Math�matiques, suites et fonctions, bac Nlle Cal�donie 2022.

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1. On consid�re la suite (un) d�finie pour tout entier naturel n par
un =(−1)n/(n+1)
On peut affirmer que :
a. la suite (un) diverge vers +∞.
b. la suite (un) diverge vers −∞.
c. la suite (un) n’a pas de limite.
d. la suite (un) converge. Vrai.
-1 < (-1)n < 1.
-1/(n+1) < un < 1 / (n+1).
D'apr�s le th�or�me des gendarmes, un tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini.

Dans les questions 2 et 3, on consid�re deux suites (vn) et (wn) v�rifiant la relation :
wn = exp(−2vn) +2.
2. Soit a un nombre r�el strictement positif. On a v0 = ln(a).
a. w0 =1/a2+2 vrai
b. w0 =1/(a2+2)
c. w0 = −2a +2
 d. w0 =1/(−2a)+2.
w0=exp(-2ln(a)) +2 = 1/ exp[2ln(a)] +2 = 1/ exp(ln(a)2)+2 =1/a2+2.

3. On sait que la suite (vn) est croissante. On peut affirmer que la suite (wn) est :
a. d�croissante et major�e par 3.
 b. d�croissante et minor�e par 2 . Vrai.
c. croissante et major�e par 3 .
d. croissante etminor�e par 2.
vn < vn+1 ; -2vn > -2vn+1 ;
exp(-2vn) > exp(-2vn+1).
wn est donc d�croissante ; la fonction exponentielle �tant strictement positive, exp(-2vn) > 0 et wn > 2.

4. On consid�re la suite (an) ainsi d�finie :
a0 = 2 et, pour tout entier naturel n, an+1 =1 / 3 an + 8 / 3.
Pour tout entier naturel n,on a :
a. an = 4�‹(1/3)n-2.
 b. an = -2 /3n+4. Vrai
c. an = 4−‹(1/3)n
d. an = 2�‹(1/3)n+ 8n/ 3.
Soit la suite (bn) telle que bn = an +� ; bn+1=1 / 3 an + 8 / 3+ �= 1 /3(bn-�)+ 8 / 3+ �=1/3 bn-� /3+8 /3 +� =1/3 bn+(8+2�) /3.
En prenant � = -4, bn+1 = bn /3, il s'agit d'une suite g�om�trique de raison 1 /3 et de premier terme b0 = a0 -4 = -2.
bn= -2(1/3)n ; an =bn-� =4-2(1/3)n.

5. On consid�re une suite (bn) telle que, pour tout entier naturel n, on a :
bn+1 = bn +lnŒ [2 / (bn2 +3)].‘
On peut affirmer que :
a. la suite (bn) est croissante.
 b. la suite (bn) est d�croissante. Vrai
c. la suite (bn) n’est pas monotone.
d. Le sens de variation de la suite (bn) d�pend de b0.
bn+1-bn =lnΠ[2 / (bn2 +3)].
bn2 > 0 ; bn2+3 > 3 > 2 ; 2 / (bn2 +3) < 1 ; lnΠ[2 / (bn2 +3)] < 0.
bn+1-bn < 0 , la suite est d�croissante.

6. On consid�re la fonction g d�finie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
g(x) =ex/x.
On note Cg la courbe repr�sentative de la fonction g dans un rep�re orthogonal.
La courbe Cg admet :
a. une asymptote verticale et une asymptote horizontale.
b. une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale. Vrai
c. aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.
d. aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
Si x tend vers O+, ex tend vers 1 et ex /x tend vers +oo ;
si x tend vers O-, ex tend vers 1 et ex /x tend vers -oo ;
l'axe des ordonn�es est asymptote verticale � la courbe Cg.
Si x tend vers -oo, ex tend vers z�ro et ex /x tend vers z�ro.
Si x tend vers +oo, ex tend vers +oo et ex /x tend vers +oo par croissance compar�e ; donc pas d'asymptote.

