Math�matiques,
suites et fonctions, Bac Asie
2022.
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Un m�dicament est administr� � un patient par voie intraveineuse.
Partie A : mod�le discret de la quantit� m�dicamenteuse
Apr�s une premi�re injection de 1 mg de m�dicament, le patient est plac� sous perfusion.
On estime que, toutes les 30 minutes, l’organisme du patient �limine 10 % de la quantit� de
m�dicament pr�sente dans le sang et qu’il re�oit une dose suppl�mentaire de 0,25 mg de la
substance m�dicamenteuse.
On �tudie l’�volution de la quantit� de m�dicament dans le sang avec le mod�le suivant :
pour tout entier naturel n, on note u n la quantit�, en mg, de m�dicament dans le sang du
patient au bout de n p�riodes de trente minutes. On a donc u 0 = 1.
1. Calculer la quantit� de m�dicament dans le sang au bout d’une demi-heure.
1 -0,1+0,25 = 1,15 mg.
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,9u n +0,25.
A chaque demi-heure, 0,1 u n dispara�t (il reste donc 0,9 u n) et on ajoute 0,25 mg.
3. a. Montrer par r�currence sur n que, pour tout entier naturel n, u n< u n+1 < 5.
Initialisation : u0 < u1 < 5. est vraie.
H�r�dit� : la relation est suppos�e vraie eau rang n.
un< un+1 < 5.
0,9 un< 0,9 un+1 < 0,9 x5 = 4,5.
0,9 un +0,25< 0,9 un+1 +0,25 < 0,9 x5 +0,25= 4,75
un+1 < un+2 <4,75 < 5
La relation est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
b. En d�duire que la suite (u n) est convergente.
u n+1 > u n la suite est croissante.
un+1 < 5 la suite est major�e.
La suite est croissante et major�e, donc elle converge.
4. On estime que le m�dicament est r�ellement efficace lorsque sa quantit� dans le sang
du patient est sup�rieure ou �gale � 1,8 mg.
a. Recopier et
compl�ter le script �crit en langage Python suivant de mani�re �
d�terminer au bout de combien de p�riodes de trente minutes le
m�dicament commence � �tre r�ellement efficace.
def efficace():
u=1
n=0
whileu <1.8
u= 0,9 u +0,25
n = n+1
return n
b. Quelle est la valeur renvoy�e par ce script ? Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte
de l’exercice.
u 2 =1,15 x0,9 +0,25 =1,285 mg ; u3 =1,285 x0,9 +0,25 =1,4065 mg ;
u4 =1,4065 x0,9 +0,25 =1,5159 mg ; u5 =1,45159 x0,9 +0,25 =1,614 mg ;
u6 =1,614 x0,9 +0,25 =1,7029 mg ; u7 =1,7029 x0,9 +0,25 =1,7826 mg ;
u8 =1,7826 x0,9 +0,25 =1,85 mg.
Le script renvoie n = 8. Au bout de 4 heures, le m�dicament est efficace.
5. Soit (v n) la suite d�finie, pour tout entier naturel n, par v n = 2,5−u n.
a. Montrer que (v n) est une suite g�om�trique dont on pr�cisera la raison et le premier terme (v 0).
vn+1 = 2,5−un+1 = 2,5 -0,9un +0,25= 2,25 -0,9 un = 0,9(2,5 -un) = 0,9 vn.
Raison q = 0,9 ; v0 =2,5-1=1,5.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, u n = 2,5−1,5�0,9 n
.
v n = 1,5 x 0,9 n= 2,5−un.
un = 2,5−1,5�0,9n
.
c. Le m�dicament devient toxique lorsque sa quantit� pr�sente dans le sang du patient d�passe 3 mg.
D’apr�s le mod�le choisi, le traitement pr�sente-t-il un risque pour le patient ?
Justifier.
-1 < 0,9 < 1, donc 0,9 n tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini.
u n tend vers 2,5 mg, valeur inf�rieure � 3 mg. Le m�dicament ne peut pas devenir toxique.
Partie B : mod�le continu de la quantit� m�dicamenteuse
Apr�s une injection initiale de 1 mg de m�dicament, le patient est plac� sous perfusion.
Le d�bit de la substance m�dicamenteuse administr�e au patient est de 0,5 mg par heure.
