Math�matiques,
QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.
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Sujet 59
Exercice 1.
( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. Soit la suite arithm�tique (𝑢𝑛) de premier terme 𝑢0 = 2 et de raison 0,9. On a :
a) 𝑢50=47. Vrai.
b) 𝑢50=100,9
c) 𝑢50=−47
d) 𝑢50=−100,9.
u50 = u0 +50 *0,9 =2+45=47.
2. Soit la suite g�om�trique ( 𝑣𝑛) de premier terme 𝑣0= 2 et de raison 0,9.
La somme des 37 premiers termes de la suite ( 𝑣𝑛) est :
a) 2x(1-0,938) / (1-0,9).
b) 2x(1-0,937) / (1-0,9). Vrai.
c ) 0,9x(1-238) / (1-2).
d) 0,9x(1-237) / (1-2).
3. Un programme en langage Python qui retourne la somme des entiers de 1 � 100 est :
a) def Somme()
s=0
while s <100 :
s=s+1
returne (s)
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b) def Somme()
s=0
while s <100 :
s=2*s+1
returne (s) |
c) def Somme()
s=0
for kin range(101):
s=s+k
returne (s) |
d) def Somme()
s=0
for kin range(100):
s=s+k
returne (s) |
R�ponse c.
4. On a 𝑥∈[−𝜋 / 2 ; 0] et cos 𝑥=0,8 alors :
a) sin𝑥=0,6
b) sin𝑥=−0,6. Vrai.
c) sin𝑥=−0,2
d) sin𝑥=0,2.
sin2(x) = 1-0,82 = 0,36 ; sin (x) = �0,6.
𝑥∈[−𝜋 / 2 ; 0], alors sin(x) < 0.
5. Le nombre r�el 13𝜋 /4 est associ� au m�me point du cercle trigonom�trique que le r�el :
a) −14 𝜋 / 4
b) −3 𝜋 /4. Vrai.
c) 7 𝜋 / 4
d) 19 𝜋 / 4.
13𝜋 /4 =16𝜋 /4 -3𝜋 /4=4𝜋 -3𝜋 /4
Sujet 60.
1.
Dans le rep�re orthogonal suivant on a trac� quatre courbes, chacune
associ�e � une fonction de variable r�elle 𝑥 et d'expression 𝑒𝜆𝑥 o� 𝜆 est un param�tre r�el. Quelle courbe poss�de le plus petit param�tre 𝜆 ?
l est n�gatif pour les fonctions f et g, positif pour les fonctions h et i.
Choisissons une abscisse n�gative : le point correspondant de la courbe Cg a une ordonn�e sup�rieure � celle du point de la courbe Cf.
R�ponse b, courbe Cg.
2. On
choisit au hasard un couple ayant deux enfants et on note 𝑋 la
variable al�atoire �gale au nombre de filles du couple. On admet que la
probabilit� qu’un enfant soit une fille est �gale � 0,5 et qu’il y a
ind�pendance du sexe de l’enfant entre deux naissances.
D�terminer 𝑃(𝑋 ≥1).
Valeur de X
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0 ( deux gar�ons)
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1 ( une fille et un gar�on)
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2 ( deux filles.
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P(X)
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0,5 *0,5 = 0,25
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0,5
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0,5 *0,5 = 0,25
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P(X> 1)= 0 0,5 +0,25 = 0,75. R�ponse d.
3. On a repr�sent� ci-dessous la courbe 𝒞 de la fonction sinus dans un rep�re orthogonal.
A0, A1, A2, A3 et A4 sont des points de 𝒞 et ils ont tous la m�me ordonn�e.
Parmi les segments suivants, lequel a pour longueur la p�riode de la fonction sinus ?
a) [A0 ; A1]
b) [A0 ; A2]
c) [A0 ; A3]. Vrai.
d) [A0 ; A4]
4. Soit la fonction 𝑓 d�finie sur ℝ par 𝑓(𝑥)=0,5𝑥2−2𝑥+1.
On consid�re l’�quation 𝑓(𝑥)=0, d’inconnue 𝑥∈ℝ. L’ensemble des solutions de cette �quation est :
a) ∅
b) {2−√2 ; 2+√2}
c) {2−√6 ; 2+√6}
d) {4−2√2 ; 4+2√2}.
Discriminant D = (-2)2 -4*0,5*1=2.
Solutions x= (2�2�) / (2*0,5) = 2�2�. R�ponse b.
5. 𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que : 𝐴𝐵=5, 𝐵𝐶=2, angle (𝐴𝐵𝐶̂)=60. La longueur 𝐴𝐶 est �gale � :
a) 19� vrai ; b) 21� ; c) 28� ; d) 29�.
AC2 =BC2 + AB2 -2*AB*BC cos 60 = 22 +52 -2*2*5 cos 60 =29-20 *0,5 = 19.