 7. Soit f la fonction d�finie sur R par
f (x) = x exp(x2+1).
Soit F une primitive sur R de la fonction f . Pour tout r�el x, on a :
a. F(x) =0,5 x2exp(x2+1).
On d�rive en posant u = 0,5 x2 et v = exp(x2+1).
u' = x ; v' =2x exp(x2+1).
u'v +v'u = x exp(x2+1) +x3 exp(x2+1).
b. F(x) =(1+2x2) exp(x2+1).
On d�rive en posant u = 1+2 x2 et v = exp(x2+1).
u' = 4x ; v' =2x exp(x2+1).
u'v +v'u = 4x exp(x2+1) +2x(1+2x2) exp(x2+1).
c. F(x) =exp(x2+1).
On d�rive : F '(x) =2x exp(x2+1).
 d. F(x) =0,5 exp(x2+1). Vrai
On d�rive : f(x) =0,5 *2x exp(x2+1)= x exp(x2+1).

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 On consid�re la fonction f d�finie sur R par
f (x) = x3 e x .
On admet que la fonction f est d�rivable sur R et on note f ′ sa fonction d�riv�e.
1. On d�finit la suite (un) par u0 = −1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = f (un).
a. Calculer u1 puis u2.
On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs approch�es � 10−3.
u1=f(-1)= -1/e ~ -0,368.
u2 = f(-1/e)=-1/ e3 exp(-1/e) ~ -0,034.
b. On consid�re la fonction fonc, �crite en langage Python ci-dessous.
On rappelle qu’en langage Python,
� i in range (n) � signifie que i varie de 0 � n -1.
def fonc (n)
u = - 1
for i in range(n):
u=u**3*exp(u)
return u
D�terminer, sans justifier, la valeur renvoy�e par fonc (2) arrondie � 10−3.
fonc(2) renvoie u2 ~ -0,034.
2. a. D�montrer que, pour tout x r�el, on a f ′(x) = x2 e x (x +3).
On pose u = x3 et v = ex ; u' = 3x2 et v' = ex.
u'v+v'u=(3x2 +x3)ex = x2 e x (x +3).
b. Justifier que le tableau de variations de f sur R est celui repr�sent� ci-dessous :

x2 e x �tant positif ou nul, f '(x) a le signe de x+3.
Si x < -3, f '(x) <0 et f(x) est strictement d�croissante de 0 � f(-3) = -27e-3.
Si x > -3, f '(x) > 0 et f(x) est strictement croissante de  -27e-3 � +oo.
Si x = -3, f '(x) = 0 et f(x) pr�sente un minimum.
c. D�montrer, par r�currence, que pour tout entier naturel n, on a : −1< un < un+1 < 0.
Initialisation : u1 = -0,368 ; u2 = -0,034. La prorpi�t� est vraie au rang z�ro.
H�r�dit� : −1<un <un+1 < 0 est suppos�e vraie.
La fonction f(x) �tant strictement croissante sur ]-3 ; +oo[ :
f(−1) < f(un ) < f(un+1 ) <  f(0).
-0,368 < f(un ) < f(un+1 ) <  0.
-0,368 < un+1   <  un+2  <  0.
-1 < un+1   <  un+2  <  0.
La prorpi�t� est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, elle est donc vraie pour tout entier n.
d. En d�duire que la suite (un) est convergente.
La suite est  croissante et born�e par z�ro, donc elle converge.
e. On note l la limite de la suite (un).
On rappelle que ℓ est solution de l’�quation f (x) = x.
D�terminer ℓ . Pour cela, on admettra que l’�quation x2 e x −1 = 0 poss�de une seule solution dans R et que celle-ci est strictement sup�rieure � 0,5.
On r�sout sur [-1 ; 0] l'�quation f(x) = x.
x3 e x  = x.
x(x2ex - 1)=0.
x = 0 est la seule solution dans [-1 ; 0] car la solution de x2ex - 1 est sup�rieure � 0,5.
La limite de la suite est donc l = 0.


  
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