Math�matiques,
fonction logarithme, bac Nlle Cal�donie 2022.
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On consid�re la fonction f
d�finie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
f (x) = x2−6x +4ln(x).
On admet que la fonction f est deux fois d�rivable sur l’intervalle ]0
; +∞[.
On note f ’ sa d�riv�e et f ′′ sa d�riv�e seconde.
On note Cf la courbe repr�sentative de la fonction f dans un
rep�re orthogonal.
1. a. D�terminer la
limite de f quand x tend vers z�ro. Interpr�ter graphiquement ce
r�sultat.
x2-6x tend vers z�ro ; ln(x) tend vers moins l'infini ;
par somme des limites, f(x) tend vers moins l'infini.
L'axe des ordonn�es est asymptote � la courbe Cf.
b. D�terminer lla
limite de f quand x tend vers plus l'infini.
f(x) = x[x-6+4ln(x) / x].
Par croissance compar�e ln(x) / x tend vers z�ro ; x-6+4ln(x) / x tend vers
plus l'infini.
Par produit des limites, f(x) tend vers plus l'infini.
2. a. D�terminer f
′(x) pour tout r�el x appartenant � ]0 ; +∞[.
f '(x) = 2x-6+4 / x.
b. �tudier le signe
de f ′(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[. En d�duire le tableau de
variations de f .
f '(x)= (2x2-6x+4) / x.
f '(x) a le signe de 2x2-6x+4 ;
2x2-6x+4
= 0 ; discriminant D
=62-4*4*2=4= 22.
Racines : x = (6 �2)/ 4soit x1 =2 et x2 = 1.
Si x appartient � ]1 ; 2 [, f '(x) est n�gative et f(x) est strictement
d�croissante.
S x appartient � ]0 ; 1[ union ]2 ; +oo[, f '(x) > 0 et f(x) est
strictement croissante.
si x = 1, f '(x) = 0
et f(x) pr�sente un maximum.
si x = 2, f '(x) = 0
et f(x) pr�sente un minimum.
3. Montrer que
l’�quation f (x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [4; 5].
Sur cet intervalle, f(x) est continue car d�rivable et strictement
croissante de -8 + 4 ln 4 ~ -2,45 � -5 +4ln 5 ~1,44.
D'apr�s le th�or�me des valeurs interm�diaires, il existe un seul r�el a de l'intervalle [4 ; 5]
tel que f(a) = 0.
4. On admet que,
pour tout x de ]0 ; +∞[, on a :
f "(x) =(2x2-4) / x2.
a. �tudier la
convexit� de la fonction f sur ]0 ; +∞[.
On pr�cisera les valeurs exactes des coordonn�es des �ventuels points
d’inflexion de Cf.
f "(x) > 0 si x > 2� et f(x) est
convexe sur ]2� ; +oo[.
f "(x)
< 0 si x < 2� et f(x) est
concave sur ]0 ; 2� [.
f "(x) s'annule et change de
signe pour 2x2-4
=0 soit x = 2�.
Le point de coordonn�es 2� et f(2� ) =2-6*2�
+4 ln(2�) ~ -5,1 est un point d'inflexion.
b. On note A le point de
coordonn�es(2� ; f(2�).
Soit t un r�el strictement positif tel que t diff�re de 2�.
Soit M le point de coordonn�es (t ; f (t )).
En utilisant la question 4. a, indiquer, selon la valeur de t , les
positions relatives du segment [AM] et de la courbe Cf
Si k appartient � ]0 ; 2�
[, AMk est une corde � la courbe d'une fonction concave : AMk
est en dessous de Cf.
Si k appartient � ] 2� ; +oo[, AMk
est une corde � la courbe d'une fonction convexe : AMk est
au dessus de Cf.
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Soit f la fonction d�finie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
f (x) = x ln(x)−x −2.
On admet que la fonction f est deux fois d�rivable sur ]0 ; +∞[.
On note f œ' sa d�riv�e, f "œœ sa d�riv�e seconde et Cf sa courbe repr�sentative dans un rep�re.
1. a. D�montrer que, pour tout x appartenant � ]0 ; +∞[, on a f '(x) = ln(x).
D�riv�e de x ln(x) : on pose u = x et v = ln(x) ; u' = 1 ; v' = 1 /x.
u'v+v'u = ln(x)+1.
f '(x) = ln(x) +1 -1 = ln(x).
b. D�terminer une �quation de la tangente T � la courbe Cf au point d’abscisse x =e.
Coefficient directeur de T : f '(e) = ln(e) = 1.
Equation de T : y = x+b.
Le point de coordon�es ( e ; f(e) =-2) appartient � la tangente.
-2 = e+b ; b = -2-e.
y = x -2-e.
c. Justifier que la fonction f est convexe sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
f "(x) =1 /x.
f "(x) >0 sur ]0 ; +oo[, donc f est convexe sur cet intervalle.
d. En d�duire la position relative de la courbe Cf et de la tangente T.
La fonction �tant convexe, la courbe Cf est au dessus de la tangente T.
2. a. Calculer la limite de la fonction f en 0.
-x-2 tend vers -2 ;
ln(x) tend vers -oo ; par produit des limites x ln(x) tend vers z�ro.
f(x) tend vers -2.
b. D�montrer que la limite de la fonction f en +∞est �gale � +∞.
f(x) = x(ln(x) -1-2 /x).
-2 /x tend vers z�ro ;
ln(x) tend vers +oo ; ln(x) -1 tend vers plus l'infini ;
par produit des limites x ln(x) tend vers +oo.
f(x) tend vers +oo.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
4. a. D�montrer que l’�quation f (x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle ]0 ; +∞[. On note a cette solution.
Sur l'intervalle ]1 ; +∞[, f(x) est continue car d�rivable et strictement
croissante de -3 � +oo.
D'apr�s le th�or�me des valeurs interm�diaires, il existe un seul r�el a de l'intervalle ]0 ; +∞[
tel que f(a) = 0.
b. Justifier que le r�el a appartient � l’intervalle ]4,3; 4,4[.
f(4,3) =4,3 ln(4,3) -4,3 -2 ~ -0,027.
f(4,4) =4,4 ln(4,4) -4,4 -2 ~ 0,119.
D'apr�s le th�or�me des valeurs interm�diaires, a appartient � l'intervalle ]04,3 ; 4,4[ .
c. En d�duire le signe de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
Si x < a, f(x) < 0 ; Si x > a, f(x) > 0 ; si x < a, f(x) < 0 ; si x = a, f(x) = 0.
5. On consid�re la fonction seuil suivante �crite dans le langage Python :
On rappelle que la fonction log du module math (que l’on suppose import�) d�signe la fonction logarithme n�p�rien ln.
def seuil(pas) :
x=4.3
while x*log (x) - x - 2 < 0:
x=x+pas
return x
Quelle est la valeur renvoy�e � l’appel de la fonction seuil(0.01)?
Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
La fonction seuil(0,01) renvoie 4,32.
On trouve l'encadrement de a au centi�me : 4,32 < a < 4,33.
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