Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujet 61
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. La courbe ci-contre Cf est la repr�sentation graphique, dans un rep�re orthonorm�, d’une fonction f. Les droites d et d’ sont respectivement les tangentes � la courbe Cf aux points d’abscisses 1 et 2.
Les �quations r�duites de d et d’ sont respectivement :
d : 𝑦=2𝑥−2 et d’ : 𝑦=−𝑥+2.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste ?
a) f '(1)=0.
b) f '(2)=2
c) f '(2)=-1. Vrai.
d) f '(1) =-2.
f '(1) est le coefficient directeur de la droite d et f '(2) celui de la droite d'.

 2.Soit 𝑥 ∈ [𝜋 /2 ; 3𝜋 /2] tel que sin𝑥= 0,5 .
Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste ?
a) cos x = -3� /2. Vrai.
b) cos x = 3� /2.
c ) x=𝜋 /6.
d) x= -𝜋 /6.
𝑥 ∈ [𝜋 /2 ; 3𝜋 /2], alors cos x < 0.
cos2 x = 1-sin2x = 1-0,52 = 0,75 = 3 /4 ; cos x = -3� /2.

 3. Soit (O, I, J) un rep�re orthonorm� du plan.
Soit A et B deux points de coordonn�es respectives (3 ; 4) et (4 ; 0).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste ?

4.  Soit (O, I, J) un rep�re orthonorm� du plan.
Soit d une droite dont une �quation cart�sienne est : 3𝑥+2𝑦−10=0 .
Une �quation cart�sienne de la droite d’ perpendiculaire � la droite d et passant par le point A de coordonn�es (1 ; 2) est :
 A : 3𝑥+2𝑦−7=0
 B : 2𝑥+3𝑦−8=0
 C : 2𝑥−3𝑦+4=0. Vrai.
 D : 3𝑥−2𝑦+1=0.
Equation de la droite perpendiculaire : 2x-3y+c=0.
A(1 ; 2) appartient � la droite perpendiculaire.
2-3*2+c=0 ; c = 4.

 5. Soit (O, I, J) un rep�re orthonorm� du plan.
Soit A et B deux points de coordonn�es respectives (1 ; 2) et (5 ; -2).
Une �quation cart�sienne du cercle C de diam�tre [AB] est :
 A : 𝑥2+𝑦2−8𝑥−2𝑦+7=0
 B : (𝑥−1)2+(𝑦−2)2=32
 C : 𝑥2+𝑦2−4𝑥+2𝑦−5=0
 D : 𝑥2+𝑦2−6𝑥+1=0. Vrai.
Coordonn�es du centre du cercle : (xA+xB) / 2 ; (yA+yB) / 2 soit ( 3 ; 0).
AB2 =(5-1)2+(-2-2)2= 16+16=32=(2R)2 ; R2 = 8.
Equation du cercle : (x-3)2 +y2 =8 ; x2-6x+9+y2=8.

Sujet 62.
1. Soit 𝑐 un nombre r�el strictement sup�rieur � 1. Sur l’ensemble des nombres r�els, la fonction polyn�me 𝑓 d�finie par 𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥+𝑐.
a. change de signe exactement 2 fois
b. change de signe exactement une fois
c. est toujours positive. Vrai.
d. est toujours n�gative.
f '(x) = 2x+2 = 2(x+1).; f '(x) = 0 pour x = -1.
Ordonn�e du minimum : f(-1) = 1-2+c =c-1, positif.
La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses. f(x) > 0.
2. Si 𝑥 est un nombre r�el appartenant � l’intervalle [ − 𝜋 ; 0] tel que cos𝑥 = 3 / 5, alors sin𝑥 a pour valeur.
a) 0,8 ; b) -0,8 ; c) -0,4 ; d) on ne peut pas savoir.
Sur l’intervalle [ − 𝜋 ; 0] , sin x est n�gatif ou nul
sin2x = 1-cos2x = 1-0,62 =0,64 ; sin x = -0,8. R�ponse b.

3. Le quadrilat�re 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carr�. On a :

4. La droite d’�quation 2𝑥−𝑦+1=0 coupe l’axe des abscisses au point 𝐴 de coordonn�es :
a. 𝐴(0 ;1)
b. 𝐴(0,5 ;0)
c. 𝐴(0 ;− 1)
d. 𝐴(− 0,5 ;0). Vrai.
yA =0 ; 2xA-0+1=0 ; xA = -0,5.

