Math�matiques,
QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.
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Sujet 63
Exercice 1.
( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e).
1. Une fonction du second degr� 𝑓 a pour forme canonique valable pour tout r�el 𝑥 :
𝑓(𝑥)=3(𝑥+2)�+5.
Concernant son discriminant :
a) on peut dire qu’il est nul
b) on peut dire qu’il est strictement positif
c) on peut dire qu’il est strictement n�gatif. Vrai.
d) on ne peut rien dire sur son signe.
Pour tout x r�el f(x) > 5. La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses ; le discriminant est n�gatif.
2. Un vecteur directeur de la droite d’�quation 2𝑥+3𝑦+5=0 est :
a) 𝑢⃗ (2 ; 3)
b) 𝑢⃗ (−3 ; 2). Vrai.
c) 𝑢⃗ (3 ; 2)
d) 𝑢⃗ (−2 ; 3)
3. Dans un rep�re orthonorm� du plan, on consid�re les points A(3;−1), B( 4 ;2) et C (1 ;1).
Le produit scalaire suivantest �gal � :
a) −4 ; b) 2 ; c) 4 vrai ; d) 8.
4. Soit 𝑔 la fonction d�finie sur l’ensemble des nombres r�els par 𝑔(𝑥)=(2𝑥+1)e𝑥.
Pour tout r�el 𝑥, 𝑔′(𝑥) est �gal � :
a) 2e𝑥.
b) 2𝑥e𝑥.
c) (2𝑥+2)e𝑥.
d) (2𝑥+3)e𝑥. Vrai.
On pose u = 2x+1 et v = ex ; u' =2 ; v' = ex ; u'v+v'u=2ex +(2x+1)ex =(2x+3)ex .
5. Pour tout r�el 𝑥, sin(𝑥 + 𝜋 ) est �gal � :
a) cos 𝑥
b) sin 𝑥
c) −cos 𝑥
d) −sin 𝑥. Vrai.
Sujet 64....
1. On donne ci-contre la courbe repr�sentative 𝐶𝑓 d’une fonction 𝑓.
Cette courbe a une tangente 𝑇 au point 𝐴(−3 ;3).
L’�quation r�duite de cette tangente est :
a) y = 0,2x-3,7 ; b)y=0,2x+18 ; c) y = 5x+18 vrai ; d) y = 5x-3,7.
Coefficient directeur de la tangente : 5.
Equation de la tangente en A : y = 5x+b.
A ( -3; 3) appartient � la tangente : 3 = 5*(-3) +b ; b = 18.
2. On reprend la fonction 𝑓 de la question pr�c�dente. La repr�sentation graphique de sa fonction d�riv�e est :
 R�ponse b.
f est d�croissante entre -2 et +2 ; f ' est n�gative sur [-2 ; 2].
3. L’expression cos(𝑥+𝜋)+sin(𝑥+𝜋/2) est �gale � :
a) −2cos(𝑥)
b) 0. Vrai.
c) cos(𝑥)+sin (𝑥)
d) 2cos(𝑥)
cos(𝑥+𝜋) = - cos (x) ; sin(𝑥+𝜋/2) = cos (x).
4. On consid�re la fonction polyn�me du second degr� f d�finie sur ℝ par
𝑓 (𝑥)= −2𝑥2+4𝑥+6.
Cette fonction est strictement positive sur l’intervalle :
a) ]−∞;−1[ ∪ ]3;+∞[
b) ]−1 ;3[ vrai.
c) ]−∞;−3[ ∪ ]1;+∞[
d) ]−3 ;1[.
Solutions de −2𝑥2+4𝑥+6=0 ; D =42-4*6*(-2) =64=82.
Solutions : x1 = (-4 +8) / (2*(-2))= -1 et x1 = (-4 -8) / (2*(-2))= 3. a �tant n�gatif, la parabole pr�sente un maximum.
5. On consid�re la fonction ℎ d�finie sur ℝ par ℎ(𝑥)= (2𝑥−1)𝑒𝑥.
La fonction d�riv�e de la fonction ℎ est d�finie sur ℝ par :
a) ℎ’(𝑥)= 2𝑒𝑥.
b) ℎ’(𝑥)= (2𝑥+1)𝑒𝑥. Vrai.
c) ℎ’(𝑥)= (2𝑥−1)𝑒𝑥.
d) ℎ’(𝑥)= −𝑒𝑥.