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Exercice 2. ( 5
points) Sujet 59. Le
d�pistage d’une maladie particuli�re que l’on appelle M s'effectue par
un test bas� sur le dosage d’une hormone particuli�re. D’apr�s une
�tude, cette maladie M touche 1,5 % de la population.
Si une personne est atteinte par la maladie M, le test sera positif
dans 95 % des cas ; alors que si la personne n’est pas atteinte par la
maladie M, le test sera n�gatif dans 99 % des cas.
On soumet � ce test une personne prise au hasard dans la population.
On note :
● A l’�v�nement � La personne est atteinte par la maladie M.� ;
● T l’�v�nement � Le test est positif.�.
1. D�terminer la probabilit� pour que le test soit positif et que la personne choisie ne soit pas malade.
2. D�terminer la probabilit� pour que le test soit positif.
3. Calculer 𝑃T (A̅) (Arrondir � 10 – 3 pr�s). Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
𝑃T (A̅) = P(T n non A) / P(T) =0,00985 / 0,0241 ~0,409.
Parmi 1000 tests positifs, 409 personnes ne sont pas malades.
Sujet 60.
On mod�lise la diffusion dans le sang d’un m�dicament de 1 gramme par intraveineuse (fonction 𝑓1, courbe repr�sentative 𝒞1) ou par voie orale (fonction 𝑓2, courbe repr�sentative 𝒞2) pendant une dur�e de 10 heures. Plus pr�cis�ment :
𝑓1(𝑡) mod�lise la proportion du m�dicament dans le sang
� l’instant 𝑡, o� 𝑡 est le temps en heure apr�s injection par
intraveineuse ;
𝑓2(𝑡) mod�lise la proportion du m�dicament dans le sang
� l’instant 𝑡, o� 𝑡 est le temps en heure apr�s administration par
voie orale.
Pour tout r�el 𝑡 de l’intervalle [0 ;10], on admet que 𝑓1(𝑡)=e−0,57𝑡 et 𝑓2(𝑡)=1,75 𝑡 e−𝑡.
Les courbes 𝒞1 et 𝒞2 de 𝑓1 et 𝑓2 sont repr�sent�es ci-dessous.
1. Injection par voie intraveineuse
a. D�terminer le sens de variation de la fonction 𝑓1.
f1 est strictement d�croissante.
b. R�soudre graphiquement 𝑓1(𝑡)<0,1. Interpr�ter la r�ponse dans le contexte.
t appartient � [4,05 ; 10].
Au del� de 4 heures apr�s la prise, la concentration en m�dicament dans le sang est inf�rieure � 0,1 g.
2. Administration par voie orale
On note 𝑓2′ la fonction d�riv�e de la fonction 𝑓.
a. Montrer que, pour tout 𝑡 de [0 ; 1], 𝑓2′(𝑡)=1,75(1−𝑡)e−𝑡.
On pose u = 1,75 t et v = e-t ; u' = 1,75 ; v' = -e-t.
u'v+v'u = 1,75e-t -1,75te-t = 1,75(1−𝑡)e−𝑡.
b. Construire le tableau de variations de la fonction 𝑓2.
c. � quel instant 𝑡 la proportion de m�dicament dans le sang est-elle la plus �lev�e ?
Une heure apr�s la prise, la concentration du m�dicament est la plus �lev�e.
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Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 59.
Soit 𝑓 la fonction d�finie sur ℝ par 𝑓(𝑥)=(𝑥2−2,5𝑥+1) 𝑒𝑥.
1. On note 𝑓′ la fonction d�riv�e de 𝑓.
a) Montrer que, pour tout r�el 𝑥, 𝑓′(𝑥)=(𝑥2−0,5𝑥−1,5) 𝑒𝑥.
On pose u = x2-2,5x+1 et v = ex ; u' = 2x-2,5 ; v' = ex ;
u'v+v'u=(2x-2,5)ex +( x2-2,5x+1)ex =(𝑥2−0,5𝑥−1,5) 𝑒𝑥.
b) �tudier les variations de 𝑓 sur ℝ.
ex �tant toujours positif, le signe de f '(x) est celui de 𝑥2−0,5𝑥−1,5.
Solutions de 𝑥2−0,5𝑥−1,5=0. D�terminant D =(-0,5)2 +4*1,5=6,25 =2,52.
x1 = (0,5 +2,5) / 2 =1,5 ; x2 = (0,5 -2,5) / 2 =-1.
f '(x) est n�gatif si x appartient � [-1 ; 1,5] ; f(x) est d�croissante
f '(x) est positif si x appartient � ]-oo ; -1 } union [1,5 ; +oo[. f(x) est croissante
f '(-1) = f '(1,5) = 0. f admet deux extr�mum.
2. On note 𝒞𝑓 la courbe repr�sentative dans un rep�re et 𝒯 la tangente � 𝒞𝑓 de la fonction 𝑓 au point A d’abscisse 0.
a) D�terminer une �quation de la tangente 𝒯.
Coefficient directeur de cette tangente = f '(0)= -1,5.
