Mod�lisation
d'un service au tennis, bac Nlle Cal�donie 2022.
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La
balle doit passer en diagonale au-dessus du filet et toucher le sol
dans le carr� de service oppos� avant que le relanceur ne la renvoie.
Masse de la balle m = 58 g. L'action de l'air sera n�glig�e.
A. Equation de la trajectoire.
Position initiale de la balle , point B(0 ; H).
Vecteur vitesse initiale : (v0 ; 0).
1. D�terminer les coordonn�es du vecteur acc�l�ration du centre de masse de la balle.
La balle n'�tant soumise qu'� son poids, la seconde loi de Newton conduit � : ax = 0 ; ay = -g.
2. D�terminer les composantes du vecteur vitesse.
Le vecteur vitesse est une primitive du vecteur acc�l�ration.
vx = v0.
vy = -gt.
3. En d�duire que l'�quation de la trajectoire de la balle s'�crit : y(x) = -g /(2v 02) x 2+H.
Le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse.
x = v 0t ; y = -�gt 2 + H.
t = x / v 0, repport dans y : y(x) = -g /(2v02) x2+H.
B Influence de la vitesse initiale.
Elle doit �tre sup�rieure � une valeur minimum v0min afin qu'elle franchisse juste le filet au point C et inf�rieure � une valeur maximum v0max afin qu'elle retombe rans les limites autoris�es au point D.
1. Exprimer la vitesse initiale v 0 en fonction de y(x), x, g et H. H-y(x) = g /(2v02) ; v02 = g / [2(H-y(x)] ; v0 =[ g / [2(H-y(x))] ]�.
2. D�terminer les coordonn�es des points C et D.
xC = 5,50 + 6,40 = 11,90 m.
Hauteur centrale du filet yC= 0,91 m.
xD = xC + cot� du carr� de service =11,90 +4,11 = 16,01 m.
yD = 0 ( sol).
3. Si H = 2,6 m, en d�duire v0min et v0max.
v0min =[ 9,81 xC2/ [2(2,6-y(C))] ]�=[ 9,81*11,92 / [2(2,6-0,91)] ]�~ 20 m /s.
v0max =[ 9,81 xD2/ [2(2,6-y(D))] ]�=[ 9,81*162 / [2(2,6-0)] ]�~ 22 m /s.
4. En r�alit� la vitesse initiale mesur�e est bien sup�rieure aux vitesses calcul�es pr�c�demment. Commenter.
Le mod�le de la chute libre n'est pas valable. Il faut prendre en
compte l'action de l'air et tenir compte de la rotation de la balle.
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C. Etude �nerg�tique.
Les donn�es du mouvement r�el de la balle figurent ci-dessous. Montrer que l'action de l'air doit �tre prise en compte.
t(s)
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0
|
0,03
|
0,06
|
0,09
|
0,12
|
0,15
|
0,18
|
0,21
|
0,24
|
0,27
|
y(m)
|
2,58
|
2,43
|
2,29
|
2,11
|
1,97
|
1,81
|
1,63
|
1,48
|
1,28
|
1,10
|
v(m /s)
|
47,8
|
44,7
|
43,6
|
42,8
|
41,7
|
40,3
|
39,4
|
37,5
|
36,4
|
35,3
|
Ec = 0,5 mv2 (J)
|
66,3
|
55,9
|
53,2
|
51,3
|
48,7
|
45,5
|
43,4
|
39,4
|
37,1
|
24,5
|
Ep = mgy ( J)
|
1,5
|
1,38
|
1,30
|
1,20
|
1,12
|
1,03
|
0,93
|
0,84
|
0,73
|
0,63
|
Ep + EC = Em
|
67,8
|
57,3
|
54,5
|
52,5
|
49,8
|
46,5
|
44,3
|
40,2
|
37,8
|
25,1
|
L'�nergie m�canique de la balle n'�tant pas constante, la chute n'est pas libre ; il faut prendre en compte l'action de l'air..
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