E3C premi�re, mesure du m�ridien terrestre.

Eratosth�ne est c�l�bre pour avoir �tabli la premi�re m�thode connue de mesure de la circonf�rence de la Terre.
Donn�es :
• Le 21 juin, � midi, � Sy�ne (Assouan), on voit le fond des puits.
• Le 21 juin, � midi, � Alexandrie, on mesure la longueur de l’ombre d’un gnomon* de 1 m�tre. Celle-ci vaut 0,126 m�tre.
(*un gnomon est un instrument astronomique qui visualise par son ombre les d�placements du Soleil. Sa forme la plus simple est un b�ton plant� verticalement dans le sol.)
• La distance entre Alexandrie et Sy�ne est estim�e � 5000 stades.
• Un stade est une unit� de longueur correspondant � la longueur du stade d'Olympie, soit environ 157,5 m�tres.
• Alexandrie et Sy�ne sont suppos�es �tre sur un m�me m�ridien.
Le soleil �tant lointain, on suppose que les rayons qu’il �met sont parall�les.
1- Proposer un sch�ma repr�sentant le gnomon, son ombre et les rayons du soleil avec les longueurs donn�es (il n’est pas demand� que le sch�ma soit � l’�chelle).

2- Calculer la tangente de l’angle a form� par le gnomon et le rayon de soleil, et d�montrer que cet angle mesure environ 7,2 �.
tan a = AD / AE = 0,126 / 1 = 0,126 ; a =7,18 � ~7,2 �.
3- � l’aide d’un scaph� (instrument de mesure ancien, sorte de cadran solaire), �ratosth�ne a trouv� que l’angle a correspondait � un cinquanti�me de tour. Comparer avec le r�sultat de la question pr�c�dente.
360 / 50 =7,2 �.
Ecart relatif ( 7,2 -7,18) / 7,2 =0,028 ( ~0,28 % ).
Ces deux r�sultats sont identiques.
4- Pr�ciser la distance qui mesure 5000 stades sur la repr�sentation de la Terre.
La distance AS mesure 5000 stades.
5- Justifier que les angles a et b ont la m�me mesure. En d�duire la circonf�rence de la Terre d’abord en stade, puis en kilom�tre.
Les rayons solaires sont parall�les et OE est une droite s�cante. Les angles alternes internes a et b ont m�me mesure.
5000 x 3360 /7,2 = 5000 x 50 = 250 000 stades.
250 000 x 0,1575 =39 375 km.
6- Gr�ce � des mesures par satellites, on estime aujourd’hui la circonf�rence de la Terre � 40 075 km. Proposer au moins une source d’erreur possible pour la valeur estim�e par Eratosth�ne.
(40 075 -39575) / 40075 =0,0175 ( 1,75 %).
5000 x 0,0175=87 stades.
La distance entre Alexandrie et Sy�ne est estim�e � 5000 stades. Cette distance n'est pas connue avec une grande pr�cision, mais � quelques centaines de stades pr�s.