 5. Pour tout r�el 𝑥, 𝑒𝑥 / e−𝑥 est �gal �
a. – 1
b. e−2𝑥
c. (e𝑥)2. Vrai.
d. e0.
ex *ex = e2x = (e𝑥)2.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 61.

Une balle en caoutchouc est l�ch�e sans vitesse initiale d’une hauteur de 2 m�tres au-dessus du sol.
Le choc n’�tant pas parfaitement �lastique, la balle rebondit jusqu’� une hauteur de 1,60 m�tre et continue � rebondir, en atteignant apr�s chaque rebond une hauteur �gale au 4 / 5 de la hauteur du rebond pr�c�dent.
On mod�lise les hauteurs atteintes par la balle par une suite (ℎ𝑛) o� pour tout entier naturel 𝑛, ℎ𝑛 est la hauteur, exprim�e en m�tres, atteinte par la balle au 𝑛-i�me rebond. On a alors ℎ0= 2.
1. a. Donner ℎ1 et ℎ2 .
h1 =2 x4 /5 =1,6 ; h2 =1,6 x4 /5 =1,28.
b. Pour tout entier naturel 𝑛, exprimer ℎ𝑛+1 en fonction de ℎ𝑛.
hn+1=4 /5 hn =0,8 hn.
c. En d�duire la nature de la suite (ℎ𝑛). On pr�cisera sa raison et son premier terme.
Suite g�om�trique de premier terme 2 et de raison 0,8.
d. D�terminer le sens de variation de la suite (ℎ𝑛).
La raison �tant comprise entre ]0 ; 1[ et u0 > 0, la suite est d�croissante.
2. D�terminer le nombre minimal 𝑁 de rebonds � partir duquel la hauteur atteinte par la balle est inf�rieure � 20 cm. Expliquer la d�marche employ�e.
hn = 2 *0,8n < 0,2 ; h10 = 2 *0,810 ~0,215 m = 21,5 cm.
h11 = 2 *0,811 ~0,172 m = 17,2 cm. N = 11 rebonds.


Sujet 62.
Un biologiste �tudie une population de bact�ries dans un milieu ferm�. � l’instant initial, il y a 10 000 bact�ries et la population augmente de 15% par heure.
On mod�lise la situation par une suite (𝑢𝑛) pour laquelle, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 repr�sente une estimation du nombre de bact�ries au bout de 𝑛 heures.
On a donc 𝑢0= 10 000.
1. Expliquer pourquoi la suite (𝑢𝑛) v�rifie pour tout entier naturel 𝑛 :
𝑢𝑛=10 000 � 1,15𝑛.
2. Quelle est la nature de la suite (𝑢𝑛). On pr�cisera le premier terme et la raison.
Il s'agit d'une suite g�om�trique de raison 1 +15 /100 = 1,15 et de premier terme 10 000.
3. Combien y aura-t-il de bact�ries au bout de 10 heures ?
u10 = 10 000 *1,1510 ~40 456.
4. On consid�re la fonction suivante d�finie en langage Python.
def bacteries(N) :
u=10000
for i in range(N) :
u=u*1.15
return u
On a appel� cette fonction en donnant diff�rentes valeurs au param�tre 𝑛 et l’on a dress� le tableau suivant.
n
 10
 100
 1000
 10 000
bact�ries (n)
 40 455
 1,2 1010
 4,99 1064 3,052 10307

Quelle interpr�tation peut-on donner de ces r�sultats dans le contexte de l’exercice ?
Le nombre de bact�ries semble tendre vers m'infini quand le nombre d'heures devient tr�s grand.
5. Lorsque la population atteint 200 000 bact�ries, le biologiste r�pand un d�sinfectant afin de tester son efficacit�. Une heure plus tard, il reste 4 000 bact�ries. Quel est le pourcentage de diminution du nombre de bact�ries?
(200 000 -4000) / 200 000 = 0,98  (98 %).

Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 61.
Un restaurant propose � sa carte deux types de dessert : un assortiment de macarons et une part de tarte tatin. Des �tudes statistiques montrent que :
 l’assortiment de macarons est choisi par 50 % des clients ;
 la part de tarte tatin, est choisie par 30 % des clients ;
 20 % des clients ne prennent pas de dessert ;
 aucun client ne prend plusieurs desserts.
Le restaurateur a remarqu� que :
 parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80 % prennent un caf� ;
 parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, 60 % prennent un caf� ;
 parmi les clients n’ayant pas pris de dessert, 90 % prennent un caf�.
On interroge au hasard un client de ce restaurant.
On note les �v�nements suivants :
 M : � Le client prend un assortiment de macarons � ;
 T : � Le client prend une part de tarte tatin � ;
 P : � Le client ne prend pas de dessert � ;
 C : � Le client prend un caf� � et C̅ l’�v�nement contraire de C.
1. En utilisant les donn�es de l’�nonc�, pr�ciser la valeur de 𝑃(T) probabilit� de T et celle de 𝑃T(C) probabilit� de l’�v�nement C sachant que T est r�alis�.
p(T) =0,3 ; 𝑃T(C)= 0,6.
2. Recopier et compl�ter l’arbre ci-dessous :

3. a. Exprimer par une phrase ce que repr�sente l’�v�nement M∩C puis calculer 𝑃(M∩C).
Le client prend des macarons et un caf�. 𝑃(M∩C) = 0,8 *0,5 = 0,4.
b. Montrer que 𝑃(C)=0,76.
4. Quelle est la probabilit� que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu’il prend un caf�? (On donnera le r�sultat arrondi au centi�me).
PC(M) =𝑃(M∩C) / P(C) =0,4 / 0,76 ~053.

Sujet 62.

Claire joue r�guli�rement � un jeu de simulation de tournois de judo en ligne. Les adversaires qu’elle combat sont g�n�r�s automatiquement de mani�re al�atoire selon le niveau atteint dans le jeu.
Elle a atteint le niveau le plus �lev�, celui de la ceinture noire. Les scores relev�s par le jeu montrent qu’elle gagne dans 45% des cas si son adversaire est ceinture noire et dans 70% si son adversaire n’est pas ceinture noire.
Claire commence un tournoi et un premier adversaire est g�n�r� par le jeu. A ce niveau la probabilit� d’affronter un adversaire ayant une ceinture noire est 0,6.
On note :
- N l’�v�nement : � l’adversaire est ceinture noire � ;
- G l’�v�nement : � Claire gagne le combat �.
1. Recopier et compl�ter l’arbre pond�r� ci-dessous mod�lisant cette situation.

2. Calculer la probabilit� que l’adversaire soit ceinture noire et que Claire gagne son tournoi.
0,6 * 0,45=0,27.
3. Montrer que la probabilit� que Claire gagne son combat est 0,55.
0,28 +0,27 = 0,55.
4. Claire vient de perdre un combat. Quelle est la probabilit� que le combat ait �t� contre une ceinture noire ?
Probabilit� de perdre le combat : 1-0,55 = 0,45.
Probabilit� de perdre contre une ceinture noire : 0,33 / 0,45 =33 / 45 =11 / 15.
5. On consid�re dans cette question que la probabilit� que Claire gagne est 0,55. Elle fait deux combats successifs.
On note 𝑋 la variable qui compte le nombre de victoires. Donner la loi de probabilit� de 𝑋.
Nombre de combats gagn�s
 2
 1
 0
Probabilit�
 0,55 *0,55 =0,3025
 1-(0,3025+0,2025)=0,495
 0,45*0,45=0,2025
.



Exercice 4. ( 5 points) Sujet 61.

