Sp�cialit�
Math�matiques, classe de premi�re 2021.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres
d’int�r�ts.
|
|
Exercice 1. QCM.
1. Soit f la fonction d�finie sur R par f(x) =(x+1)ex.
Sa fonction d�riv�e f '(x) est donn�e par :
f '(x) = ex ; f '(x) =(x+2)ex vrai ; f '(x) = -xex ; f '(0) = 0.
On pose u = x+1 et v = ex ; u' = 1 ; v' = ex.
u'v+v'u =ex+(x+1)ex = (x+2)ex.
2.Pout tous r�els a et b, le nombre ea /e-b est �gal � :
ea-b ; e-a/b ; eb/e-a vrai ; ea-eb.
ea /e-b = ea x eb = ea+b ; eb/e-a =eb x ea = ea+b.
3. Soit (un) une suite arithm�tique telle que : u3 = 4,5 et u6 = 3. Alors le premier terme est u0 et la raison R sont :
u0=6 et R = -0,5 vrai ; u0=0,5 et R = 6 ; u0=6 et R = 0,5 ; u0=1,5 et R =0,5.
u4=u3+R ; u5=u4+R =u3+2R ; u6=u5+R =u3+3R ; R = (u6-u3) / 3 = (3-4,5) / 3= -0,5.
u1=u0+R ; u2=u1+R =u0+2R ; u3=u4+R =u0+3R ; u0 = u3-3R =4,5-3(*-0,5) =6.
4. On consid�re le programme ci-dessous :
s=0
for i in range(51) :
s = s+i
Quelle est le contenu de la variable s apr�s ex�cution du programme ?
51 : 1326 ; 1275 vrai ; 2500.
i prend toutes les valeurs enti�res entre 0 et 50.
s = 0 +1 +2 +...+50.
Somme des 51 premiers termes d'une suite arithm�tique de premier terme 0 et de raison 1 :
s = nombre de termes (premier terme + dernier terme) / 2 =51x(0+50) / 2 =1275.
5. La valeur exacte de la somme S = 1 +0,5 +0,52 +...+0,515 est :
1,750030518 ; 2-0,515 vrai ; 2-0,514 ; 1,999969482.
Somme des 16 premiers termes d'une suite g�om�trique de premier terme 1 et de raison 0,5.
S =(1-0,516) / (1-0,5) =2 (1-0,516)=2-0,515.
Exercice 2.
La courbe ci-dessous repr�sente la puissance en watt en fonction du temps d�velopp�e par un rameur d�butant.
A. R�pondre aux questions par lecture graphique.
1. Quelle est la puissance maximale ? 160 watts.
2. Pendant combien de temps la puissance reste-t-elle au dessus de 100 W ? 0,2 s.
B. Mod�lisation par une fonction.
On suppose que la courbe est mod�lis�e par f(x) =(-8x+32)ex sur [0,2 ; 4].
On admet que f '(x) = (-8x+24)ex.
1. Etudier le signe de f '(x) et en d�duire les variations de f(x).
ex >0 ; f '(x) a le signe de -8x+24 ;
f '(x) = 0 si x = 3 ; f '(x) < 0 si x appartient � ]3 ; 4] ; f '(x) >0 si x appartient � [0,3 ; 3[.
2. D�terminer la valeur exacte du maximum.
On suppose que le sportif am�liore sa meilleure performance de 5 % tous
les mois. Au bout de combien de mois d'entrainement d�passera
t-il 200 W ?
Suite g�om�trique de premier terme 160 et de raison 1,05.
un = 160 x1,05n =200 ; 1,05n =200 / 160 =1,25 ; n ln(1,05 ) = ln(1,25) ; n = ln(2) / ln(1,25) ~3,1 ( 4 mois).
|
Exercice 3.
Un
magasin commercialise des canap�s et des tables de salon. Quand un
client se pr�sente, il ach�te au plus un canap� et au plus une table de
salon. Une �tude a montr� que :
- la probabilit� qu'un client ach�te un canap� est 0,24 ;
- la probabilit� qu'un client ach�te une table de salon quand il a achet� un canap� est 0,25 ;
- la probabilit� pour qu'un client ach�te une table de salon quand il n'a pas achet� de canap� est 0,1.
On choisit un client au hasard et on note :
C l'�v�nement " le client ach�te une table de salon".
T l'�v�nement " le client ach�te une table de salon".
1. Construire l'arbre pond�r� repr�sentant la situation.
2. Calculer la probabilit� que le client ach�te un canap� et une table de salon.
3. Montrer que P(T) = 0,136.
4.
Le prix moyen d'un canap� est 1000 € et le prix moyen d'une table de
salon est 300 €. On note X la variable al�atoire correspondant � la
somme pay�e par le client.
Compl�ter le tableau donnant la loi de probabilit� de X.
xi
|
0
|
300
|
1000
|
1300
|
P(X=xi)
|
0,684
|
0,076
|
0,18
|
0,06
|
Calculer l'esp�rance de X. Interpr�ter.
E = 300 x0,076 +1000 x0,18 +1300 x 0,06 =22,8 +180 +78 =280,8.
Un client d�pense en moyenne 280,8 €.
Exercice 4.
Le plan est rapport� � un rep�re orthonorm� d'unit� 1 cm. On consid�re la droite D d'�quation x+3y-5=0.
1. Montrer que le point A( 2 ;1 ) appartient � la droite D. Tracer cette droite.
Si A appartient � la droite D, alors xA +3yA-5 =0.
2+3-5=0 est v�rifi� ; A appartient � la droite D.
2. Montrer que la droite D' passant par le point B( 4 ; 2) et perpendiculaire � la droite D, admet pour �quation 3x-y-10 =0.
D' est perpendiculaire � D, donc l'�quation de D' est : 3x-y+c=0.
B appartient � la droite D' : 3xB-yB+c=0.
3*4-2+c=0 ; c = -10.
Equation de D' : 3x-y-10=0.
3. Soit H le projet� orthogonal de B sur la droite D. D�terminer par calcul les coordonn�es de H.
H appartient � D : xH +3yH-5 =0 soit xH = -3yH+5.
H appartient � D' : 3xH-yH-10=0.
3(-3yH+5) -yH-10=0.
-10 yH +15-10 = 0 ; yH =0,5.
xH =-3*0,5 +5 = 3,5.
H(3,5 ; 0,5)
4. On consid�re le cercle de diam�tre (AB] et on note W son centre.
a. D�terminer une �quation du cercle ; pr�ciser son rayon et les coordonn�es de son centre.
Diam�tre [AB] : AB2 =(xB-xA)2+(yB-yA)2 = 22+12=5 ; AB = 5�.
Rayon R = 5� / 2 ; R2 = 5 /4.
Coordonn�es du centre W : (xA+xB) / 2 = 3 ; (yA+yB) / 2 = 1,5.
Equation du cercle : (x-3)2 +(y-1,5)2 =5 /4.
b. Le point H appartient-il au cercle ? Justifier.
Si H appartient � ce cercle : (xH-3)2 +(yH-1,5)2 =5 /4.
(0,5)2 +(-1)2 =1,25 est bien v�rifi�e, donc H appartient � ce cercle.
|
|
