E3C premi�re, terre plate ou terre sph�rique.

Anaxagore (v. -500 ; -428) et �ratosth�ne (v. -276; v. -194) sont deux math�maticiens qui se sont int�ress�s � la forme de la Terre : Anaxagore pensait qu’elle �tait plate alors qu’�ratosth�ne pensait qu’elle �tait sph�rique.
Anaxagore a appris par des voyageurs venant de la ville de Sy�ne (S) que, lors du solstice d’�t�, le Soleil (H) est au z�nith � midi et donc que les objets n’ont pas d’ombre � ce moment pr�cis. Au m�me moment, quelques 800 km plus au nord, � l’emplacement de
ce qui deviendra la ville d’Alexandrie (A), le soleil �claire un puits de 2 m de diam�tre jusqu’� une profondeur de 16 m.
1- Compl�ter le sch�ma avec les informations chiffr�es pr�c�dentes.
Quelle longueur de ce sch�ma Anaxagore cherche-t-il � calculer ?

Il cherche � calculer la distance terre-soleil, HS.
2- Calculer la distance Terre-Soleil dans le mod�le d’Anaxagore.
800 000 / 2 = HS / 16 ; HS = 400 000 x 16 = 6,4 10⁶ m = 6400 km.
3- On estime aujourd’hui que la distance moyenne Terre-Soleil est de 150 millions de kilom�tres soit 25000 fois plus. Expliquer pourquoi la valeur trouv�e par Anaxagore est tr�s �loign�e de la valeur r�elle.
La terre n'est pas plate mais ronde et AS n'est pas un segment, mais un arc de cercle dont le centre est le centre de la terre.
De plus, le soleil �tant tr�s �loign� de la terre, les rayons solaires arrivant sur terresont parall�les.

�ratosth�ne conna�t lui aussi la distance de 800 km entre Sy�ne (S) et Alexandrie (A) et sait qu’� midi, lors du solstice d’�t�, le soleil est au z�nith � Sy�ne. Il fait une hypoth�se importante pour son mod�le : il pense que le soleil est tr�s �loign� de la Terre et que, par cons�quent, ses rayons sont parall�les en arrivant sur la Terre.
Il utilise un instrument de mesure qui lui permet de trouver un angle d’un cinquanti�me de tour, soit 7,2�, entre les rayons du soleil et la
verticale � Alexandrie.
La figure suivante repr�sente la situation � midi lors du solstice d’�t�. Le segment [EA] repr�sente la verticale � Alexandrie et C le centre de la Terre.
4- Compl�ter le sch�ma avec les informations chiffr�es du texte.
Quelle longueur de ce sch�ma �ratosth�ne cherche-t-il � calculer ?

Il cherche � calculer le rayon terrestre CS.
5- D�terminer la mesure de l’angle ACS. Justifier la r�ponse en s’appuyant sur des propri�t�s g�om�triques.
Calculer la circonf�rence de la Terre puis en d�duire le rayon de la Terre aukilom�tre pr�s.
Les droites dessin�es en jaune sont parall�les et EC est une s�cante. Les angles alternes internes ont m�me mesure 7,2�.
800 x 360 / 7,2 ~4,0 10⁴ km.
R = 4,0 10⁴ / (2 x3,14) ~6366 km.
6- On estime aujourd’hui que le rayon de la Terre est de 6371 km. Calculer l’erreur en pourcentage commise par �ratosth�ne. Commenter.
(6371-6366) / 6371 ~8,10^-4 ( 0,08 %).
La mesure du rayon terrestre faite par Eratosth�ne est tr�s pr�cise pour son �poque.