Math�matiques, g�om�trie dans l'espace, bac Nlle Cal�donie 2022.

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Une maison est constitu�e d’un parall�l�pip�de rectangle ABCDEFGH surmont� d’un prisme
EFIHGJ dont une base est le triangle EIF isoc�le en I.
Cette maison est repr�sent�e ci-dessous.

1. Donner les coordonn�es du point G.
G(3 ; 2 ; 1).
2. Le vecteur n de coordonn�es (2 ; 0 ; −3) est vecteur normal au plan (EHI).
D�terminer une �quation cart�sienne du plan (EHI).
2x -3z+d = 0.
E(0 ; 0 ; 1) appartient � ce plan : 2xE -3zE+d = 0.
-3+d=0 ; d=3.
2x -3z+3 = 0.
3. D�terminer les coordonn�es du point I.
Le triangle EIF est isoc�le en I : xI = AB / 2 = 1,5.
I appartient � la fa�ade avant de la maison : yI = 0.
I appartient au plan ( EHI ) : 2xI -3zI+3 = 0.
2 *1,5 -3zI +3 = 0 ; zI = 2.
I( 1,5 ; 0 ; 2).
4. D�terminer une mesure au degr� pr�s de l’angle EIF= 2 �.
tan � =EL / IL = 1,5 / 1 =2 ; � ~56,3 ; 2 � ~113�.
5. Afin de raccorder la maison au r�seau �lectrique, on souhaite creuser une tranch�e rectiligne depuis un relais �lectrique situ� en contrebas de la maison.
Le relais est repr�sent� par le point R de coordonn�es (6 ; −3 ; −1).
La tranch�e est assimil�e � un segment d’une droite D passant par R et dirig�e par levecteur u de coordonn�es (−3 ; 4 ; 1). On souhaite v�rifier que la tranch�e atteindra la maison au niveau de l’ar�te [BC].
a. Donner une repr�sentation param�trique de la droite D.
x = -3t +xR =-3t+6.
y = 4t+yR = 4 t -3.
z = r+zR = t-1 avec t r�el.
b. On admet qu’une �quation du plan (BFG) est x = 3.
Soit K le point d’intersection de la droite D avec le plan (BFG).
D�terminer les coordonn�es du point K.
K appartient au plan (BGF), donc xK = 3.
K appartient � la droite D : xK = 3=-3t+6 ; t =1.
yK = 4-3=1 ; zK =1-1=0.
K(3 ; 1 ; 0).
c. Le point K appartient-il bien � l’ar�te [BC] ?
 (xB+xC) / 2 =(3+3) / 2 = 3=xK.
 (yB+yC) / 2 =(0+2) / 2 = 1=yK.
 (zB+zC) / 2 =(0+0) / 2 = 0=zK.
K est le milieu du segment [BC].

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 Une maison est mod�lis�e par un parall�l�pip�de rectangle ABCDEFGH surmont� d’unepyramide EFGHS.

1. Donner, sans justifier, les coordonn�es des points B, E, F et G.
B(6 ; 4 ; 0) ; E(0 ; 4 ; 4) ; F(6 ; 4 ; 4) ; G(6 ; 0 ; 4).
2. D�montrer que le volume de la pyramide EFGHS repr�sente le septi�me du volume total de la maison.
Volume du parall�l�pip�de : 4 x4 x6 = 96 m3.
Volume de la pyramide de base 24 m2 et de hauteur 2 m : 24 x2 / 3 = 16 m3.
Volume total : 96+16=112 m3.
16 /112=1 / 7.
3. a. D�montrer que le vecteur n de coordonn�es(0 ; 1 ; 1)  est normal au plan (EFS).

b. En d�duire qu’une �quation cart�sienne du plan (EFS) est y +z −8 = 0.
0 x +y + z +d = 0.
E(0 ; 4 ; 4 ) appartient � ce plan : yE + zE +d = 0.
4+4+d = 0 ; d = -8.
4. On installe une antenne sur le toit, repr�sent�e par le segment [PQ]. On dispose des
donn�es suivantes :
● le point P appartient au plan (EFS) ;
● le point Q a pour coordonn�es (2; 3; 5,5) ;
● la droite (PQ) est dirig�e par le vecteur k .
a. Justifier qu’une repr�sentation param�trique de la droite (PQ) est :
x = 2 ; y = 3 ; z = 5,5+t (t ∈ R).
Le vecteur k( 0 ; 0 ; 1) est un vecteur directeur de cette droite et le point Q appartient � cette droite :
x = 0 t+xQ ; x = 2.
y = 0 t +yQ ; y = 3.
z = t +zQ = t +5,5.
b. En d�duire les coordonn�es du point P.
Le point P appartient au plan (EFS)  : yP+zP-8=0.
Le point P appartient � la droite (PQ) : xP = 2 ; yP = 3 ; zP = t+5,5.
3+t+5,5-8=0 ; t = -0,5.
P(2 ; 3 ; 5).
c. En d�duire la longueur PQ de l’antenne.
PQ = [(2-2)2 +(3-3)2 +(5,5-5)2]� =0,5.
Un oiseau vole en suivant une trajectoire mod�lis�e par la droite D dont une repr�sentation param�trique est :
x = -4+6s ;
y = 7-4s ;
z = 2+4s avec s r�el.
D�terminer la position relative des droites (PQ) et D.
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite (PQ) : (0 ; 0 ; 1).
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite (D) : (6 ; -4 ; 4).
Ces deux droites ne sont pas parall�les, elles sont donc s�cantes.
L’oiseau va-t-il percuter l’antenne repr�sent�e par le segment [PQ] ?
Si l'oiseau percute l'antenne :
2 = -4+6s ; s =1.
7 -4s = 3.
2+4s =6 = t+5,5 soit t = 0,5.
Coordonn�es du point de percussion ( point commun � ces deux droites) : (2 ; 3 ; 6).
Or P a pour c�te z = 5 et Q a pour c�te z = 5,5.
6 n'appartient pas � [5 ; 5,5], donc l'oiseau ne percute pas l'antenne ; il passe au dessus.


  
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