une parabole
B. le cercle de centre Ω de coordonn�es (−1;3) et de rayon 8.
C. le cercle de centre Ω de coordonn�es (1;−3) et de rayon 2√2.
D. une droite. R�ponse C.
𝑥2−2𝑥+1-1+𝑦2+6𝑦+9-9+2=0.
(x-1)2 +(y+3)2 =8 = (2 racine(2))2.
5. La loi de
probabilit� d’une variable al�atoire 𝑋 donnant le gain en euros, d’un
joueur, � un jeu, est donn�e par le tableau suivant :
xi
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-10
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6
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10
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P(X=xi)
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1 /4
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3 /8
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3 /8
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Sur un grand nombre de parties, le gain moyen que peut esp�rer le joueur est :
A. 3,5 € ; B) 4 € ; C) 2 ; D) 6 €.
-10 / 4 +6*3 /8 +10*3 /8 = -2,5 +2,25 +3,75 =3,5.
R�ponse A.
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Exercice 2. ( 5
points) Sujet 53. Une
entreprise fabrique des jeux en bois. Avant sa commercialisation,
chaque jeu est soumis � deux contr�les : un contr�le de peinture et un
contr�le de solidit�.
Apr�s un tr�s grand nombre de v�rifications, on constate que :
- 8 % des jeux ont un d�faut de peinture,
- parmi les jeux qui n’ont pas de d�faut de peinture, 5 % ont un d�faut de solidit�,
- 2 % des jeux pr�sentent les deux d�fauts.
On choisit au hasard un jeu parmi ceux fabriqu�s par l’entreprise. On note :
- 𝑇 l’�v�nement : � le jeu a un d�faut de peinture. �
- 𝑆 l’�v�nement : � le jeu a un d�faut de solidit�. �
1. D�montrer que 𝑃𝑇(𝑆)=0,25.
PT(S) = P(T n S) / P(T) =0,02 / 0,08 =0,25.
2. Recopier et compl�ter l’arbre pond�r� de probabilit� ci-dessous traduisant les donn�es de l’�nonc�.
3. D�montrer que la probabilit� que le jeu choisi au hasard n’ait pas de d�faut de solidit� est �gale 0,934.
0,08 x0,75 + 0,92 x 0,95=0,06 +0,874=0,934.
4. Les jeux qui pr�sentent un d�faut de solidit� sont d�truits. Dans cette question, on leur attribuera un prix de vente de 0 €.
Les jeux ne pr�sentant aucun d�faut sont vendus 14 € chacun.
Les autres jeux sont vendus 9 € chacun.
On note 𝑋 la variable al�atoire qui donne le prix de vente, en euros, d’un jeu.
a. Recopier et compl�ter le tableau ci-dessous donnant, pour chaque valeur 𝑥𝑖 de 𝑋, la probabilit� de l’�v�nement {𝑋=𝑥𝑖}.
xi
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0
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9
|
14
|
P(X=xi)
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0,066
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0,06
|
0,874
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b. Quel est le prix de vente moyen d’un jeu fabriqu� par cette entreprise ?
On arrondira le r�sultat au centime d’euro.
9 x0,06 +14 x0,874 =0,54 +12,236 ~12,78 €.
Sujet 54.
Le directeur d’une maternit� en milieu rural a enregistr� 900 accouchements entre le 1er janvier 2019 et le 31 d�cembre 2019.
Depuis d�j� 10 ans, il constate que le nombre d’accouchements baisse
d’environ 4 % chaque ann�e par rapport � l’ann�e pr�c�dente.
En supposant que cette diminution se poursuive avec ce m�me taux les
prochaines ann�es, il mod�lise le nombre d’accouchements de cette
maternit� pour l’ann�e 2019+𝑛 � l’aide du 𝑛-i�me terme d’une suite (𝑢𝑛). Il a ainsi 𝑢0=900.
1. Montrer que la suite (𝑢𝑛) est une suite g�om�trique dont on pr�cisera la raison.
un+1 = (1-0,04) un = 0,96 un ; un+1 / un = 0,96. Suite g�om�trique de raison 0,96.
