Des instruments, des notes et des gammes, enseignement scientifique, classe de premi�re g�n�rale

Partie 1 : des instruments et des notes.
Les cordes d’un piano vibrent lorsqu’elles sont frapp�es par de petits marteaux actionn�s par les touches du clavier. Les sons produits par le piano r�sultent de ces vibrations.
1- Calculer la fr�quence associ�e au La4 situ�e une octave au-dessus du La3.
La fr�quence du La3 est f = 441 Hz.
La fr�quence du La4 est : 2f = 2 x441 = 882 Hz.
2- On s’int�resse aux sons produits par ce piano. Un syst�me d'acquisition informatis� permet l'enregistrement et la visualisation des signaux associ�s � ces sons.
Une graduation horizontale correspond � 1 ms.

2-a- Justifier que les figures 1 et 2 correspondent � deux notes diff�rentes.
2-b- Identifier les notes correspondantes aux figures 1 et 2.
Figure 1 : T = 11,5 / 3 10^-3 ~3,83 10^-3 s ; f = 1 /(3,83 10^-3) = 261 Hz ( Do3 : 262 Hz )
Figure 2 : T ' = 12,5 / 5 10^-3 ~2,5 10^-3 s ; f' = 1 /(2,5 10^-3) = 400 Hz ( sol3 : 393 Hz )

Partie 2 : des notes et des gammes.
La th�orie musicale �tant fond�e sur des rapports de fr�quences, on d�cide de simplifier les calculs en attribuant la valeur 1 (sans unit�) � une fr�quence choisie comme r�f�rence. Celle-ci correspond � une note de r�f�rence (par exemple 262 Hz pour le Do 3). On retrouve ensuite les fr�quences r�elles en multipliant les valeurs calcul�es par la fr�quence de la note de r�f�rence.
La construction des gammes dites de Pythagore est bas�e sur le cycle des quintes : on part de la fr�quence de valeur f₀ = 1. On construit une nouvelle fr�quence, la quinte, en multipliant f₀ par 1,5. On r�it�re ce processus pour obtenir la quinte de la quinte, et ainsi de suite. � certaines �tapes, le fait de multiplier par 1,5 une fr�quence f comprise entre 1 et 2 peut donner une fr�quence sup�rieure ou �gale � 2. On se propose de d�montrer que, si on divise par 2 la valeur obtenue, on la ram�ne dans l’octave.
3- On suppose que 1 ≤ f < 2 et on raisonne par disjonction de cas :
- premier cas : 1 ≤ f < 4 / 3. Montrer que 1 ≤ 1,5 f < 2.
On multiplie chaque terme par 1,5 : 1,5 ≤ 1,,5 f < 2.
1 <1,5 ≤ 1,,5 f < 2.
- deuxi�me cas : 4 / 3 ≤ f < 2. Montrer que 2 ≤ 1,5 f et 1 < 3 /4 f < 2.
On multiplie les deux premiers termes par 1,5 : 2 ≤ 1,5 f ;
On multiplie chaque terme par 3 / 4 : 1 < 3 / 4 f < 1,5 ; 1 < 3 / 4 f < 1,5 < 2.
4- L’algorithme suivant permet de calculer les fr�quences des notes successivement obtenues par ce processus jusqu’� ce qu’on retombe sur la fr�quence initiale.

Recopier et compl�ter le tableau ci-dessous en donnant les valeurs des 12 premi�res quintes obtenues par cet algorithme. Les r�sultats seront donn�s d’abord sous forme exacte comme quotients d’une puissance de 2 par une puissance de 3, puis par leurs valeurs d�cimales approch�es au centi�me obtenues � l’aide de la calculatrice.

n	0	1	2	3	4	5	6
f (fraction irr�ductible)	1	3 / 2	3² / 2³	3³ / 2⁴	3⁴ / 2⁶	3⁵/ 2⁷	3⁶/ 2⁹
f ( valeur approch�e )	1	1,5	2,25 / 2 =1,13	1,69	2,53 / 2 =1,27	1,9	1,42
f > 2	faux	faux	vrai	faux	vrai	faux	faux
n	7	8	9	10	11	12
f (fraction irr�ductible)	3⁷/ 2¹¹	3⁸/ 2¹²	3⁹/ 2¹⁴	3¹⁰/ 2¹⁵	3¹¹/ 2¹⁷	3¹²/ 2¹⁹
f (valeur approch�e)	2,14 / 2 = 1,07	1,60	2,40 / 2 = 1,20	1,80	1,35	2,025 / 2 = 1,01
f > 2	faux	faux	vrai	faux	faux	vrai