A (0 ; 1) appartient � cette tangente : 1 = 0+b ; b = 1.
Equation de la tangente : y = -1,5x+1.
b) On admet que la tangente 𝒯 recoupe la courbe 𝒞𝑓 au point P d’abscisse 𝑎 strictement positive. A l’aide de votre calculatrice, donner un encadrement de 𝑎 au dixi�me pr�s.
la calculatrice donne a ~1,8.
Sujet 60.
Dans un pays, le nombre de cr�ations d’entreprise augmente 1,5% par mois.
En janvier 2018 on compte 50 000 cr�ations d’entreprise.
On mod�lise le nombre de cr�ations d’entreprise au 𝑛-i�me mois par une suite (𝑢𝑛) telle que 𝑢𝑛+1=𝑢𝑛�1,015 et 𝑢0=50, 𝑢𝑛 est exprim� en milliers d’entreprises.
1.a. Calculer 𝑢1.
u1 =50 x1,015=50,75 milliers.
b. Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
En f�vrier 2018 on compte 50 750 cr�ations d’entreprise.
2.a. Quelle est la nature de la suite (𝑢𝑛) ?
Suite g�om�trique de raison 1,015 et de premier terme 50.
b. Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.
un = 50 * 1,015n.
c. Un journaliste
annonce qu’au total dans l’ann�e 2018, pr�s de 652 000 entreprises se
sont cr��es. Donner un calcul permettant de justifier les propos du
journaliste.
Somme des 12 premiers termes de cette suite g�om�trique : 50 (1-1,01512) / (1-1,015) =652 milliers.
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Exercice 4. ( 5 points) Sujet 59. Le
centre commercial � L’autre faubourg � de Cholet a �t� con�u en forme
circulaire de 110 m de rayon permettant une visibilit� � 360� et une
accessibilit� optimale, notamment aux personnes � mobilit� r�duite. Le
parking, situ� � l’int�rieur du disque, dessert l’ensemble des 32
magasins.
On munit le plan d’un rep�re orthonorm� de centre O. L’unit� est le m�tre.
Les entr�es des magasins du centre commercial sont situ�es sur le cercle 𝒞 de centre O et de rayon 110.
1) Une all�e
centrale couverte a �t� construite afin de permettre aux automobilistes
de rejoindre les magasins en cas d’intemp�ries. Elle est mod�lis�e par
la droite (AD) avec A(−30;15) et D(80;−40).
a) D�terminer une �quation du cercle 𝒞.
x2+y2 = 1102=12100.
b) D�montrer que le point O appartient � la droite (AD).
2) Camille qui vient de garer sa voiture en G(−10;−10) sous une pluie
battante, souhaite se mettre � l’abri sous cette all�e centrale, le
plus rapidement possible.
a) Calculer le produit scalaire suivant.
b) Le point de la droite (AD) le plus proche de G est-il O ?
O n'est pas le projet� orthogonal de G sur la droite (AD). Le point de la droite (AD) le plus proche de G n'et pas le point O.
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Sujet 60.
(𝑂 ; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗) est un rep�re orthonorm� du plan.
On consid�re les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 de coordonn�es respectives (−2 ;0), (6 ;0) et (0 ;6).
Les points 𝐴′, 𝐵′ et 𝐶′ milieux respectifs des segments [𝐵𝐶], [𝐴𝐶] et [𝐴𝐵].
Le cercle Γ passant par les points 𝐴′, 𝐵′ et C’ a pour centre le point 𝐼 de coordonn�es (1 ;2).
1.
a. Calculer le rayon de ce cercle.
IC'2 =(2-1)2 +(0-2)2 =5 ; IC = 5�.
b. En d�duire qu’une �quation du cercle Γ est (𝑥−1)2+(𝑦−2)2=5.
(x-xI)2 +(y-yI)2 = rayon2.
(𝑥−1)2+(𝑦−2)2=5.
2. Propri�t� des hauteurs du triangle 𝐴𝐵𝐶
a. On admet que 𝑂 est le pied de la hauteur issue de 𝐶. Montrer que le point 𝑂 est sur le cercle Γ.
(𝑥O−1)2+(𝑦O−2)2=5.
(-1)2 +(-2)2 = 5. Donc O appartient au cercle.
b. Soit 𝐻𝐴 le pied de la hauteur issue de 𝐴. Montrer que 𝐻𝐴 a pour coordonn�es (2 ;4).
Equation r�duite de la droite BC : y= -x+c.
B(6 ; 0) appartient � cette droite :0= -6+c ; c = 6.
y= -x+6.
HC appartient � cette droite : yH= -xH+6.
xH +2-(-xH+6)=0 ; 2 xH -4=0 ; xH = 2. Par suite yH =4.
c. Justifier que le point 𝐻𝐴 est sur le cercle Γ.
(𝑥H−1)2+(𝑦H−2)2= (2−1)2+(4−2)2=5.
Le point 𝐻𝐴 est sur le cercle Γ.
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