Sp�cialit� Math�matiques, classe de premi�re 2021.

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Exercice 1.
On place un grain de riz sur la premi�re case du jeu d'�chec, puis  deux grains sur la case suivante, puis 4 grains sur la troisi�me case et anisi de suite, en doublant le nombre de grains de riz entre une case  et la suivante, et ce jusqu'�  la 64� case. On note u1 le nombre de grains de riz pr�sents sur la premi�re case, u2 le nombre de grains de riz sur la deuxi�me case et ainsi de suite.
1. D�terminer u1, u2, u3, u4 et u5.
u1 = 1 ; u2 = 2 ; u3 = 4 ; u4 = 8 ; u5 = 16.
2. Exprimer un+1 en fonction de un.
 un+1 = 2 un.
3. En d�duire la nature de la suite (un) et en pr�ciser les �l�ments caract�ristiques. Exprimer un en fonction de n.
Suite g�om�trique de premier terme u1 = 1 et de raison q = 2.
un = 2n-1.
 4. Calculer le nombre de grains de riz dispos�s sur le plateau.
Somme des 64 premiers termes de cette suite : (1-q64) / (1-q) =264-1 = 18 446 744 073 709 551 615.
 5. On veut �crire une fonction en langage Python qui d�termine � partir de quelle case on disposera  d'au moins R grains de riz. Compl�ter cette fonction.

Exercice 2.
Une urne contient six jetons rouges dont un est marqu� "gagnant" et 4 jetons verts dont trois sont marqu�s " gagnant". On tire au hasard un jeton dans l'urne et on note les �v�nements suivants :
R : le jeton tir� est rouge.
V : le jeton tir� est vert.
G : le jeton est gagnant.
1. Mod�liser la situation � l'aide d'un arbre de probabilit�.

2. Calculer la probabilit� de l'�v�nement " le jeton tir� est vert et il est marqu� gagnant".
0,4 x0,75 = 0,3.
3. Soit P(G) la probabilit� de tirer un jeton gagnant. Montrer que P(G) = 2 /5.
4. Sachant que le jeton tir� est gagnant, calculer la probabilit� qu'il soit rouge.
PG(R) = P(G n R) / P(G) = 0,1 / 0,4 = 0,25.
5. On tire maintenant, toujours au hasard et simultan�ment, deux jetons dans l'urne. Calculer la probabilit� que les deux jetons soient marqu�s gagnant. Expliquer votre d�marche.
Il a C210 =10 x9 / 2 = 45 fa�ons de tirer deux jetons.
Il a C24 =4 x3 / 2 = 6 fa�ons de tirer deux jetons gagnants.
Il y a �quiprobabilit� ; la probabilit� de tirer deux jetons gagnants est donc : 6 / 45 = 2 /15.

Exercice 3.
On consid�re la fonction f d�finie sur R par f(x) = x3+7x2+11x-19. On note C sa courbe repr�sentative.
1.  D�terminer l'expression de sa d�riv�e not�e f '(x)..
f '(x) = 3x2+14x+11.
 2. R�soudre dans R 3x2+14x+11 >0 et en d�duire le tableau de variation de f(x).
3x2+14x+11 =0; discriminant D = 142-4 *3*11 =64 = 82.
Solutions : x = (-14+8) / 6 = -1 et x = (-14-8) / 6 = -11 /3.
a =3 positif, le signe de 3x2+14x+11 est positif en dehors des racines.
]-oo ; -11/3[ union }-1 ; +oo[.

 3. D�terminer l'�quation r�duite de la tangente � la courbe C en x=0.
Coefficient directeur de la tangente  f '(0) = 11.
Equation de la tangente y = 11 x+b.
Le point de coordonn�es (0 ; -19) appartient � la tangente : -19 =b ; y = 11x -19.
4. Justifier que 1 est solution de x3+7x2+11x-19 =0. V�rifier que f(x) = (x-1) (x2+8x+19).
13 +7*12+11*1-19 =1 +7+11-19 = 0.
 (x-1) (x2+8x+19) = x3+8x2+19x-x2-8x-19 =x3+7x2+11x-19 =f'x).
5. Etudier le signe de la fonction f et en dresser le tableau de signes sur R.
x2+8x+19 =0 ; discriminant D =82-4*19 = -12. ( pas de solutions r�elles).
a = 1 positif, x2+8x+19 >0.
f est du signe de x-1.

Exercice 4.
Dans un rep�re orthonorm�, on consid�re les points A(3 ; 1), B(-3 ; 3) et C(2 ; 4).
1. Montrer que l'�quation x+3y-6=0 est une �quation cart�sienne de la droite (AB).
A appartient � la droite (AB) : xA+3yA-6 =0 ; 3+3-6= est v�rifi�.
B appartient � la droite (AB) : xB+3yB-6 =0 ; -3+3*3-6= est v�rifi�.
L'�quation x+3y-6=0 est donc une �quation cart�sienne de la droite (AB).
2. D�terminer une �quation cart�sienne de la droite d, perpendiculaire � la droite (AB) et passant par C.
Equation cart�sienne de la droite d, perpendiculaire � la droite (AB) : -3x+y+c=0.
C appartient � la droite d : -3xC+yC+c=0 ;
-3*2+4+c = 0 ; c = 2.
Equation cart�sienne de la droite d : -3x+y+2=0.
3. En d�duire les coordonn�es du point K, projet� orthogonal du point C sur la droite (AB).
K appartient � la droite (AB) et � la droite d. K est l'intersection de  ces deux droites.
xK+3yK-6=0 et -3xK+yK+2=0.
xK= -3yK+6 ; -3 (-3yK+6 )+yK+2=0.
10yK-16=0 ; yK = 1,6.
Par suite xK =-3*1,6+6=1,2.
K(1,2 ; 1,6).
 4. Calculer la distance AB et d�terminer les coordonn�es du milieu M du segment [AB].
AB2 =(xB-xA)2+(yB-yA)2 = 36+4=40 ; AB = 2 x10�.
xM =(xB+xA)  /2 =(3-3) / 2 = 0 ; yM =(yB+yA)  /2 =(3+1) / 2 = 2. M( 0 ; 2).
5. En d�duire une �quation du cercle de diam�tre (AB].
M est le centre du cercle et son rayon vaut AB / 2 = 10�.
Equation de ce cercle : (y-2)2 + x2 = 10.

 


  

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