Ingenuity, le premier h�licopt�re � voler sur Mars, Bac Nlle Cal�donie 2022.

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A l'atmosph�re de Mars.
La densit� de l'atmosph�re de Mars est 100 fois plus faible que sur la Terre.
A1. En supposant que l'air est un gaz parfait, montrer que la masse volumique de l'air sur Terre v�rifie la relation :
rTerre = PM / (RT).
PV = n RT.
n = masse / masse molaire de l'air = m / M.
masse volumique = masse  / volume = m / V.
PV = m / M RT ; m / V = MP / (RT)
rTerre (kg m-3) ; M = 29,0 10-3 kg / mol ; T (K) ; R = 8,314 J mol-1 K-1 ; P=1,013 105 Pa.
A2. Calculer sa valeur pour une temp�rature de 15�C
rTerre =1,013 105 x29,0 10-3 / (8,314 x 288)=1,227 kg m-3.
La masse volumique de l'atmosph�re de Mars est �gale � 1 % de celle de la Terre.
 A3. En d�duire la lasse volumique de l'atmosph�re de Mars � la temp�rature de 15�C.
rMars =1,227 10-2 kg m-3.
A4. La portance est proportionnelle � la masse volumique de l'atmosph�re dans laquelle se trouve l'engin; expliquer pourquoi c'est un d�fi technologique de faire voler un h�licopt�re sur Mars.
Pour voler les p�les en rotation de l'h�licopt�re g�n�rent une force verticale ascendante appel�e " portance".
Sur Mars cette force  est 100 fois plus faible que sur Terre.

B. La phase de d�collage.
Pour d�coller la portance doit au moins compenser le poids de l'h�licopt�re.
Masse de l'h�licopt�re M =1,8 kg.
Intensit� de la pesanteur sur Mars gM = 3,7 m s-2 ; sur Terre gT = 9,8 m s-2.
Poids de l'h�licopt�re sur Mars PM = 1,8 x3,7 =3,66 N ; sur Terre PT = 1,8 x9,8 =17,6 N.
Les figures suivantes repr�sentent l'�volution de la portance en fonction de la vitesse de rotation des p�les.
B1. D�terminer la valeur de la vitesse de rotation minimale des p�les afin que l'h�licopt�re d�colle.


Sur Mars la vitesse minimale de rotation des p�les doit �tre pr�s de 5 fois plus grande que sur Terre pour assurer un d�collage.

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 Partie C. Une phase d'atterrisage d�licate.
La solution retenue est d'arr�ter la propulsion � un m�tre au dessus du sol et de laisser l'h�licopt�re atteindre le sol en chute libre.
On suppose que la vitesse de l'h�licopt�re est nulle � H = 1,0 m au dessus du sol. Il chute verticalement.


C1. Appliquer la seconde loi de Newton afin d'exprimer les coordonn�es du vecteur acc�l�ration.
L'h�licopt�re n'est soumis qu'� son poids P = mgM.
Coordonn�es du vecteur acc�l�ration ( 0 ; -gM).
C2. En d�duire la coordonn�e vz(t) du vecteur vitesse.
vz(t) = -gMt = -3,7 t.
 C3. En d�duire l'�quation horaire z(t).
z(t) = -�gMt2 + H = -1,85 t2 + 1.
 C4. D�terminer la dur�e de la chute.
-1,85 t2 + 1,0 = 0 ; t = (1 / 1,85)�~ 0,735 ~0,74 s.
C5. D�terminer la vitesse au moment de l'impact sur le sol.
|v| = 3,7 t = 3,7 x 0,735 ~ 2,7 m /s. ( 9,8 m /s).
Le train d'atterrissage �tant con�u pour r�sister � des vitesses de 16 km / h, ce trai n'est pas abim�.

D. Mesure de l'altitude au cours du vol.
Un groupe d'�l�ves r�alise un altim�tre pour un dr�ne � l'aide d'un condensateur de capacit� C variable en fonction de l'altitude z.
Le condensateur est plac� dans le circuit ci-dessous. L'interrupteur est d'abord en position 1 : le condensateur se charge sous la tension E.
Puis l'interrupteur bascule en position 2 : le condensateur se d�charge dans la r�sistance R = 1,0 kW.
Le dr�ne se trouve dans un premier temps au niveau du sol.


D1. Au cours de la d�charge; montrer que l'�quation diff�rentielle qui r�git la tension aux bornes du condensateur s'�crit : duC /dt +uC /(RC) = 0.
uR + uC = 0.
uR = R i avec i = dq/dt = CduC /dt.
Par suite : duC /dt +uC /(RC) = 0.
D2. Montrer que la solution de cette �quation s'�crit : uC(t) = E exp(-t / t) avec t = RC.
uC(t) = A E exp(-t / t) avec A une constante.
A t = 0, uC = E.
Par suite : uC(t) = E exp(-t / t).
D3. D�terminer graphiquement E et t.

D4. En d�duire que Csol = C0 = 100 �F.
0,1 = 1,0 103 C0 ; C0 = 10-4 F = 100 �F.
Lorsque le dr�ne monte, la pression atmosph�rique diminue et provoque une augmentation de l'�paisseur e entre les armatures.

D5. Comment �volue la capacit� du condensateur lorsque le dr�ne s'�loigne du sol. La surfaces des armatures est constante.
C = e S /e.
Si e augmente avec eS constant, la capacit� diminue.
D6. Estimer C � 5 m du sol sachant que la variation de pression provoque une augmentation d'�paisseur e de 10 %.
C0 =  eS / e ; C = eS / (1,1 e) = C0 / 1,1 = 100 / 1,1 ~91 �F.

  
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