On pose u = (2x-1) et v = 𝑒𝑥 ; u' = 2 ; v' = 𝑒𝑥.
u'v+v'u = 2𝑒𝑥+(2x-1)𝑒𝑥 =(2x+1)𝑒𝑥.
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Exercice 2. ( 5
points) Sujet 63. Durant
l’�t�, une piscine ext�rieure perd chaque semaine 4 % de son volume
d’eau par �vaporation. On �tudie ici un bassin qui contient 80 m3 apr�s son remplissage.
1. Montrer par un calcul que ce bassin contient 76,8 m3 d’eau une semaine apr�s son remplissage.
80 (1-0,04) = 80 *0,96 =76,8 m3.
2. On ne rajoute
pas d’eau dans le bassin et l’eau continue � s’�vaporer. On mod�lise le
volume d’eau contenue dans la piscine par une suite (𝑉𝑛) : pour tout entier naturel 𝑛, on note 𝑉𝑛 la quantit� d'eau en m3 contenue dans la piscine 𝑛 semaines apr�s son remplissage. Ainsi 𝑉0=80.
a. Justifier que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑉𝑛+1= 0,96 𝑉𝑛 et pr�ciser la nature de la suite (𝑉𝑛) ainsi d�finie.
La suite est g�om�trique de raison 1-4/100=0,96 et de premier terme 80.
b. Donner une expression de 𝑉𝑛 en fonction de 𝑛.
Vn = 80 *0,96n.
c. Quelle quantit� d’eau contient le bassin au bout de 7 semaines ?
v7 = 80 *0,967 ~60,1 m3.
3. Pour compenser en partie les pertes d’eau provoqu�es par l’�vaporation, on d�cide de rajouter 2 m3
d’eau chaque semaine dans le bassin. On souhaite d�terminer au bout de
combien de semaines, le volume d’eau contenu dans la piscine devient
inf�rieur � 70 m3.
Compl�ter la fonction Python suivante afin que l’appel nombreJour(70)
renvoie le nombre de semaines � partir duquel le volume d’eau de la
piscine sera inf�rieur � 70 m3.
def nombreJour(U) :
N=0
V=80
while V >= 70 :
N=N+1
V=0,96*V
return N
Sujet 64.
Un
globe-trotter a comme objectif de parcourir 2000 km � pied. Il peut
parcourir 50 km en une journ�e, mais, la fatigue s'accumulant, la
distance qu'il parcourt diminue de 2% chaque nouvelle journ�e.
On note la distance 𝐷𝑛 la distance parcourue durant le 𝑛-i�me jour.
Le premier jour de son p�riple, il parcourt donc 𝐷1= 50 km.
1. Calculer la distance parcourue le deuxi�me jour.
D2 = 50 (1-2 /100) = 50 *0,98 =49 km.
2. Quelle est la nature de la suite (𝐷𝑛) ? Donnez ses �l�ments caract�ristiques.
Suite g�om�trique de raison 0,98 et de premier terme 50.
3. Pour tout entier naturel 𝑛≥1, d�terminer l'expression de 𝐷𝑛 en fonction de 𝑛.
Dn = 50 *0,98n.
4. Pour calculer le
nombre de jours qu’il faudra au globe-trotter pour atteindre son
objectif, on a �crit le programme Python suivant :
Compl�ter les deux lignes incompl�tes de ce programme.
def nb_jours:
j=1
u=50
S=50
while S < 2000:
u=0.98*u
S=S+u
j= j+1
return j
5. � l’aide de l’extrait de tableur ci-contre, d�terminer quand le globe-trotter aura atteint son objectif.
j = 80 jours.
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Exercice 3. ( 5 points).
Sujet 63.
Une petite entreprise de textile commercialise des nappes et des lots de serviettes assorties.
Un client ach�te au plus une nappe et au plus un lot de serviettes.
En consultant le fichier des ventes de l’entreprise, on constate que :
20% des clients ach�tent une nappe ;
Parmi les clients ayant achet� une nappe, 70 % ont achet� un lot de serviettes ;
Parmi les clients n’ayant pas achet� de nappe, 10 % ont tout de m�me achet� un lot de serviettes.
On choisit au hasard un client de cette entreprise.
Pour tout �v�nement 𝐴, on note 𝐴̅ l’�v�nement contraire de 𝐴 et 𝑃(𝐴) la probabilit� de l’�v�nement 𝐴.
