Math�matiques,  E3C premi�re Am�rique du Nord 2021.

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts.


.
.
.. ..
......


...

Exercice 1, QCM ( 5 points).
Question 1.
Pour tout r�el x, e2x+e4x est �gal � :
e6x ; e2x(1+e2) ; e3x(ex+e-x)vrai ; exp(8x2).
y = 7(x-1) vrai.; y = x-1 ; y =7x+7 ; y = x+1.
e3x(ex+e-x) = e3x+x +e3x-x.

Question 2.
Dans le plan muni d'un rep�re orthonorm�, on consid�re les vecteurs suivants de coordonn�es respectives (-5 ; 2) et (4 ; 10) ainsi que la droite (d) d'�quation 5x+2y+3=0.

R�ponse c.

Question 3.
La d�riv�e f ' de la fonction f d�finie sur R par f(x) =(2x-1)e-x est :
2xe-x ; -2e-x ; (-2x+3)e-x vrai ; 2e-x +(2x-1)e-x.
On pose u = 2x-1 et v = e-x ; u' = 2 ; v' = -e-x.
u'v+v'u = 2e-x-(2x-1)e-x =
(-2x+3)e-x.

Question 4. Pour tout r�el x, on a : sin(p+x) =

- sin(x) vrai ; cos(x) ; sin(x) ; -cos(x).

Question 5.
Soit f une fonction d�finie et d�rivable sur R dont la courbe repr�sentative est donn�e. La tangente � cette courbe au point A est la droite T.

f '(0) = 3 ; f '(0) = 1/5 ; f '(0) = 5 ; f '(0) = -5 vrai.
La pente de la tangente en A d'abscisse z�ro est �gale � -5 : f '(0) = -5.

Exercice 2. 5 points.
La population d'une ville augmente chaque ann�e de 2%. La ville a 4600 habitants en 2010.
La population d'une ville B augmente de 110 habitants par an. B a 5100 habitants en 2010.
1. Calculer le nombre d'habitants de chaque ville fin 2011.
A : 4600 x1,02 =4692.
B 5100+110=5210.
On note un le nombre d'habitants de A et vn le nombre d'habitants de B.
2. Quelle est la nature des suite (un) et (vn) ?
(un) suite g�om�trique de raison 1,02 et de premier terme 4600.
(vn) suite arithm�tique de raison 110 et de premier terme 5100.
3. Exprimer un en fonction de n. Calculer le nombre d'habitants de A en 2020.
un =4600 x 1,02n. u10 =4600 x1,0210 ~5607.
4.
Exprimer vn en fonction de n. Calculer le nombre d'habitants de B en 2020.
vn =5100 x 110 n. v10 =5100 +1100 =6200.

5. Compl�ter l'algorithme suivant. Au bout de combien d'ann�e la population de la ville A d�passerat-elle celle de la ville B ?
def ann�e()
u =4600
v=5100
n=0
while u < v :
u = u*1,02
v=v+110
n = n+1.
return n
u32= 8669 ; v32 =8620. Ann�e 2042.

...
....

Exercice 3. (5 points)
Soit h la fonction d�finie sur [0 ; 26) par :
h(x) = -x3+30x2-108x-490.
1. Exprimer h'(x).
h'(x) =-3x2 +60x-108.
On note C la courbe repr�sentative de h et C' celle de h'.
2. Identifier C et C' en justifiant.
-3x2 +60x-108 =0.
Discriminant D= 602-4*108*3=2304 =482.
Solutions x1 = (-60+48) / (-6) =2 ;
x1 = (-60-48) / (-6) =18.
h'(x) >0 si x appartient � [2 ; 18] et h(x) est croissante sur cet intervalle.

3. Soit T la tangente au point A d'abscisse z�ro. D�terminer son �quation r�duite.
h'(0) =-108.
Equation de T : y = -108x +b.
Le point de coordonn�es (0 ; h(0) =-490) appartient � la tangente.
-490 = b; y = -108x-490.
4. Etudier le signe de h'(x) puis dresser le tableau de variation de la fonction h.


Exercice 4. 5 points.
Une entreprise qui fabrique des aiguilles dispose de 2 sites de production A et B.
A produit les trois-quart des aiguilles et 2 % sont d�fectueuses.
B produit un quart des aiguilles et 4 % sont d�fectueuses.
Les aiguilles provenant des deux sites sont m�lang�es et vendues ensemble par lots.
On choisit une aiguille dans la production et on consid�re les �v�nements :
A : l'aiguille provient du site A.
B : l'aiguille provient du site B.
D : l'aiguille pr�sente un d�faut.
1. D�terminer lP(A) :
P(A) = 0,75.
2. Compl�ter l'arbre suivant :


3. Quelle est la probabilit� que l'aiguille ait un d�faut et provienne de A ,
P(A n D) = 0,75 x0,02 = 0,015.

4.
Montrer que p(D) = 0,025.
Formule des probabilit�s totales.
5. Apr�s inspection, l'aiguille choisie est d�fectueuse. Quelle est la probabilit� qu'elle provienne de A ?
PD(A) = P(A n D) / P(D) =0,015 / 0,025 =0,6.




  
menu