Math�matiques,
QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.
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Sujet 55
Exercice 1.
( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. Une �quation de la tangente � la courbe repr�sentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 est :
a) y=x+1. Vrai.
b) y=ex
c) y=ex.
d) y=x-1.
f(x) = ex ; f 'x) = ex ; f '0) = 1.f(0) = 1.
Equation de la tangente : y = x+1.
2. La fonction 𝑓 d�finie sur ℝ par : 𝑓(𝑥)=𝑒−2𝑥+6 admet pour d�riv�e la fonction 𝑓 ′ d�finie sur ℝ par :
a) f '(x) = e-2x+6.
b) f '(x) = -2e-2x+6 Vrai.
c) f '(x) = -2xe-2x+6.
d) f '(x) = (-2x+6)e-2x+6.
On pose u = -2x+6 ; u' = -2 ; f(x) = eu ; f '(x) =u' eu = -2e-2x+6.
3. Dans le rep�re orthonorm� (𝑂,𝑖⃗,𝑗⃗), le vecteur 𝐴𝐵⃗ repr�sent� ci-dessous est �gal � :
4.
On consid�re la fonction 𝑓 d�finie pour tout r�el 𝑥 par
𝑓(𝑥)=sin𝑥−cos𝑥. Parmi les quatre propositions suivantes, une seule
est correcte. Laquelle ?
a). 𝑓 est une fonction paire.
b) 𝑓 est une fonction impaire.
c) f n'est ni paire ni impaire. Vrai.
d) f(0)=0.
sin x est impaire ; cos x est paire ; f(0) = sin(0) -cos(0) = 0-1=-1.
5. Dans le plan muni d’un rep�re, on consid�re la droite (d) d’�quation : 5𝑥−2𝑦+8=0
La droite (d) a pour coefficient directeur :
a) le vecteur de coordonn�es (2 ; 5 )
b) 2,5 vrai ; c) 0,4 ; d) -2.
2y=5x+8 ; y = 2,5x+4.
Sujet 56.
1. a) Si le discriminant d’un polyn�me du second degr� est strictement positif, alors ce polyn�me admet 2 racines positives.
b) Si le discriminant d’un polyn�me du second degr� est strictement n�gatif, alors ce polyn�me admet 2 racines n�gatives.
c) Si un polyn�me du second degr� est toujours strictement positif, alors ce polyn�me n’admet pas de racine. Vrai.
d) Si le discriminant d’un polyn�me du second degr� est nul, alors ce polyn�me admet le nombre 0 pour racine.
2. a) L’�quation cos𝑥=− 0,5 admet 2 solutions dans l’intervalle ]−𝜋/2 ; 𝜋/2]. ( Dans cet intervalle cos x est positif ).
b) L’�quation cos𝑥=− 0,5 admet 1 solution dans l’intervalle [0 ; 𝜋[. Vrai.
c) L’�quation sin𝑥=− 0,5 admet 1 solution dans l’intervalle [0 ; 𝜋[. ( Dans cet intervalle sin x est positif ).
d) L’�quation sin𝑥=− -0,5 admet 2 solutions dans l’intervalle ]−𝜋/2 ; 𝜋/2].
3.
La courbe repr�sentative d’une fonction 𝑓, d�finie et d�rivable sur
l’ensemble des nombres r�els, est donn�e ci-dessous avec ses tangentes,
aux points A et B d’abscisses respectives 2 et 4. On note 𝑓’ la
fonction d�riv�e de 𝑓.
A. f(0) =1 . ( f(0) = -3).
B. f ' (2)=1.( coefficient directeur de la tangente en A) Vrai.
C. f '(2)=-2 ( coefficient directeur de la tangente en B = -0,5)
D. f (4) = 0,5. ( f(4) = -1)
4. On consid�re la fonction 𝑔 d�finie sur l’ensemble des nombres r�els R par : 𝑔(𝑥)=𝑥3−0,0012𝑥+1.
a) 𝑔 est strictement croissante sur R.
b) 𝑔 est croissante sur R.
c) 𝑔 est constante sur l’intervalle [− 0,02 ;0,02].
d) 𝑔 est d�croissante sur l’intervalle [− 0,02 ;0,02]. Vrai.
g'(x) =3x2-0,0012.
g'(x) = 0 si x = � racine carr�e (0,0012 / 3 )soit �0,02.
g'(x) < 0 sur [− 0,02 ;0,02] ; g(x) est d�croissante sur l’intervalle [− 0,02 ;0,02].
