Math�matiques,
QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.
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Sujet 57
Exercice 1.
( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. Dans un rep�re orthonorm�, on consid�re la parabole P d’�quation 𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥 − 11, de sommet S et d’axe de sym�trie la droite D . Quelle est la bonne proposition ?
A. S(−4 ; 5) et D a pour �quation 𝑦 = 5.
B. S(−1 ; −17) et D a pour �quation 𝑥 = −1.
C. S(−1 ; −13) et D a pour �quation 𝑥 = −1. Vrai.
D. S(−1 ; −13) et D a pour �quation 𝑦 = −1.
Equation de la droite D : x= -b / (2a) = -4 /(2*2)= -1.
Coordonn�es du sommet : (-1; f(-1)= -13).
2. Une
exp�rience al�atoire met en jeu des �v�nements 𝐴 et 𝐵 et leurs
�v�nements contraires non 𝐴 et non 𝐵. L’arbre pond�r� ci-dessous
traduit certaines donn�es de cette exp�rience al�atoire.
On a alors :
A. 𝑃(𝐵) = 0,5. ( 0,3 *0,6 +0,4*0,2 =0,18+0,08=0,26).
B. 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,9. ( 0,6 *0,3)=0,18)
C. 𝑃𝐴(𝐵) = 0,18. (P(A n B) / P(A) =0,18 /0,6 =0,3)
D. 𝑃𝐵(𝐴) = 9 / 13. (P(A n B) / P(B) =0,18 /0,26 =18 /26 =9 /13). Vrai.
3. On consid�re le nombre r�el 𝑎 =18𝜋 / 5.
Un des nombres r�els suivants a le m�me point image que le nombre r�el 𝑎 sur le cercle trigonom�trique. Lequel ?
A. 3𝜋 / 5.
B. 63𝜋 / 5
C. −12𝜋 / 5. Vrai.
D. −3𝜋 / 5.
18𝜋 / 5 = 10𝜋 / 5 + 8𝜋 / 5 =2𝜋 + 8𝜋 / 5.
18𝜋 / 5 = 20𝜋 / 5 - 2𝜋 / 5 =4𝜋 - 2𝜋 / 5.
63𝜋 / 5 = 60𝜋 / 5 + 3𝜋 / 5 = 12𝜋 + 3𝜋 / 5.
−12𝜋 / 5 = −10𝜋 / 5 -2𝜋 / 5 =-2𝜋 - 2𝜋 / 5.
4. On consid�re la fonction 𝑓 d�finie sur𝐑 par 𝑓(𝑥)= 𝑥e𝑥.
La fonction d�riv�e de la fonction 𝑓 est not�e 𝑓′. On a alors :
A. 𝑓′(𝑥)=e𝑥.
B. 𝑓′(𝑥)=(1+𝑥)e𝑥. Vrai.
C. 𝑓′(𝑥)=𝑥e𝑥.
D. 𝑓′(𝑥)=2𝑥e𝑥.
On pose u =x et v = ex ; u' = 1 ; v' = ex ; u'v+v'u =ex+xex=(1+x=ex.
5.Parmi les relations suivantes, quelle est celle qui permet de d�finir une suite g�om�trique de terme g�n�ral 𝑢𝑛 ?
A. 𝑢𝑛=𝑢𝑛−1 / 2. Vrai.
B. 𝑢𝑛=𝑢𝑛−1 + 2.
C. 𝑢𝑛=2𝑢2𝑛−1.
D. 𝑢𝑛=2𝑢𝑛−1+10.
Sujet 58.
1. Pour tout r�el 𝑥, e2𝑥 + e4𝑥 est �gal � :
a) e6𝑥 ; b) e2𝑥 (1 + e2) ; c) e3𝑥 (e𝑥 + e−𝑥 ) vrai ; d) exp(8𝑥2).
e3x *e-x+e3x*ex =e3𝑥 (e-x + e𝑥 )
2. Dans
le plan muni d'un rep�re orthonorm�, on consid�re les vecteurs 𝑢⃗⃗(−5;
2) et 𝑣⃗(4; 10) et la droite (d) d'�quation : 5𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0.
a) 𝑢⃗⃗ et 𝑣⃗ sont colin�aires
b) 𝑢⃗⃗ est un vecteur normal � la droite (d)
c) ) 𝑢⃗⃗ et 𝑣⃗ sont orthogonaux. Vrai ( le produit scalaire de ces vecteurs vaut : -5*4+2*10=0 )
d) 𝑢⃗⃗ est un vecteur directeur de (d).
3. La d�riv�e 𝑓′ de la fonction 𝑓 d�finie sur R par 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1)e−𝑥 est :
a) 2𝑥e−𝑥 ; b) −2𝑥e−𝑥 ; c) (−2𝑥 + 3)e−𝑥 vrai ; d) 2e−𝑥 + (2𝑥 − 1) e−𝑥.