On note les �v�nements suivants :
𝑁 � le client ach�te une nappe � ;
𝑆 � le client ach�te un lot de serviettes �.
1. Reproduire sur la copie et compl�ter l’arbre pond�r� ci-dessous d�crivant la situation.
2. Calculer la probabilit� que le client ach�te une nappe et un lot de serviettes.
0,2 *0,7 = 0,14.
3. Montrer que la probabilit� de l'�v�nement 𝑆 est �gale � 0,22.
0,14 +0,08 = 0,22.
4. Calculer la probabilit� que le client ach�te une nappe sachant qu’il a achet� une serviette.
PS(N) = P(N n S)) / P(S) =0,14 / 0,22 = 14 / 22 = 7 /11.
5. Une nappe est
vendue 45 € et un lot de serviettes 25 €. On appelle 𝐷 la variable
al�atoire donnant la d�pense effectu�e par un client.
Calculer l'esp�rance math�matique de 𝐷 et donner une interpr�tation de ce nombre dans le contexte de l’exercice.
valeurs de D
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70
|
45
|
25
|
0
|
probabilit�
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0,14
|
0,06
|
0,08
|
0,72
|
Esp�rance : 70 *0,14 +45 *0,06 +25*0,08 =9,8 +2,7+2 =14,5.
La d�pense moyenne d'un client est de 14,5 €.
Sujet 64.
Soit (𝑂,𝑖⃗,𝑗⃗) un rep�re orthonorm�.
On consid�re le cercle 𝒞 de centre 𝐴(2 ;5) et de rayon 5
1. Montrer qu'une �quation du cercle 𝒞 est : 𝑥�+𝑦�−4𝑥−10𝑦=−4.
(x-xA)2 +(y-yA)2= 52 ; (x-2)2 +(y-5)2= 25.
x2-4x+4+y2-10y+25=25 ; x2-4x+y2-10y=-4.
2. V�rifier que le point 𝐵(5;9) appartient � ce cercle.
(5-2)2+(9-5)2=9+16=25.
B appartient donc � ce cercle.
3. Que peut-on dire de la tangente au cercle au point 𝐵 et de la droite (𝐴𝐵) ?
La tangente au cercle en B est perpendiculaire au rayon AB du cercle.
4. D�terminer une �quation de la tangente au cercle au point 𝐵.
Coefficient directeur de la droite (AB) : (yB-yA) / (xB-xA) =4 / 3.
Equation r�duite de cette droite ; y = 4x / 3 +b.
A(2 ; 5) appartient � cette droite : 5=4*2/3+b ; b = 7 /3.
Equation cart�sienne de (AB) : 4x-3y+7=0.
Equation cart�sienne de la tangente au cercle en B : 3x+4y+c=0.
B( 5 ; 9) appartient � la tangente : 3*5+4*9+c=0 ; c= -51.
Equation cart�sienne de la tangente au cercle en B : 3x+4y-51=0.
5. Calculer les coordonn�es des points d’intersection du cercle 𝒞 avec l'axe des ordonn�es.
Equation du cercle : x2-4x+y2-10y=-4.
Equation de l'axe des ordonn�es : x = 0.
Par suite : y2-10y+4=0.
Solutions de cette �quation : discriminant D = (-10)2 -4*4*1 =84= 4 *21 = (2*21�)2.
y1 =(10-2*21�) / 2=5-21� ; y2 = 5+21�.
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Exercice 4. ( 5 points) Sujet 63. On consid�re la fonction 𝑃 d�finie sur l’intervalle [0 ;5] par 𝑃(𝑡)= 100 𝑡 e−𝑡.
1. Calculer 𝑃(0) et 𝑃(5) (on arrondira � l’unit�).
P(0) = 0 ; P(5) =500 e-5 ~3.
2. � l’aide d’un
logiciel de calcul formel, on a obtenu une expression de la d�riv�e de
la fonction 𝑃 : pour tout r�el 𝑡 de l’intervalle [0 ;5],
𝑃′(𝑡)=100(1−𝑡)e−𝑡.
a. Utiliser cette expression pour �tudier le signe de 𝑃′(𝑡) sur l’intervalle [0 ; 5].
e-t est positif.
Si t < 1, P'(t) >0 ; si t appartient � [1 ; 5], P'(t) < 0. si t = 1, P'(t) =0.
b. En d�duire le tableau de variations de la fonction 𝑃 sur l’intervalle [0 ;5].
c. Pour quelle valeur de 𝑡 la fonction 𝑃 admet-elle un maximum ? Quelle est la valeur de ce maximum ? (on arrondira � l’unit�).