La quantit� de m�dicament dans le sang du patient, en fonction du temps, est mod�lis�e par
la fonction f , d�finie sur [0 ; +∞[, par
f (t) = 2,5−1,5e −0,2t
,
o� t d�signe la dur�e de la perfusion exprim�e en heure.
On rappelle que ce m�dicament est r�ellement efficace lorsque sa quantit� dans le sang du
patient est sup�rieure ou �gale � 1,8 mg.
1. Le m�dicament est-il r�ellement efficace au bout de 3 h 45 min ?
3 h45 min = 3,75 h.
f (3,75) = 2,5−1,5e−0,2x 3,75 = 1,79 mg. Traitement pas encore efficace.
2. Selon ce mod�le, d�terminer au bout de combien de temps le m�dicament devient
r�ellement efficace.
2,5−1,5e−0,2t > 1,8 ; 1,5e−0,2t <0,7 ; e−0,2t < 0,7 /1,5.
-0,2 t < ln(0,7 / 1,5) ; t > ln(0,7 / 1,5) / 0,2 ; t > 3,81 h ou 3 h 47 min.
3. Comparer le r�sultat obtenu avec celui obtenu � la question 4. b. du mod�le discret de
la Partie A.
Cette perfusion est plus rapidement efficace que la pr�c�dente.
Soit f une fonction d�finie et d�rivable sur R. On consid�re les points A(1; 3) et B(3; 5).
On donne ci-dessous C f
la courbe repr�sentative de f dans un rep�re orthogonal du plan,
ainsi que la tangente (AB) � la courbe C f au point A.
Partie A
1. D�terminer graphiquement les valeurs de f (1) et f
′
(1).
f(1) = 3 ; f '(1) = 1 ; coefficient directeur de T.
2. La fonction f est d�finie par l’expression f (x) = ln(
ax 2 +1 )
+ b, o� a et b sont des
nombres r�els positifs.
a. D�terminer l’expression de f
′
(x).
f '(x) = 2ax / (ax 2+1).
b. D�terminer les valeurs de a et b � l’aide des r�sultats pr�c�dents.
f(1) = ln(a+1)+b =3 ; f '(1) =2a / (a 2+1) = 1.
a 2+1-2a = 0 ; (a-1) 2=0 soit a = 1.
Par suite : b = 3-ln(2).
Partie B
On admet que la fonction f est d�finie sur R par
f (x) = ln(
x
2 +1 )
+3−ln(2).
1. Montrer que f est une fonction paire.
f(-x) = ln(
(-x)
2 +1 )
+3−ln(2)= ln(
x
2 +1 )
+3−ln(2) = f(x).
2. D�terminer les limites de f en +∞ et en −∞.
En plus l'infini : x2+1 tend vers plus l'infini ; ln(
x
2 +1 ) tend vers plus l'infini ; f(x) tend vers plus l'infini.
En moins l'infini : x2+1 tend vers plus l'infini ; ln(
x
2 +1 ) tend vers plus l'infini ; f(x) tend vers plus l'infini.
3. D�terminer l’expression de f
′
(x).
�tudier le sens de variation de la fonction f sur R.
Dresser le tableau des variations de f en y faisant figurer la valeur exacte du minimum
ainsi que les limites de f en −∞ et +∞.
f '(x) = 2x / (x 2+1).
f '(x) a le signe de x.
Si x < 0 : f '(x) < 0 et f(x) est d�croissante.
Si x > 0 : f '(x) > 0 et f(x) est croissante.
Si x = 0, f '(x) est nulle ; la fonction pr�sente un minimum : f(0) = 3-ln(2).
4. � l’aide du tableau des variations de f , donner les valeurs du r�el k pour lesquelles
l’�quation f (x) = k admet deux solutions.
Il faut que k soit sup�rieur � 3-ln(2).
5. R�soudre l’�quation f (x) = 3+ln 2.
ln(
x
2 +1 )
+3−ln(2) = 3+ ln(2).
ln(
x
2 +1 )=2 ln(2) = ln (4).
x2+1 = 4 ; x2 = 3 ; x = �3�.
Partie C.
1. Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des �ventuels points d’inflexion de la
courbe C f
.
Deux points d'inflexion aux abscisse -1 et +1.
2. Montrer que, pour tout nombre r�el x, on a : f
′′(x) =
2(
1− x
2) / (
x
2 +1 ) 2.
f '(x) = 2x / (x2+1).
On d�rive, on pose u = 2x ; v = x2+1 ; u' = 2 ; v' = 2x.
