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premi�re, structure cristalline du diamant, gamme temp�r�e et guitare
classique.
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d’int�r�ts.
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Structure cristalline du diamant.
On cherche � savoir si, dans le cas du diamant, le carbone cristallise sous une forme cubique � face centr�e.
Donn�es :
• Rayon d’un atome de carbone : r = 70 pm
• Masse d’un atome de carbone : m = 2,0x10-26 kg.
3- �tude d’un r�seau cubique � faces centr�es.
3-a Compl�ter le sch�ma de maille d’un r�seau cubique � faces centr�es en indiquant la position des atomes.
Il y a contact des sph�res suivant la diagonale d'une
face du cube.
3-b D�terminer, en le justifiant, le nombre d’atomes pr�sents � l’int�rieur d’une maille.
Chaque maille compte en propre :
- Chaque atome situ� au centre d'une face, donc
commun � deux mailles compte pour � : il y a 6 faces soit 6*0,5 = 3
atomes.
- Chaque atome situ� � un sommet, donc commun � huit
mailles compte pour 1/8 : il y a huit sommets donc 8 /8 = 1 atome.
Donc 4 atomes par maille.
3-c Le param�tre de maille, not� a, est la longueur d’une ar�te du cube. D�montrer que a = 2√2𝑟.
Il y a contact des sph�res suivant la diagonale d'une
face du cube.
4 r = 2�a : a =2 *2�r.
3-d Montrer que la masse volumique r qu’aurait le diamant s’il poss�dait une structure cubique � faces centr�es v�rifierait approximativement la formule r =0,18 m / r3.
avec m : masse d’un atome de carbone et r : rayon d’un atome de carbone mod�lis�e par une sph�re.
Masse d'une maille : 4 m.
Volume d'une maille : V = a3=(2 *2�r)3 ~22,63 r3.
Masse volumique : 4 m / (22,63 r3) ~0,18 m / r3.
4- La masse volumique du diamant est 3,51x 103 kg.m-3. Indiquer si le diamant poss�de une structure cubique � face centr�e.
0,18 x2,0 10-26 / (70 10-12)3~10,5 103 kg m-3.
Le diamant ne poss�de pas une structure cubique � faces centr�es.
Recherche de la profondeur de formation du diamant.
Le carbone pur est pr�sent dans la nature sous deux formes principales
: le diamant, qui est transparent, et le graphite, qui est gris et
opaque. En laboratoire, il est possible de fabriquer artificiellement
du diamant � partir du graphite en modifiant les param�tres de pression
et de temp�rature : le diamant peut �tre produit si la pression est
comprise entre 5 et 12 GPa . (1 GPa = 1x109 Pa).
5- Estimer la profondeur minimale � partir de laquelle les diamants peuvent se former.
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Gamme temp�r�e et guitare classique. ( d'apr�s bac S 2012)
Partie A. Gamme temp�r�e.
Il y a eu dans l’histoire de nombreuses m�thodes de construction de gammes pour ordonner les notes � l’int�rieur d’une octave.
On peut diviser l’octave en douze intervalles � l’aide de treize notes
de base (Do, Do#, R�, Mib, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, Sib, Si, Do). La
gamme fr�quemment utilis�e de nos jours est la gamme au temp�rament
�gal (ou gamme temp�r�e), dans laquelle le rapport de fr�quences entre
deux notes cons�cutives est constant.
1- Rappeler la valeur du rapport des fr�quences de deux notes situ�es aux extr�mit�s d’une octave.
Chaque
note d’une gamme est caract�ris�e par sa fr�quence. Par convention, le La3
(diapason des musiciens) de l’octave num�rot�e 3 a une fr�quence de
440 Hz.
Le
passage d’une note � la note du m�me nom � l’octave sup�rieure multiplie sa
fr�quence par deux ; ainsi la fr�quence du La2 est �gale � 220
Hz et celle du La4 � 880 Hz.
2- Expliquer pourquoi la valeur exacte du rapport des fr�quences entre deux notes cons�cutives de la gamme temp�r�e est 21/12.
Dans la
gamme temp�r�e, le quotient de la fr�quence d’une note sur la fr�quence de la
note pr�c�dente est �gal �
21/12=1,059. Si l’on note f la
fr�quence de la note Do,
note fondamentale d’une octave donn�e, les fr�quences des notes successives de
cette octave sont regroup�es dans le
tableau suivant :| Do | Do# R�b | R� | R�# Mib | Mi Fab | Mi# Fa | Sol | Sol# Lab | La | La# Sib | Si Dob | Do Si# | | f | 1,059 f | 1,122 f | 1,189 f | 1,260 f | 1,335 f | 1,498 f | 1,587 f | 1,682 f | 1,782 f | 1,888 f | 2f |
3- Le tableau indique les fr�quences (en Hertz), arrondies au dixi�me, de quelques notes de la gamme temp�r�e.
| Note | Mi3 | Fa3 | Fa# 3 | Sol | Sol# 3 | La3 | Si3b | Si3
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D04 | fr�quence ( Hz)
| 329,6 | 349,2 | 370,0 | 392,0 | ... | 440,0 | 466,2 |
493,9
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523,3 |
f = 392,0 x 21/12=415,3 Hz.
Partie B. Application aux frettes de la guitare classique.
En
observant le manche d’une guitare classique, on remarque que les
barrettes m�talliques, appel�es frettes, situ�es sur les cordes, ne
sont pas espac�es r�guli�rement : plus on s’approche du chevalet, plus
elles sont resserr�es.
Cette partie se propose d’expliquer pourquoi.
4- Lorsqu’on joue � vide la corde la plus fine de la guitare, le son �mis est le Mi3.
Pour obtenir un Mi4 le joueur pince cette m�me corde au
niveau de la 12e case (situ�e juste au-dessus de la 12e frette), ce qui
produit un son de fr�quence
f12 = 2 x f0.
4-a- Le Mi4 est-il plus aigu ou plus grave que le Mi3 ?
f12 = 2 x 329,6 =659,2 Hz.
659,2 > 329,6, le Mi4 est plus aigu que le Mi3.
4-b- Parmi les r�ponses suivantes, indiquer celle quelle qui correspond � la longueur L12 correspondant � la fr�quence f12. Justifier la r�ponse.
2L0 ; 0,5 L0 ; 2 / L0.
Sans pincer la corde au niveau d’une case, la corde qui vibre, de longueur L0, produit un son d’une fr�quence f0.
Lorsqu’il pince la corde au niveau de la case n, situ�e juste au- dessus de la n-i�me frette, la corde qui vibre, de longueur Ln, �met un son de fr�quence fn.
Ln � fn = L0 � f0 ; Ln = L0 � f0 / fn avec f0 / f12 =0,5 ; L12 = L0 / 2.
5- Longueur de la 1�re case.
Pour obtenir un Fa3, on pince la corde au niveau de la premi�re case, la longueur de la corde vibrante �tant alors �gale � L1.
Sachant que L1 = L0 / 1,05946, donner l’expression de la longueur de la premi�re case en fonction de L0.
L0 =65,0 cm.
Distance du manche � la frette n� 1 : f1 / f =1,05946 = L / L1 ; L1 = L /1,05946 = 65,0 / 1,05946 =61,35 cm.
Longueur de la premi�re case : L0-L1= L0-L0 / 1,05946 =0,0561 L0.
soit 65,0x0,0561 = 3,65 cm.
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