Pour t =1; P(t) admet un maximum proche de 37.
3. Une station
pompe l’eau d’une rivi�re pour la transformer ensuite en eau potable.
Lors d’un �pisode de pollution, il faut interrompre le pompage en
attendant que la vague de pollution soit �vacu�e par le courant. On
�tudie ici un �pisode de pollution ayant dur� 5 heures environ.
La concentration en polluant, exprim�e en milligrammes par litre (mg/L)
est mod�lis�e par la fonction 𝑃 d�finie pr�c�demment, o� 𝑡 est le
temps �coul� depuis le d�but de l’alerte, exprim� en heures.
On donne ci-dessous la repr�sentation graphique de la fonction 𝑃 dans le plan muni d’un rep�re orthogonal.
Les normes en vigueur indiquent que ce polluant devient dangereux pour la sant� si sa concentration d�passe 5 mg/L.
Lors d’un �pisode d�clar� de pollution dans la rivi�re et apr�s arr�t
du pompage, � partir de combien d’heures peut-on consid�rer que la
pollution ne repr�sente plus de danger pour la sant�?
100 𝑡 e−𝑡 < 5 ; t > 4,5 heures.
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Sujet 64.
Lors
des journ�es class�es � rouges � selon Bison Fut�, l’autoroute qui
relie Paris � Limoges en passant par Orl�ans est surcharg�e.
Lors de ces journ�es class�es � rouges �, on a pu observer le
comportement des automobilistes faisant le trajet de Paris � Limoges en
passant par Orl�ans.
Pour le trajet de Paris � Orl�ans, 30 % d’entre eux prennent la route nationale, les autres prennent l’autoroute.
Pour le trajet d’Orl�ans � Limoges :
- parmi les automobilistes ayant pris la route nationale entre Paris et
Orl�ans, 40 % prennent la route d�partementale, les autres prennent
l’autoroute ;
- parmi les automobilistes n’ayant pas pris la route nationale entre
Paris et Orl�ans, 45 % prennent la route d�partementale , les autres
prennent l’autoroute.
On choisit un automobiliste au hasard parmi ceux effectuant, en journ�e
class�e rouge, le trajet Paris – Limoges en passant par Orl�ans.
On note 𝑁 l’�v�nement � l’automobiliste prend la route nationale entre Paris et Orl�ans �
et 𝐷 l’�v�nement � l’automobiliste prend la route d�partementale entre Orl�ans et Limoges �.
Si 𝐴 est un �v�nement, on note 𝐴̅ l’�v�nement contraire de 𝐴.
1. Recopier sur la copie et compl�ter l’arbre ci-dessous.
2. Calculer 𝑃(𝑁̅∩𝐷̅) et interpr�ter le r�sultat.
L'automobiliste prend uniquement les autoroutes. 𝑃(𝑁̅∩𝐷̅) =0,7 *0,55 = 0,385.
3. Montrer que la probabilit� que l’automobiliste ne choisisse pas la Route D�partementale entre Orl�ans et Limoges est 0,565.
0,18 +0,385 = 0,565.
Lors de ces journ�es class�es � rouges �, on donne les temps de parcours suivants :
Paris – Orl�ans, par autoroute : 3 heures ;
Paris – Orl�ans, par nationale : 2 heures ;
Orl�ans – Limoges, par autoroute : 4 heures ;
Orl�ans – Limoges, par d�partementale : 3 heures et demie.
4. Recopier et compl�ter le tableau ci-dessous, qui donne pour chaque trajet, le temps en heure et la probabilit� :
| �v�nement |
𝑁∩𝐷 |
𝑁 ∩𝐷̅ |
𝑁̅ ∩𝐷 |
𝑁̅ ∩𝐷̅ |
temps ( heures)
|
5,5
|
6
|
6,5
|
7
|
probabilit�
|
0,12
|
0,18
|
0,315
|
0,385
|
5. Calculer l’esp�rance de la variable al�atoire qui donne la dur�e du trajet en heure et en donner une interpr�tation.
Esp�rance : 5,5 *0,12 +6 *0,18 +6,5 *0,315 +7 *0,385 =0,66+1,08+2,0475+2,695=6,4825.
La dur�e moyenne du trajet est environ 6,5 heures.
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