(u'v-v'u) / v2 =(2(x2+1) -4x2) / (
x
2 +1 )2 =2(
1− x
2) / (
x
2 +1 )2.
3. En d�duire le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est convexe.
f "(x) >0 sur [-1 ; +1], la fonction est convexe sur cet intervalle.
|
...
|
....
|
Dans le rep�re orthonorm� ci-dessus, sont trac�es les courbes
repr�sentatives d’une fonction f et de sa fonction d�riv�e, not�e f
′
, toutes deux d�finies sur ]3 ; +∞[.
1. Associer � chaque courbe la fonction qu’elle repr�sente. Justifier.
Courbe bleue, fonction croissante. Cela implique une d�riv�e positive ( courbe rouge en pointill�s).
2. D�terminer graphiquement la ou les solutions �ventuelles de l’�quation f (x) = 3.
f(x) = 3 ; x ~5,6, une seule solution.
3. Indiquer, par lecture graphique, la convexit� de la fonction f .
La courbe est toujours en dessous de ces tangentes, donc fonction concave.
Partie B
1. Justifier que la quantit� ln(
x
2 − x −6 )
est bien d�finie pour les valeurs x de l’intervalle
]3 ; +∞[, que l’on nommera I dans la suite.
x2-x-6 = 0; discriminant D =1+6*4=25=52.
Racines : x1 = (1+5) / 2 = 3 et x2 = (1-5)/ 2 = -2.
x
2 − x −6 >0 sur ]-oo ; -2[ union ]3 ; +oo[.
2. On admet que la fonction f de la Partie A est d�finie par f (x) = ln(
x2
− x −6 )
sur I.
Calculer les limites de la fonction f aux deux bornes de l’intervalle I.
En d�duire une �quation d’une asymptote � la courbe repr�sentative de la fonction f
sur I.
x tend vers 3 :
x
2 − x −6 tend vers z�ro et f(x) tend vers moins l'infini.
La droite d'�quation x = 3 est asymptote.
x tend vers plus l'infini : f(x) tend vers plus l'infini.
3. a. Calculer f
′
(x) pour tout x appartenant � I.
f '(x) = (2x-1) / (x2-x-6).
b. �tudier le sens de variation de la fonction f sur I.
Dresser le tableau des variations de la fonction f en y faisant figurer les limites
aux bornes de I.
f'(x) a le signe de 2x-1 ; sur ]3 ; +oo[ f '(x) est strictement positive et f(x) est strictement croissante.
4. a. Justifier que l’�quation f (x) = 3 admet une unique solution a sur l’intervalle
]5; 6[.
f(5)=ln(14) ~2,64 ; f(6) =ln(24)~3,18.
Sur l'intervalle ]5 ; 6 [, f(x) est strictement croissante de ln(14) � ln(24).
f �tant continue car d�rivable, f (x) = 3 admet une unique solution a sur l’intervalle
]5; 6[.
b. D�terminer, � l’aide de la calculatrice, un encadrement de a � 10−2 pr�s.
5,63 < a < 5,64.
5. a. Justifier que f
′′(x) =
(−2x
2 +2x −13) / (
x
2 − x −6 )2
.
f '(x) = (2x-1) / (x2-x-6). On d�rive en posant u = 2x-1 et v = x2-x-6.
u'=2 ; v'=2x-1.
(u'v-v'u) / v2 = [2( x2-x-6)-(2x-1)(2x-1)] / (
x
2 − x −6 )2
.
Le num�rateur s'�crit : 2x2-2x-12 -4x2-1+4x=−2x
2 +2x −13.
b. �tudier la convexit� de la fonction f sur I.
f "(x) a le signe de −2x
2 +2x −13 :
Racinces sde −2x
2 +2x −13 =0
Discriminant D = 4-8*13 < 0. Aucune racine r�elle.
−2x
2 +2x −13 < 0 ; f "(x) < 0 : la fonction est concave.
Partie 1
Julien doit prendre l’avion; il a pr�vu de prendre le bus pour se rendre � l’a�roport.
S’il prend le bus de 8 h, il est s�r d’�tre � l’a�roport � temps pour son vol.
Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d’arriver � temps � l’a�roport.
Julien est parti en retard de son appartement et la probabilit� qu’il manque son bus est de
0,8.
