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premi�re, g�ode de gal�ne, d�termination de
l'�ge de la terre.
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Le plomb est pr�sent � l’�tat naturel sous
diverses formes dans la cro�te terrestre. On le trouve principalement
dans la gal�ne, qui en contient 86,6 % en masse. Cet �l�ment a permis
de donner une estimation pr�cise de l’�ge de la Terre.
Partie 1 : la gal�ne.
1- La gal�ne est un
solide min�ral compos� en majorit� de sulfure de plomb qui poss�de une
structure cristalline de type chlorure de sodium constitu�e des ions
plomb Pb2+ et des ions sulfure S2-.
1-a- D�terminer le
type de r�seau cristallin form� par les ions plomb Pb2+.
1-b- Pr�ciser les
diff�rentes positions occup�es par les ions sulfure S2- dans
la maille.
Deux r�seaux cubiques �
faces centr�es, l'un d'ion Pb2+, l'autre d'ion chlorure S2-.
Ces r�seaux se d�duisent l'un de l'autre par translation parall�le aux
ar�tes de la maille et de valeur �gale � la moiti� du cot� de la maille.
Chaque ion est au centre d'un octa�dre, entour� de 6 ions de signe
oppos� occupant les 6 sommets.
2-a- Justifier
qu’il y a quatre ions plomb Pb2+ et quatre ions sulfure S2-
dans la maille.
Les ions qui sont � chaque sommet appartiennent � 8 maille et compte
pour 1 / 8.
Il a 8 sommets soit un ion Pb2+ .
Les ions qui sont aux centres des faces appartiennent � 2 mailles
et compte pour 1/ 2.
Il y a 6 faces soit 3 ions Pb2+. Total 4 ion Pb2+
par maille.
Il en est de m�me pour les ions sulfure.
2-b- Choisir la
formule chimique du sulfure de plomb parmi les quatre propos�es
cidessous et la recopier sur la copie.
A : Pb2S ; B : PbS2 ; C : PbS vrai ; D : PbS4.
3- La forme
g�om�trique de la maille et la nature des ions qui la constituent sont
�l’origine des propri�t�s macroscopiques du cristal, notamment de sa
masse volumique. En utilisant les donn�es ci-dessous, calculer la masse
et le volume d’une maille. En d�duire la masse volumique du sulfure de
plomb. Donn�es :
Masse d’un ion plomb Pb2+: m(Pb2+) = 3,44 � 10-22
g.
Masse d’un ion sulfure S2- : m(S2-) = 5,33 � 10-23
g.
Longueur d’une ar�te de la maille : a =5,94 � 10-8 cm.
Masse d'une maille : m =4(3,44 10-22 +5,33 10-23)=1,5892
10-21 g.
Volume V = a3 =(5,944 10-8)3 =2,10 10-22
cm3.
Masse volumique du plomb : m / V =1,5892 10-21 / (2,10 10-22)
=7,57 g cm-3.
4- Outre ses utilisations
industrielles, la gal�ne peut servir d’objet de d�coration. Elle est
alors vendue sous forme de g�ode (cavit� rocheuse tapiss�e de
cristaux). Un vendeur de g�odes de gal�ne veut estimer la qualit� de
son stock de g�odes.
Pour cela, il effectue le pr�l�vement d’un lot de cinquante g�odes dans
son stock et d�termine la masse volumique de chacune d’elle. Par souci
de simplification, il se limite � �tudier ce seul crit�re. Il obtient
les r�sultats suivants :
masse
volumique ( g cm-3)
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7,30
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7,35
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7,40
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7,45
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7,50
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7,55
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7,60
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effectif
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1
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1
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9
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10
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11
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13
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5
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Pour �tre conforme, un
lot de g�odes doit contenir au moins 95% de g�odes dont la masse
volumique est comprise entre 7,40 g.cm-3 et 7,60 g.cm-3.
Le lot pr�c�dent est-il conforme ? Justifier la r�ponse.
48 g�odes sur 50 soit 48 /50 =0,96 ( 96 %) ont une masse volumique est comprise entre 7,40 g.cm-3 et 7,60 g.cm-3. Ce lot est
conforme.
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Partie
2 : d�termination de l’�ge de la Terre.
D�s le XVIe si�cle, les scientifiques ont cherch� � d�terminer l’�ge de
roches. C’est la d�couverte de la radioactivit� � la fin du XIXe si�cle
qui leur a permis de dater avec
une plus grande fiabilit� de nombreux �chantillons de roches pr�lev�s
dans la cro�te terrestre.
On fait l’hypoth�se suivante : on consid�re qu’il n’y a pas de plomb
206 dans la roche au moment de sa formation, mais qu’elle contient des
noyaux d’uranium 238
radioactifs. On sait qu’un noyau d’uranium 238 radioactif se transforme
en un noyau plomb 206 stable � la suite d’une s�rie de d�sint�grations
successives.
L'�quation globale est :
23892U
-->20682Pb
+ 8 42He
+ 6 0-1e.
En mesurant la quantit� de plomb 206 dans un �chantillon de roche
ancienne, on peut d�terminer l'�ge de l’�chantillon de roche � partir
de la courbe de d�croissance
radioactive du nombre de noyaux d'uranium 238.
Ainsi, si on consid�re qu’un �chantillon de roche contenant � la fois
du plomb 206 et de l’uranium 238 a le m�me �ge que la Terre, il est
possible d’utiliser la datation
uranium-plomb pour donner une estimation de l’�ge de la Terre.
5- Donner la
composition d’un noyau de plomb 206.
82 protons et 206-82 =124 neutrons.
6- On note NU(t) et
NPb(t) les nombres de noyaux d’uranium 238 et de plomb 206 pr�sents
dans l’�chantillon � la date t � laquelle la mesure est r�alis�e et
NU(0) le
nombre de noyaux d’uranium 238 que contenait la roche au moment de sa
formation.
6-a : Justifier la
relation : NU(0) = NU(t) + NPb(t).
Lorsque qu'un noyau d'uranium 238 se d�sint�gre, il se forme un noyau
de plomb 206.
La conservation du nombre de noyau conduit � : NU(0) = NU(t) + NPb(t).
6-b- D�terminer
graphiquement NU(0).
5000 milliards de noyaux soit 5,0 1012 noyaux.
6-c- Le nombre de
noyaux de plomb 206 mesur� dans la roche � la date t est �gal � NPb(t)=
2,5.1012 noyaux.
Calculer le nombre NU(t) de noyaux d'uranium pr�sents � la date t.
NU(t) =NU(0) -NPb(t) =5,0 1012 -2,5.1012 = 2,5.1012
noyaux.
7- En d�duire une
estimation de l’�ge de la Terre. Expliquer la d�marche employ�e. ( voir
graphe ci-dessus).
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