On pose u = 2x-1 et v = e-x ; u' = 2 ; v' = -e-x ; u'v +v'u=2e-x-(2x-1)e-x =(−2𝑥 + 3)e−𝑥 .
4. Pour tout r�el 𝑥, on a sin(π + 𝑥) =
a) −sin (𝑥) vrai ; b) cos (𝑥) ; c) sin (𝑥) ; d) −cos (𝑥)
5. Soit 𝑓 une fonction d�finie et d�rivable sur R dont la courbe repr�sentative est donn�e.
La tangente � la courbe au point 𝐴 est la droite 𝑇.
a) 𝑓′(0) = 3 ; b) 𝑓′(0) = 1 / 5 ; c) 𝑓′(0) = 5 ; d) 𝑓′(0) = −5. Vrai.
f '(0) = coefficient directeur de la tangente en A = -5.
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Exercice 2. ( 5
points) Sujet 57. On consid�re la fonction 𝑓 d�finie sur 𝐑 par 𝑓(𝑥)=𝑥3+3𝑥�+3𝑥−63.
On appelle C sa courbe repr�sentative dans un rep�re orthonorm�.
1. D�terminer 𝑓′(𝑥).
f '(x) = 3x2+6x+3 = 3(x+1)2.
2. Etudier le signe de 𝑓′(𝑥) sur 𝐑.
(x+1)2 > 0; f '(x) >0 et f '(-1) =0.
3. Etablir le tableau de variations de la fonction 𝑓 sur 𝐑.
4. Justifier que la tangente � la courbe C au point d’abscisse −1 est la droite D d’�quation 𝑦=−64.
Coefficient directeur de cette tangente : f '(-1) =0.
La tangente passe par le point de coordonn�es (-1 ; f(-1) = -64.
Equation de cette tangente : y = -64.
5. D�terminer en quels points de la courbe C la tangente � la courbe est parall�le � la droite d’�quation 𝑦 =3𝑥−100.
Coefficient directeur de ces tangentes : 3 = f '(x) ; 3(x+1)2 = 3 ; (x+1)2 =1 ; x+1 = �1 soit x = 0 et x = -2.
f(0) = -63 ; f(-2) = -65.
Coordonn�es de ces points ( 0 ; -63) et (-2 ; -65).
Sujet 58.
La population d’une ville A augmente chaque ann�e de 2%. La ville A avait 4600 habitants en 2010.
La population d’une ville B augmente de 110 habitants par ann�e. La ville B avait 5100 habitants en 2010.
Pour tout entier 𝑛, on note 𝑢𝑛 le nombre d’habitants de la ville A et 𝑣𝑛 le nombre d’habitants de la ville B � la fin de l’ann�e 2010 + 𝑛.
1. Calculer le nombre d’habitants de la ville A et le nombre d’habitants de la ville B � la fin de l’ann�e 2011.
u1 =4600 x1,02 =4692.
v1 = 5100 +110 = 5210.
2. Quelle est la nature des suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) ?
(un) : suite g�om�trique de raison 1,02 ; (vn) suite arithm�tique de raison 110.
3. Donner l'expression de 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛, pour tout entier naturel 𝑛 et calculer le nombre d’habitants de la ville A en 2020.
un = 4600 *1,02n ; u10=4600*1,0210 ~5607.
4. Donner l'expression de 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛, pour tout entier naturel 𝑛 et calculer le nombre d’habitants de la ville B en 2020.
vn =5100+110n ; v10=5100+1100=6200.
5. Reproduire et
compl�ter sur la copie l'algorithme ci-dessous qui permet de d�terminer
au bout de combien d’ann�es la population de la ville A d�passe celle
de la ville B.
def ann�e ():
u=4600
v=5100
n=0
while u < = v :
u=u*1,02
v=v+110
n=n+1
return n
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Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 57.
Pour
placer un capital de 5 000 euros, une banque propose un placement �
taux fixe de 5 % par an. Avec ce placement, le capital augmente de 5 %
chaque ann�e par rapport � l’ann�e pr�c�dente. Pour b�n�ficier de ce
taux avantageux, il ne faut effectuer aucun retrait d’argent durant les
quinze premi�res ann�es. On mod�lise l’�volution du capital disponible
par une suite (𝑢𝑛). On note 𝑢𝑛 le capital disponible apr�s 𝑛 ann�es de placement. On d�pose 5 000 euros le 1er janvier 2020. Ainsi 𝑢0=5 000.
1. Montrer que 𝑢2=5512,5. Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
u1 = 5000 *1,05=5250 ; u2 = 5250 *1,05=5512,5.
Le premier janvier 2022, le placement est �gal � 5512,5 €.
2. Exprimer 𝑢𝑛+1 en fonction de 𝑢𝑛.
un+1=1,05 un.
3. Quelle est la nature de la suite (𝑢𝑛) ? Pr�ciser son premier terme et sa raison.
Suite g�om�trique de raison 1,05 et de premier terme 5000.
4. Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.
un = 5000 *1,05n.
