Math�matiques,
E3C premi�re Am�rique du Nord 2021.
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Exercice 1, QCM (
5 points).
Question 1.
Pour tout r�el x, e2x+e4x est �gal � :
e6x ; e2x(1+e2) ; e3x(ex+e-x)vrai ; exp(8x2).
y = 7(x-1) vrai.; y = x-1 ; y
=7x+7 ; y = x+1.
e3x(ex+e-x) = e3x+x +e3x-x.
Question 2.
Dans le plan muni d'un rep�re orthonorm�, on consid�re les vecteurs
suivants de coordonn�es respectives (-5 ; 2) et (4 ; 10) ainsi que la
droite (d) d'�quation 5x+2y+3=0.
R�ponse c.
Question 3.
La d�riv�e f ' de la fonction f d�finie sur R par f(x) =(2x-1)e-x
est :
2xe-x ; -2e-x ; (-2x+3)e-x vrai ; 2e-x +(2x-1)e-x.
On pose u = 2x-1 et v = e-x ; u' = 2 ; v' = -e-x.
u'v+v'u = 2e-x-(2x-1)e-x =
(-2x+3)e-x.
Question 4. Pour
tout r�el x, on a : sin(p+x)
=
- sin(x) vrai ; cos(x) ;
sin(x) ; -cos(x).
Question 5.
Soit f une fonction d�finie et d�rivable sur R dont la courbe
repr�sentative est donn�e. La tangente � cette courbe au point A est la
droite T.
f '(0) = 3 ; f '(0) = 1/5 ; f '(0) = 5 ; f '(0) = -5 vrai.
La pente de la tangente en A d'abscisse z�ro est �gale � -5 : f '(0) =
-5.
Exercice 2. 5
points.
La population d'une ville augmente chaque ann�e de 2%. La ville a 4600
habitants en 2010.
La population d'une ville B augmente de 110 habitants par an. B a 5100
habitants en 2010.
1. Calculer le
nombre d'habitants de chaque ville fin 2011.
A : 4600 x1,02 =4692.
B 5100+110=5210.
On note un le nombre d'habitants de A et vn le
nombre d'habitants de B.
2. Quelle est la nature des suite (un)
et (vn) ?
(un) suite g�om�trique de raison 1,02 et de premier terme
4600.
(vn) suite arithm�tique de raison 110 et de premier terme
5100.
3. Exprimer un
en fonction de n. Calculer le nombre d'habitants de A en 2020.
un =4600 x 1,02n. u10 =4600 x1,0210
~5607.
4. Exprimer vn en fonction de n.
Calculer le nombre d'habitants de B en 2020.
vn =5100 x 110 n. v10 =5100 +1100
=6200.
5.
Compl�ter l'algorithme suivant. Au bout de combien d'ann�e la
population de la ville A d�passerat-elle celle de la ville B ?
def ann�e()
u =4600
v=5100
n=0
while u < v :
u = u*1,02
v=v+110
n = n+1.
return n
u32= 8669 ; v32 =8620.
Ann�e 2042.
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Exercice 3. (5 points)
Soit h la fonction d�finie sur [0 ; 26) par :
h(x) = -x3+30x2-108x-490.
1. Exprimer h'(x).
h'(x) =-3x2 +60x-108.
On note C la courbe repr�sentative de h et C'
celle de h'.
2. Identifier C et C' en justifiant.
-3x2 +60x-108 =0.
Discriminant D= 602-4*108*3=2304
=482.
Solutions x1 = (-60+48) / (-6) =2 ; x1
= (-60-48) / (-6) =18.
h'(x) >0 si x appartient � [2 ; 18] et h(x) est croissante sur cet
intervalle.
3. Soit T la tangente au point A
d'abscisse z�ro. D�terminer son �quation r�duite.
h'(0) =-108.
Equation de T : y = -108x +b.
Le point de coordonn�es (0 ; h(0) =-490) appartient � la tangente.
-490 = b; y = -108x-490.
4. Etudier le signe de h'(x) puis
dresser le tableau de variation de la fonction h.
Exercice 4. 5 points.
Une entreprise qui fabrique des aiguilles dispose de 2 sites de
production A et B.
A produit les trois-quart des aiguilles et 2 % sont d�fectueuses.
B produit un quart des
aiguilles et 4 % sont d�fectueuses.
Les aiguilles provenant des deux sites sont m�lang�es et vendues
ensemble par lots.
On choisit une aiguille dans la production et on consid�re les
�v�nements :
A : l'aiguille provient du site A.
B : l'aiguille provient du
site B.
D : l'aiguille pr�sente un d�faut.
1. D�terminer lP(A) :
P(A) = 0,75.
2. Compl�ter
l'arbre suivant :
3. Quelle est la probabilit� que
l'aiguille ait un d�faut et provienne de A ,
P(A n D) = 0,75 x0,02 = 0,015.
4. Montrer que p(D) = 0,025.
Formule des probabilit�s totales.
5. Apr�s
inspection, l'aiguille choisie est d�fectueuse. Quelle est la
probabilit� qu'elle provienne de A ?
PD(A) = P(A n D) / P(D) =0,015 / 0,025 =0,6.
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