2. On consid�re la fonction Suite d�finie ci-dessous en langage Python.
def Suite(n)
u =900
for i in range(1 ; n+1):
u=0,96*u
return u
Quelle sera la valeur obtenue pour Suite(5) ?
u5 = 900 *0,965 ~734.
3. Pour tout entier naturel 𝑛, exprimer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.
un = 900 *0,96n.
4. Le directeur sait que la maternit� devra fermer d�s le nombre d’accouchements deviendra inf�rieur � 600.
Avec ce mod�le, la maternit� sera-t-elle ferm�e en 2030 ? Justifier.
n = 11 ; u11=900 *0,9611 ~574. Cette valeur �tant inf�rieure � 600, la maternit� sera ferme en 2030.
5. Selon ce mod�le, en quelle ann�e la maternit� fermera-t-elle ses portes ?
u10 =900 *0,9610 ~598.
u9 =900 *0,969 ~623.
La maternit� fermera en 2029.
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Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 53.
L’�volution
d’une population de bact�ries d�pend de l’environnement dans lequel ces
bact�ries sont plac�es. Cette population peut �tre mod�lis�e par la
suite (𝑃𝑛) d�finie, pour tout entier naturel 𝑛, par : 𝑃𝑛+1=(1+𝛼)𝑃𝑛+𝛽, o� 𝛼 et 𝛽 sont des param�tres li�s � l’environnement, notamment � la temp�rature et � l’humidit�.
𝑃𝑛 mod�lise alors le nombre de bact�ries, en milliers, qui
composent cette population 𝑛 jours apr�s les avoir introduites dans un
certain environnement.
1. Une population, initialement compos�e de 500 mille bact�ries, est �tudi�e dans un environnement pour lequel 𝛼=0,2 et 𝛽=70.
a. Combien y a-t-il de bact�ries dans cet environnement au bout de deux jours ?
P1 = (1+0,2)x500+70=670.
P2 = (1+0,2)x670+70=874 mille.
b.
Recopier et compl�ter le programme suivant, �crit en langage Python,
pour que la fonction Nombrebacteries renvoie le nombre de bact�ries
pr�sentes dans cet environnement au bout de N jours.
def Nombrebact�ries(N)
P=500
for i in range (0,N)
P=P*1,2+70
return P
2. Une autre
population, initialement compos�e de 500 mille bact�ries, est �tudi�e
dans un nouvel environnement. On constate que le nombre de bact�ries de
cette population augmente de 9 % par jour.
a. D�terminer les valeurs des param�tres 𝛼 et 𝛽 pour cet environnement.
Pn+1 = (1+0,09) Pn ; a = 0,09 et � = 0.
b. Quelle est, dans ce cas, la nature de la suite (𝑃𝑛) ?
Pn+1 / Pn = 1,09, suite g�om�trique de raison 1,09.
c. Justifier qu’apr�s 9 jours dans cet environnement, le nombre de bact�ries de cette a doubl�.
P9 = 500 x1,099 ~1086 mille..
Sujet 54.
Soit la fonction 𝑓 d�finie sur [0 ;3] par 𝑓(𝑥)=4𝑥e−𝑥.
1. On a trac� ci-dessous la courbe repr�sentative de la fonction 𝑓 dans un rep�re orthonorm� d’origine 0.
Conjecturer une valeur approch�e du maximum de 𝑓 sur [0 ;3].
Valeur approch�e du maximum de f : 1,45.
2. La fonction 𝑓 est d�rivable sur [0 ;3]. Montrer que pour tout r�el 𝑥 de l’intervalle [0;3], 𝑓′(𝑥)=4(1−𝑥)e−𝑥.
On pose u = 4x et v = e-x ; u' = 4 ; v' = -e-x.
u'v+v'u =4e-x -4xe-x=4(1−𝑥)e−𝑥.
3. En d�duire le tableau de signes de 𝑓’(𝑥) sur [0 ;3].
4. En d�duire le tableau des variations de 𝑓 sur [0 ;3] puis la valeur exacte du maximum de 𝑓 sur [0 ;3].
Le terme en exponentielle �tant positif, le signe de f '(x) est celui de 1-x.
5. Soit A le point d’abscisse 1 de 𝐶𝑓 et soit t la tangente � 𝐶𝑓 au point d’abscisse 0,5. Qui, de la droite (A0) ou de la droite t, a le plus grand coefficient directeur ? Justifier.