5. Justifier que le capital aura doubl� apr�s 15 ann�es de placement.
u15=5000 *1,0515 ~10 395 €.
Sujet 58.
Soit ℎ la fonction d�finie sur [0 ; 26] par :
ℎ(𝑥) = −𝑥3 + 30𝑥2 − 108𝑥 − 490.
1. Soit ℎ′ la fonction d�riv�e de ℎ. Exprimer ℎ′(𝑥) en fonction de 𝑥.
h'(x)=-3x2+60x-108.
2. On note 𝐶 la courbe repr�sentative de ℎ et 𝐶′ celle de ℎ′.
a. Identifier 𝐶 et 𝐶′ sur le graphique orthogonal ci-dessous parmi les trois courbes 𝐶1, 𝐶2 et 𝐶3 propos�es.
b. Justifier le choix pour 𝐶′.
h(0) = -490, courbe C2.
h(x) est d�croissante sur ]-oo ; 2]; h'(x) est n�gative, courbe C1.
3. Soit (T) la tangente � 𝐶 au point 𝐴 d'abscisse 0. D�terminer son �quation r�duite.
Coefficient directeur de T : h'(0) = -108.
Le point de coordonn�es 0 ; -490) appartient � T.
Equation r�duite de T : y = -108x-490.
4. �tudier le signe de ℎ′(𝑥) puis dresser le tableau de variation de la fonction ℎ sur [0; 30].
Solutions de -3x2+60x-108 =0 soit x2-20x+36=0.
Discriminant D =(-20)2-4*36=256=162.
x1 = (20-16)/2=2 ; x2=(20+16)/2=18.
h'(x) est positive sur [2 ; 18] ; h'(x) est n�gative sur ]-oo; 2] et [18 ; +oo[.
h'(2) = h'(18) =0.
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Exercice 4. ( 5 points) Sujet 57. Dans
un rep�re orthonorm� du plan, on consid�re les points A(−2 ;1), B(1 ;2)
et E(0 ;−5). On appelle C le cercle de centre A passant par B.
1. Justifier qu’une �quation du cercle C est (𝑥+2)�+(𝑦−1)�=10.
Rayon du cercle R2 = AB2 =(1-(-2))2 +(2-1)2 = 10
Equation du cercle de centre A(-2 ; 1) : (𝑥+2)�+(𝑦−1)�=10.
2. Calculer le produit scalaire suivant :
3. Que peut-on en d�duire pour les droites (AB) et (AE) ?
Les droites (AB) et (AE) sont perpendiculaires.
4. D�terminer une �quation cart�sienne de la droite (AE).
Coordonn�es d'un vecteur normal � la droite (AE) : (3 ; 1).
Equation cart�sienne de cette droite : 3x+y+c=0.
E(0 ; -5) appartient � cette droite : -5+c=0 soit c = 5.
3x+y+5=0.
5. Calculer les coordonn�es des points d’intersection de (AE) et du cercle C.
y =-3x-5.
(x+2)2 +(-3x-5-1)2= 10.
x2+4x+4 +9x2+36+36x=10.
10x2+40x+30=0 ; x2+4x+3=0
Discriminant D =42-4*3=4=22.
Solutions : x1 = (-4+2)/2 =-1 et x2 = (-4-2) / 2 = -3.
y1 =-2 et y2 =4.
Les points d’intersection de (AE) et du cercle C ont pour coordonn�es :(-1 ; -2) et (-3 ; 4).
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Sujet 58.
Une
entreprise qui fabrique des aiguilles dispose de deux sites de
production, le site A et le site B. Le site A produit les trois-quarts
des aiguilles, le site B l’autre quart. Certaines aiguilles
peuvent pr�senter un d�faut. Une �tude de contr�le de qualit� a r�v�l� que :
2% des aiguilles du site A sont d�fectueuses ;
4% des aiguilles du site B sont d�fectueuses.
Les aiguilles provenant des deux sites sont m�lang�es et vendues ensemble par lots.
On choisit une aiguille au hasard dans un lot et on consid�re les �v�nements suivants :
𝐴 : l’aiguille provient du site A ;
𝐵 : l’aiguille provient du site B ;
𝐷 : l’aiguille pr�sente un d�faut.
1. D’apr�s les donn�es de l’�nonc�, donner la valeur de la probabilit� de l’�v�nement 𝐴 que l’on notera 𝑃(𝐴).
p(A) = 0,75.
2. Recopier et compl�ter sur la copie l'arbre de probabilit�s ci-dessous en indiquant les probabilit�s sur les branches.
3. Quelle est la probabilit� que l’aiguille ait un d�faut et provienne du site A ?
0,02 *0,75=0,015.
4. Montrer que 𝑃(𝐷) = 0,025.
5. Apr�s inspection, l’aiguille choisie se r�v�le d�fectueuse. Quelle est la probabilit� qu’elle ait �t� produite sur le site A ?
PD(A) = P(D n A) / P(D)=0,015 /0,025=0,60.
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