5. a) L’�quation (e𝑥)2=1 admet deux solutions dans R.
b) L’ensemble de d�finition de la fonction exponentielle est ]0 ; + ∞[.
c) La fonction d�riv�e de la fonction 𝑥 ↦ e−𝑥 est la fonction 𝑥 ↦ e−𝑥 . ( - e-x)
d) L’ensemble de d�finition de la fonction exponentielle est R.
R�ponse D.
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Exercice 2. ( 5
points) Sujet 55. Un
fermier souhaite r�aliser un enclos rectangulaire pour des poules et
des poussins, adoss� � un mur de sa ferme afin d’�conomiser du
grillage. Ainsi, il ne grillagera que 3 c�t�s de son enclos. Il poss�de
28 m�tres de grillage. Il souhaite construire un enclos d’aire maximale.
On appelle 𝑥 la longueur du c�t� de l’enclos perpendiculaire au mur.
On appelle 𝐴 la fonction qui � un nombre 𝑥 associe 𝐴(𝑥) l’aire de
l’enclos. La fonction 𝐴 est ainsi d�finie sur l’intervalle [0 ;14].1.
a. V�rifier que l’aire 𝐴(𝑥)=−2𝑥�+28𝑥.
28 = 2 largeurs + une longueur ; longueur =28-2 largeurs = 28-2x.
A(x) = largeur fois longueur du rectangle = x (28-2x) =-2x2+28x.
b. Montrer que la forme canonique de 𝐴(𝑥) est −2(𝑥−7)2+98.
A(x) = -2(x2-14x) =-2(x2-14x+49-49) =-2(x-7)2+98.
2. Quatre courbes ont �t� trac�es sur le graphique ci-dessous. Identifier celle qui repr�sente la fonction 𝐴.
Le coefficient a =-2 �tant n�gatif, la parabole poss�de un maximum.
A(0) = A(14)=0, donc courbe C2.
3. Dresser le tableau de variation de la fonction 𝐴.
4. Pour quelle valeur de x l’aire de l’enclos est-elle maximale ? Donner la valeur de cette aire.
L'aire est maximale pour x = 7. L'aire maximale vaut 98 m2.
Sujet 56.
Lorsqu’il s’entraine au tennis, Roger utilise un lance balle.
Cette machine lance les balles soit sur le coup droit soit sur le revers du joueur.
On la remplit de balles et on la programme de la fa�on suivante : deux
tiers des balles seront lanc�es sur le coup droit du joueur, le reste
sur son revers.
On s’int�resse � la r�ussite des frappes de Roger pendant une s�ance d’entra�nement.
On note 𝐷 l'�v�nement : � le joueur re�oit la balle sur son coup droit �.
Roger r�ussit 9 / 10 de ses coups droits et 75 % de ses revers.
On note 𝑆 l'�v�nement : � La frappe de Roger est un succ�s �.
1. Donner p( non 𝐷).
p(non D) = 1 /3.
2. Compl�ter l’arbre pond�r� repr�sentant la situation.
3. Calculer p(non 𝐷∩ 𝑆). Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
p(non 𝐷∩ 𝑆)= 0,75 x 1 /3 = 0,25.
La probabilit� que la balle re�ue sur le revers et soit un succ�s est �gale � 0,25.
4. Montrer que la probabilit� que la frappe de Roger soit un succ�s est �gale � 0,85.
p(S) = 0,9 *2 /3 +0,75 *1 /3 = 0,6 +0,25 = 0,85.
5. Sachant que la
frappe que vient de r�aliser Roger est un succ�s, calculer la
probabilit� que ce soit sur un revers. Arrondir le r�sultat au centi�me.
PS(non D) = P(S n non D) / P(S) = 0,25 /0,85 ~0,29.
