Cave � vin, bac Asie 2021.

Partie 1 – Evolution de la temp�rature.
On s’int�resse � l’�volution de la temp�rature 𝑇 du syst�me {vin + bouteille} plac� dans le thermostat. Le syst�me {vin + bouteille} est immobile. L’air de la cave � vin est ventil�. On d�signe par Q le transfert thermique entre l’air et le syst�me, et par F le flux thermique correspondant, c’est-�-dire le transfert thermique par unit� de temps. Le transfert thermique et le flux thermique sont compt�s positivement si le transfert thermique a lieu de l’air vers le syst�me. On fait l’hypoth�se que le flux thermique F v�rifie la loi ph�nom�nologique de Newton.
Lorsqu’un syst�me incompressible de temp�rature 𝑇 est plac� dans un fluide en �coulement � la temp�rature T_a , il s’�tablit un flux thermique entre le thermostat et le syst�me proportionnel � l’�cart de temp�rature (T-T_a). On peut alors �crire :
F = −h S (T − T_a)
S (en m² ) est la surface d’�change entre le syst�me et le thermostat ;
h (en W ⋅ m⁻² ⋅ K⁻¹ ) est le coefficient d’�change convectif .
Surface d’�change entre la bouteille et l’air :S = 4,66 � 10⁻² m² ; Coefficient d’�change convectif : h= 10 W ⋅ m⁻² ⋅ K⁻¹ .
Capacit� thermique du syst�me {vin + bouteille} : 𝐶 = 3,25 kJ ⋅ K ⁻¹.

1. � l’aide du premier principe de la thermodynamique, relier la variation d’�nergie interne DU du syst�me {vin + bouteille} au transfert thermique Q entre l’air et le syst�me.
DU = Q.
2. Exprimer le transfert thermique Q pendant une dur�e tr�s petite Dt en fonction du flux thermique F suppos� constant pendant cette dur�e et de Dt. Rappeler les unit�s, dans le syst�me international, des grandeurs intervenant dans cette expression.
Q = F Dt.
Q (joule) ; F(watt) ; Dt ( seconde).
La variation d’�nergie interne d’un syst�me incompressible au repos dont la temp�rature varie de DT est donn�e par la relation
DU = C DT. (𝐶 est la capacit� thermique du syst�me).
3. Exprimer le flux thermique en fonction de la capacit� thermique C du syst�me suppos� incompressible, de sa variation de temp�rature DT et de la dur�e Dt.
F = C DT / Dt.
4. En utilisant la loi ph�nom�nologique de Newton, et en faisant tendre Dt vers 0, v�rifier que l’�quation diff�rentielle qui r�git l’�volution de la temp�rature T s’�crit :
dT / dt= − 1 / t (T − T_air). En d�duire l’expression et l’unit� de t.
F = −h S (T − T_air) = C DT / Dt.
dT / dt = -h S / C (T − T_air).
On pose t = C / (hS).
C s'exprime en J K^-1 et hS s'exprime en WK^-1 ; t s'exprime en J W^-1 soit en seconde.

Le mod�le d’�volution temporelle de la temp�rature du syst�me {vin + bouteille}, solution de l’�quation diff�rentielle, est le suivant : 𝑇(𝑡) = (𝑇₀ − 𝑇_𝑎𝑖𝑟) 𝑒xp( − t / t) + 𝑇_𝑎𝑖𝑟. Cette �volution temporelle de la temp�rature 𝑇(𝑡) est repr�sent�e ci-dessous.

5. Retrouver � l’aide des r�sultats de la mod�lisation les valeurs de 𝑇₀ et de 𝑇_𝑎𝑖𝑟.

6. Estimer graphiquement au bout de combien de temps le vin pourra �tre servi � la temp�rature souhait�e (� 0,5 degr� pr�s).
On s’int�resse � une bouteille de vin rouge l�ger dont la temp�rature id�ale de service est de 13� C. Initialement, cette bouteille et son contenu sont � une temp�rature voisine de 22� C. On place cette bouteille dans la cave � vin afin d’optimiser sa d�gustation. L’air � l’int�rieur de la cave � vin joue le r�le d’un thermostat. Sa temp�rature T_air demeure constante et �gale � 13 �C.
Au bout de 20 000 s, la temp�rature du vin est de 13 � 0,5 �C.
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