Sp�cialit� Math�matiques, classe de premi�re 2021.

Exercice 1. QCM.
1. Soit f la fonction d�finie sur R par f(x) =x²+x+1.
Sa fonction d�riv�e f '(x) est donn�e par :
f '(x) = x+1 ; f '(x) =2x+1 vrai ; f '(x) =2x ; f '(x) = 2x²+x.

2.La somme 1 +2+2² +2³ +...+2¹⁰ est �gale � :
2¹⁰-1 ; 2¹⁰ ; 2¹¹-1 vrai ; 2¹¹.
Somme des onze premiers termes d'une suite g�om�trique de premier terme 1 et de raison 2.
S = 1 *(2¹¹-1) /(2-1) = 2¹¹-1.

3. On consid�re l'�quation x²+2x-8=0. On note S la somme de ces racines et P leur produit.
Quelle affirmation est vraie ?
S=2 et P = -8 ; S = -2 et P =-8 vrai ; S =-2 et P = 8 ; S = 2 et P = 8.
S = -b / a = -2 /1 = -2 ; P = c /a = -8 /1 = -8.

4. On d�signe par C le cercle trigonom�trique. Soit x un r�el strictement positif et M le point C associ� au r�el x.

Alors le point M', sym�trique de M par rapport � O, est associ� au r�el :
-x ; p+x vrai ; p-x ; -p-x.
M et M' �tant diam�tralement oppos�s, la diff�rence des r�les qui leurs sont associ�s est �gale � p.

5. Parmi les �galit�s suivantes, laquelle est vraie pour tout r�el x ?
cos(x+2p) = cos (x) vrai.
sin(-x) = sin (x) ; cos(-x) = - cos(x) ; cos²(x) + sin²(x) = 2.

Exercice 2.
Soit f la fonction d�finie sur R par f(x) = (2x+1)e^x. Sur le graphique, sont repr�sent�es la courbe C repr�sentative de la fonction f, et la droite T, tangente � C en x = 0.

1. D�terminer les coordonn�es d'�ventuels points d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses.
Il faut r�soudre l'�quation f(x) = (2x+1)e^x =0.
e^x est strictement positif.
2x+1=0 soit x = -�.
2. Montrer que f '(x) = (2x+3)e^x.
On pose u = 2x+1 et v = e^x ; u' = 2 ; v' = e^x.
u'v +v'u = 2e^x +(2x+1)e^x = (2x+3)e^x.
3. Dresser le tableau de signe de f '(x) puis pr�ciser les variations de f sur R..
e^x >0, f '(x) a le signe de 2x+3.

4. a. D�terminer l'�quation r�duite de la tangente T.
Coefficient directeur de la tangente T: f '(0) =3.
Equation de T : y = 3x+b.
Le point de coordonn�es (0 ; f(0) = 1) appartient � T : 1 = b ;
Equation r�duite de T : y = 3x+1.
4.b. Justifier graphiquement, que pour tout r�el x, on a : (2x+1)e^x > 3x+1.
D'apr�s le graphique, la courbe C d'�quation (2x+1)e^x est situ�e au dessus de la tangente T d'�quation y = 3x+1, sau f au point de tangence.
Donc (2x+1)e^x > 3x+1.

Exercice 3.
Dans une �cole, 40 % des �tudiants sont dans le cycle licence et 60 % dans le cycle de sp�cialisation.
Parmi les �tudiants de licence, 8 % sont dans le BDS ( bureau des sports).
Parmi les �tudiants de sp�cialisation, 10 % sont membres du BDS.
On consid�re un �tudiant de cette �cole, choisi au hasard, et les �v�nements suivants :
L : l'�tudiant est en licence.
B : l'�tudiant est membre du BDS.
Partie A.
1. Compl�ter l'arbre pond�r� repr�sentant la situation.
2. Calculer la probabilit� que l'�tudiant choisi soit en licence et membre du BDS.
3. Montrer que P(B) = 0,092.

Partie B.
Le BDS d�cide d'organiser une randonn�e. le prix est de 60 € pour les �tudiants ne faisant pas partie du BDS et 20 € pour les membres du BDS. On d�signe par X la variable al�atoire donnant la somme � payer pour un �tudiant qui d�sire faire la randonn�e.
1. Quelles sont les valeurs prises par X.
20 € et 60 €.3. Donner la loi de probabilit� de X et calculer l'esp�rance de X.

Valeurs de X	20	60
P(X)	0,092	1-0,092=0,908

Esp�rance E= 20 x0,092 +60 x0,908 =1,84 +54,48 =56,32 €.

Exercice 4.
Bob s'est fix� l'objectif de participer � un marathon. Il programme sa pr�paration :
20 km lors du premier entra�nement puis � chaque entra�nement suivant, il augmente sa distance de 5 %.
La distance parcourue est mod�lis�e par une suite (d_n) o� le nombre d_n d�signe la distance parcourue en km, lors de son n-i�me entra�nement. Ainsi d₁ = 20.
1. Calculer d₂ et v�rifier que d₃ = 22,05.
d₂ = d₁ +d₁ x0,05 = 1,05 d₁ = 1,05 x20 =21.
d₃ = 1,05 d₂ = 21 x1,05 =22,05.
2. Exprimer d_n+1 en fonction de d_n.
d_n+1 = 1,05 d_n.
3. Justifier que pour tout entier naturel n > 1, d_n = 20 x1,05^n-1.
(d_n) est une suite g�om�trique de premier terme d₁=20 et de raison 1,05.
d_n = 20 x1,05^n-1.
4. Quelle distance, arrondie � 1 m pr�s, va parcourir Bob lors de son 10^�me entra�nement ?
5. La courbe C et le droite D ont-elles un point commun ? Justifier.
d₁₀ =20 x1,05⁹ =31,027 km.
6. La distance � parcourir lors d'un marathon est de 42,195 km. Bob estime qu'il sera pr�t s'il parvient � courir au moins 43 km lors de ces entra�nenemts. Compl�ter le script suivant dont la valeur n, apr�s exc�cution du script, est le nombre minimal d'entra�nements permettant � Bob d'�tre pr�t.
n=1
d=20
while d < 43
n =n+1
d=1,05*d