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Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 55.
Le plan est muni d’un rep�re orthonorm�.
On consid�re les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 de coordonn�es : 𝐴 (7 ; −2), 𝐵 (7 ; 4) et 𝐶 (1 ; 1).
1. Montrer que 𝑦=1 est une �quation de la droite (𝑑1) passant par 𝐶 et perpendiculaire � (𝐴𝐵).
Equation cart�sienne de la droite (AB) : x - 7 =0.
Equation cart�sienne de la droite d1, perpendiculaire � (AB) :y+d=0.
C(1 ; 1) appartient � cette droite d1 : 1+d=0 ; d=-1.
2. Que repr�sente cette droite pour le triangle 𝐴𝐵𝐶 ?
Cette droite est la hauteur du triangle ABC, issue de C.
3. Donner une �quation de la droite (𝑑2), hauteur du triangle 𝐴𝐵𝐶 issue du sommet B.
Coordonn�es du vecteur AC : xC-xA ; yC-yA soit ( -6 ;3).
Equation cartsienne de la droite d2, perpendiculaire � (AC) : -6x+3y+b=0.
B( 7 ; 4) appartient � d2 : -6*7+3*4+b=0 ; b = 30.
-6x+3y+30=0 ou encore -2x+y+10=0.
4. On appelle 𝐻 le point d’intersection des droites (𝑑1) et (𝑑2).
Donner en justifiant la valeur du produit scalaire 
H est l'orthocentre du triangle ABC.
AH est la hauteur du triangle ABC, issue de A.
AH est perpendiculaire � BC et le produit scalaire est nul.
Sujet 56.
Le
plan est rapport� � un rep�re orthonorm� (O; 𝑖⃗ ,𝑗⃗). On consid�re le
triangle OAB o� O est l’origine du rep�re, A le point de coordonn�es (8
; 0) et B celui de coordonn�es (0 ; 6).
On consid�re le point E, milieu du segment [AB].
La figure est donn�e, elle sera compl�t�e au fur et � mesure et sera rendue avec la copie.
On rappelle que dans un triangle, la m�diane issue d’un sommet est la
droite passant par ce sommet et par le milieu du c�t� oppos� et que le
centre de gravit� d’un triangle est le point de concours de ses 3
m�dianes.
1. Calculer les 2 produits scalaires suivants :
2.
a) Justifier que
l’�quation 1,5x + y – 6 = 0 est une �quation cart�sienne de la m�diane
issue du point B dans le triangle OAB. Tracer cette m�diane sur la
figure.
Equation cart�sienne de cette m�diane : ax +by +c=0.
Le point de coordonn�es (4 ; 0) appartient � cette m�diane : 4a+c=0. (1)
Le point B de coordonn�es (0 ; 6) appartient � cette m�diane : 6b+c=0. (2)
(1)-(2) donne : 4a = 6b soit a = 1,5 b.
1,5 bx +by -6b=0 soit 1,5x + y – 6 = 0.
b) D�terminer une �quation de la m�diane issue de O dans le triangle OAB.
Equation cart�sienne de cette m�diane : ax +by +c=0.
O appartient � cette m�diane : c = 0.
E appartient � cette m�diane :4a+3b=0 soit a = -0,75 b.
-0,75 b x+by=0 soit -0,75x+y=0 ou y = 0,75 x.
c) D�terminer les coordonn�es du point G, centre de gravit� du triangle OAB. Placer le point G sur la figure.
1,5xG + yG – 6 = 0 et yG = 0,75 xG.
1,5xG + 0,75xG – 6 = 0 ; xG = 8 / 3 et yG =2.
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Exercice 4. ( 5 points) Sujet 55. La
biblioth�que municipale �tant devenue trop petite, une commune a d�cid�
d’ouvrir une m�diath�que qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total.
Pour l’ouverture pr�vue le 1er janvier 2020, la m�diath�que dispose du
stock de 35 000 ouvrages de l’ancienne biblioth�que, augment� de 7 000
ouvrages suppl�mentaires neufs offerts par la commune.
Partie A.