Une entreprise vend des smartphones d’un seul mod�le � haut de gamme �.
Le service marketing mod�lise le nombre de smartphones mod�le � haut de gamme � vendus par trimestre en fonction du prix de vente 𝑥 par la fonction 𝑁 d�finie par
𝑁(𝑥)= 100e−2𝑥 o� :
 𝑥 est le prix de vente en milliers d’euros d’un smartphone mod�le � haut de gamme �. Le prix du smartphone mod�le � haut de gamme � est compris entre 400€ et 2000€ ; on a donc 𝑥∈[0,4 ; 2].
 𝑁(𝑥) est le nombre de smartphones mod�le � haut de gamme � vendus trimestriellement en millions d’unit�s.
1. Si le service commercial fixe le prix de vente de ce smartphone mod�le � haut de gamme � � 1000 €, quel sera le nombre de smartphones vendus trimestriellement ? On arrondira le r�sultat � mille unit�s.
N(1)=100 *e-2=13,534.
La recette trimestrielle 𝑅(𝑥) est obtenue en multipliant le nombre de smartphones mod�le � haut de gamme � vendus par le prix de vente. On obtient 𝑅(𝑥)=𝑥�𝑁(𝑥) en milliards d’euros.
Le co�t de production en milliards d’euros en fonction du nombre de smartphones mod�le � haut de gamme � fabriqu�s est mod�lis� par la fonction 𝐶 d�finie par 𝐶(𝑥) = 0,4 �𝑁(𝑥) o� 𝑥 est le prix de vente en milliers d’euros.
Le b�n�fice est obtenu en calculant la diff�rence entre la recette et le co�t de production.
2. V�rifier que le b�n�fice trimestriel peut �tre estim� � 8,120 milliards d’euros pour un prix de vente 1000 €.
R(1) =13,534. C(1)=0,4*13,534 =5,413. B�n�fice trimestriel : 13,534 - 5,413 =8,121.
3. Montrer que le b�n�fice trimestriel s’exprime en milliards d’euros en fonction du prix de vente 𝑥 en milliers d’euros par : 𝐵(𝑥)=(100𝑥 – 40) e−2𝑥 .
R(x) = x N(x) ; C(x) = 0,4 N(x) ; B(x) =x N(x) -0,4 * N(x) =(x-0,4)N(x) = (x-0,4 )*100e-2x = (100𝑥 – 40) e−2𝑥 .
4. On admet que pour tout r�el 𝑥∈[0,4 ; 2],𝐵′(𝑥)=(180−200𝑥 )e−2𝑥.
�tudier les variations de la fonction 𝐵 sur l’intervalle [0,4 ; 2].
e-2x �tant positif, le signe de B'(x) est celui de 180-200x.
B'(x) = 0 pour x = 0,9.
Si x < 0,9, B'(x) >0 et B(x) est croissante.
Si x > 0,9, B'(x) < 0 et B(x) est d�croissante.
Si x = 0,9, le b�n�fice est maximum.
5. � quel prix faut-il vendre ces smartphones pour assurer un b�n�fice maximal ?
Le b�n�fice est maximum pour un prix de vente de 900 €.
Sujet 62.
On mod�lise la valeur de vente (en milliers d’euros) d’une voiture �lectrique en fonction du nombre 𝑥 d’ann�es � partir de sa mise sur le march� par la fonction 𝑓 d�finie sur l’intervalle [0 ; 10] par 𝑓(𝑥)=35e−0,22𝑥.
1. Calculer 𝑓(0). Quel est le prix de vente de cette voiture au moment de la mise sur le march� ?
f(0)= 35 milliers d'euros.
2. Donner une valeur approch�e du prix de vente au bout de 5 ans et 6 mois.
f(5,5)=35 e-0,22 *5,5 ~10,44 milliers d'euros.
3. On admet que la fonction 𝑓 est d�rivable et on note 𝑓’ sa fonction d�riv�e. Montrer que pour tout 𝑥 appartenant � [0 ; 10],
𝑓′(𝑥)=− 7,7e−0,22𝑥.
f '(x) = 35 *(-0,22) e-0,22x=− 7,7e−0,22𝑥.
4. Dresser le tableau de variation de la fonction 𝑓.
e-0,22x �tant positif, f '(x) est toujours n�gative et f(x) est strictement d�croissante.

5. Un client souhaite revendre sa voiture d�s que celle-ci aura un prix de vente inf�rieur � 10 000 euros. Apr�s combien de mois apr�s avoir achet� sa voiture pourra-t-il la revendre ?
35 e-0,22x < 10 ; e-0,22x < 10 /35 ; -0,22 x < ln(10/35) ; -0,22x < -1,253 ; x > 1,253 / 0,22 ; x ~5,7 ans soit 5 ans et 9 mois.


  

menu