Coefficient direxteur de la droite A0 : f(1) / 1 ~1,47.
Coefficient directeur de la droite t : f '(0,5) =4(1-0,5)e-0,5 ~1,21.
La droite AO a le plus grand coefficient directeur.
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Exercice 4. ( 5 points) Sujet 53. On consid�re la fonction 𝑓 d�finie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par 𝑓(𝑥)=3𝑥e−0,4𝑥.
La fonction d�riv�e de la fonction 𝑓 est not�e 𝑓′.
On admet que la fonction 𝑓′ a pour expression 𝑓′(𝑥)=(−1,2𝑥+3)e−0,4𝑥.
1. D�terminer le signe de 𝑓′(𝑥) sur l’intervalle [0 ;+∞[.
Le terme en exponentielle est positif.
f '(x) a le signe de -1,2x+3.
f '(x) =0 si x = 2,5 ; f '(x) > 0 si x appartient � [0 ; 2,5 ] ; f '(x) < 0 si x > 2,5.
2. En d�duire le tableau de variation de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0 ;+∞[.
3. Un sportif a
pris un produit dopant. La fonction 𝑓 mod�lise la quantit�, en mg/L,
de ce produit dopant pr�sent dans le sang du sportif 𝑥 heures apr�s la
prise.
a. Pourquoi peut-on affirmer que ce produit dopant n’est pas naturellement pr�sent dans l’organisme du sportif ?
Initialement, la quantit� pr�sente dans le sang est nulle.
b. Combien de temps apr�s son absorption, ce produit dopant sera-t-il pr�sent en quantit� maximale dans le sang du sportif ?
t = 2,5 heures.
c. Le sportif absorbe ce produit dopant au d�but d’une s�ance d’entra�nement.
Le m�me jour, 6 heures apr�s le d�but de cette s�ance d’entra�nement,
il est soumis � un contr�le anti-dopage. Celui-ci se r�v�lera positif
si la quantit� de produit dopant pr�sent dans l’organisme de ce sportif
d�passe 1,4 mg/L. Ce contr�le anti-dopage sera-t-il positif ? Justifier.
f(6)=3*6 e-2,4 ~1,6 mg / L.
Cette valeur �tant sup�rieure � 1,4 mg / L, le contr�le est positif.
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Sujet 54.
150 �l�ves d’un �tablissement sont inscrits aux activit�s du midi :
• 30 sont inscrits en musique.
• 45 sont inscrits en sport.
• 75 sont inscrits en cin�ma.
Chaque �l�ve pratique une et une seule activit�. Parmi les �l�ves
inscrits en musique, 30 % sont des filles. Parmi les �l�ves inscrits en
sport, 60 % sont des filles. Parmi les �l�ves inscrits en cin�ma, 72 %
sont des filles.
On choisit au hasard un �l�ve inscrit aux activit�s du midi.
On note : F l’�v�nement : � l’�l�ve choisi est une fille �, M
l’�v�nement : � l’�l�ve choisi est inscrit en musique �, S l’�v�nement
: � l’�l�ve choisi est inscrit en sport �, C l’�v�nement : � l’�l�ve
choisi est inscrit en cin�ma �.
1. Recopier et compl�ter l’arbre pond�r� repr�sentant la situation.
2. Calculer la probabilit� que l’�l�ve choisi soit une fille inscrite en musique.
0,2 x0,3 = 0,06.
3. Montrer que la probabilit� que l’�l�ve choisi soit une fille est �gale � 0,6.
P(F) = 0,2*0,3 +0,3*0,6 +0,5*0,72 = 0,6.
4. Les �v�nements M et F sont-ils ind�pendants ?
P(M) =0,2 ; P(F) = 0,6 ; P(M n F) =0,06 diff�rent de 0,2 *0,6.
Les �v�nements M et F ne sont pas ind�pendants.
5. Sachant que l’�l�ve choisi est un gar�on, calculer la probabilit� qu’il soit inscrit en cin�ma.
P(non F) =1-0,6 = 0,4 ; Pnon F(C) =P(non F n C) / P(non F) =0,5 *0,28 / 0,4 =0,35.
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