Chaque ann�e, le biblioth�caire est charg�e de supprimer 5% des
ouvrages, trop vieux ou ab�m�s, et d’acheter 6 000 ouvrages neufs.
On appelle 𝑢𝑛 le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’ann�e (2020+𝑛).
On donne 𝑢0 = 42.
1. Justifier que, pour tout entier naturel 𝑛, on a 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛�0,95+6.
Chaque ann�e, on supprime 5 % des ouvrages et on en ach�te 6000.
1-0,05 = 0,95 ; un+1 = 0,95 un +6.
2. On propose ci-dessous un programme en langage Python :
def suite(n)
u=42
for i in range(n)
u = 0,95*u+6
return u
Expliquer ce que permet de d�terminer ce programme.
Ce programme donne le nombre d'ouvrage en l'an 2019 +n, c'est � dire la valeur de un.
Partie B.
La commune doit finalement revoir ses d�penses � la baisse, elle ne
pourra financer que 4 000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6 000
pr�vus.
On appelle 𝑣𝑛 le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’ann�e (2020+𝑛).
1. On admet que 𝑣𝑛+1 = 0,95�𝑣𝑛+4 pour tout entier naturel 𝑛≥0 avec 𝑣0 = 42.
On consid�re la suite (𝑤𝑛) d�finie, pour tout entier naturel 𝑛, par 𝑤𝑛= 𝑣𝑛−80.
a. Montrer que (𝑤𝑛) est une suite g�om�trique de raison 𝑞 = 0,95 et pr�ciser son premier terme 𝑤0.
𝑤𝑛+1= 𝑣𝑛+1−80 =0,95�𝑣𝑛+4-80=0,95�𝑣𝑛-76 =0,95( vn -80)=0,95 wn.
wn est une suite g�om�trique de raison 0,95 et de premier terme 42-80 = -38.
b. En d�duire l’expression de 𝑤𝑛 puis de 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.
wn=-38 * 0,95n ; vn = wn +80 = -38 * 0,95n +80.
2. On donne ci-dessous un programme en langage Python.
def objet(A)
v=42
n=0
while v < A:
v=0,95*v +4
n=n+1
return n
L’appel � la fonction objet(70) renvoie 27. Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
en 2020+27 soit en 2047, la m�diat�que comptera plus de 70 mille ouvrages.
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Sujet 56.
En 2016, a �t� lanc�e une plateforme de streaming par abonnement.
Le tableau suivant donne le nombre d’abonn�s (en million) au 31 d�cembre de chaque ann�e de 2016 jusqu’en 2019.
Rang de l'ann�e
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1
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2
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3
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4
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31 d�cembre de l'ann�e
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2016
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2017
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2018
|
2019
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Nombre d'abonn�s ( millions)
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12
|
13,7
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15,8
|
18,2
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Les responsables de cette plateforme �tudient l’�volution du nombre d’abonn�s afin d’adapter leurs investissements.
1. Quelle a �t� en pourcentage l’�volution du nombre d’abonn�s entre 2016 et 2017 ?
(13,7-12) / 12 x100 ~14,2 %.
2. Expliquer pourquoi le taux moyen d’�volution par an entre 2016 et 2019, arrondi au centi�me, est de 14,89%.
12 (1 +14,89 /100)3 ~18,2.
3.
On consid�re que le nombre d’abonn�s a augment� de 15% par an � partir
de 2016. On d�cide de mod�liser ce nombre d’abonn�s (en millions) par
une suite de premier terme 12.
Pr�ciser la nature de cette suite et sa raison.
Suite g�om�trique de raison1+0,15 = 1,15 et de premier terme 12.
4. Quel sera selon ce mod�le, le nombre d’abonn�s au 31 d�cembre 2020 ?
u4=12 x1,154 ~20,99 millions.
5. Pour d�terminer
en quelle ann�e, selon ce mod�le, sera obtenu l’objectif de 40 millions
d’abonn�s, on a d�fini en langage Python la fonction Seuil ci
dessous. Compl�ter les instructions afin que ce programme fournisse l’ann�e o� cet objectif sera atteint.
def Seuil():
n=2016
A=12
while A < 40 :
A= A*1,15
n=n+1
return n
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