S’il manque son bus, il se rend � l’a�roport en prenant une compagnie de voitures priv�es; il
a alors une probabilit� de 0,5 d’�tre � l’heure � l’a�roport.
On notera : - B l’�v�nement : � Julien r�ussit � prendre son bus � ;
- V l’�v�nement : � Julien est � l’heure � l’a�roport pour son vol �.
1. Donner la valeur de PB (V ).
En prenant le bus, il est s�r d'arriver � l'heure ; PB(V) = 1.
2. Repr�senter la situation par un arbre pond�r�.
3. Montrer que P(V ) = 0,6.
P(V) = PB(V) +P(non B(V) = 0,2 +04 = 0,6.
4. Si Julien est � l’heure � l’a�roport pour son vol, quelle est la probabilit� qu’il soit arriv�
� l’a�roport en bus ? Justifier.
PV(B) =P(B n V) / (P(V) =0,2 / 0,6 = 1 /3.
Partie 2
Les compagnies a�riennes vendent plus de billets qu’il n’y a de places
dans les avions car
certains passagers ne se pr�sentent pas � l’embarquement du vol sur
lequel ils ont r�serv�.
On appelle cette pratique le surbooking.
Au vu des statistiques des vols pr�c�dents, la compagnie a�rienne
estime que chaque passager a 5 % de chance de ne pas se pr�senter �
l’embarquement.
Consid�rons un vol dans un avion de 200 places pour lequel 206 billets
ont �t� vendus. On
suppose que la pr�sence � l’embarquement de chaque passager est
ind�pendante des autres
passagers et on appelle X la variable al�atoire qui compte le nombre de
passagers se pr�sentant � l’embarquement.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on pr�cisera les param�tres.
La pr�sence � l’embarquement d'un passager est ind�pendante de celle des autres et
chaque passager a la m�me probabilit� 0,95 d’�tre pr�sent. La variable al�atoire
X suit la loi binomiale de param�tres n = 206 et p = 0,95.
2. En moyenne, combien de passagers vont-ils se pr�senter � l’embarquement ?
E = np = 206 x0,95 =196.
3. Calculer la probabilit� que 201 passagers se pr�sentent � l’embarquement. Le r�sultat
sera arrondi � 10−3 pr�s.
P(X=201) =(206 201) x 0,95201 x(1-0,95)206=0,306.
4. Calculer P(X < 200), le r�sultat sera arrondi � 10−3 pr�s. Interpr�ter ce r�sultat dans le
contexte de l’exercice.
La calculatrice donne P(X < 200) =0,948.
L'avion est � peu pr�s certain d'�tre complet.
5. La compagnie a�rienne
vend chaque billet � 250 euros.
Si plus de 200 passagers se pr�sentent � l’embarquement, la compagnie
doit rembourser le billet d’avion et payer une p�nalit� de 600 euros �
chaque passager l�s�.
On appelle :
Y la variable al�atoire �gale au nombre de passagers qui ne peuvent pas
embarquer
bien qu’ayant achet� un billet ;
C la variable al�atoire qui totalise le chiffre d’affaire de la
compagnie a�rienne sur ce
vol.
On admet que Y suit la loi de probabilit� donn�e par le tableau suivant :
yi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
P(Y = yi)
|
0,947 75
|
0,030 63
|
0,014 41
|
0,005 39
|
0,001 51
|
0,000 28
|
0,000 03
|
P(C=ci)
|
51 500
|
50 560
|
49 800
|
48 950
|
48 100 |
47 250
|
46 400
|
a. Compl�ter la loi de probabilit� donn�e ci-dessus en calculant P(Y = 6).
P(Y=6) = 1-P(Y=0) -P(T=1) -....P(Y=5)=0,000 03
b. Justifier que : C = 51500−850Y .
La compagnie encaisse : 206 x250 = 51 500 €.
Elle remnourse 850 € � chaque client ne pouvant pas embarqu�.
C = 51500−850Y .
c. Donner la loi de probabilit� de la variable al�atoire C sous forme d’un tableau.
Calculer l’esp�rance de la variable al�atoire C � l’euro pr�s.
E(C) = 51 500 x0,947 75 +... +46400 x0,000 03 =51 429 €.
d. Comparer le chiffre d’affaires obtenu en vendant exactement 200 billets et le
chiffre d’affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.
Vente de 200 billets : 200 x250 = 50 000 €.
Pratique du surbooking : gain 51 500 €.
|
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