Math�matiques,
probabilit�s, bac Nlle Cal�donie 2022.
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QCM.
On consid�re un syst�me de communication binaire transmettant des 0 et des 1.
Chaque 0 ou 1 est appel� bit.
En raison d’interf�rences, il peut y avoir des erreurs de transmission :
un 0 peut �tre re�u comme un 1 et, de m�me, un 1 peut �tre re�u comme un 0.
Pour un bit choisi au hasard dans le message, on note les �v�nements :
• E0 : � le bit envoy� est un 0 �;
• E1 : � le bit envoy� est un 1 �;
• R0 : � le bit re�u est un 0 �
• R1 : � le bit re�u est un 1 �.
On sait que :
p (E0)= 0,4; pR0 (R1) = 0,01; pR1 (R0) = 0,02.
On rappelle que la probabilit� conditionnelle de A sachant B est not�e pB(A).
On peut ainsi repr�senter la situation par l’arbre de probabilit�s ci-dessous.
1. La probabilit� que le bit envoy� soit un 0 et que le bit re�u soit un 0 est �gale � :
a. 0,99 ; b. 0,396 vrai ; c. 0,01 ; d. 0,4.
2. La probabilit� p (R0) est �gale � :
a. 0,99 ; b. 0,02 ; c. 0,408 vrai ; d. 0,931.
Loi des probabilit�s totales : 0,396 +0,012 =0,408.
3. Une valeur, approch�e au milli�me, de la probabilit� pR1 (E0) est �gale
a. 0,004 ; b. 0,001 ; c. 0,007 vrai ; d. 0,010.
p(R1) = 1 - P(R0) =1-0,408=0,592.
pR1 (E0)=p(E0 n R1) / P(R1) =0,4 x0,01 / 0,592~0,007.
4. La probabilit� de l’�v�nement � il y a une erreur de transmission � est �gale � :
a. 0,03 ; b. 0,016 vrai ; c. 0,16 ; d. 0,015.
0,004 +0,012 = 0,016.
Un message de longueur huit bits est appel� un octet.
On admet que la probabilit� qu’un octet soit transmis sans erreur est �gale � 0,88.
5. On transmet successivement 10 octets de fa�on ind�pendante. La probabilit� , � 10 -3 pr�s, qu'exactement 7 octets soient transmis sans erreur est �gale � :
a.0,03 ; b. 0,016 ; c.0,16 ; d. 0,085 vrai .
On a une loi binomiale de param�tres n = 10 et p = 0,88.
Si x est la variable al�atoire
�gal au nombre d’octets transmis sans erreur, on a :
p(X = 7) =(
10
7)
� 0,88 7 � (1 − 0,88) 10−7 ≈ 0,085.
6. On transmet successivement 10 octets de fa�on ind�pendante.
La probabilit� qu'au moins un octet soit transmis sans erreur est �gale � :
a. 1-0,1210 vrai; b. $0,12^{10} ; c. 0,88 10 ; d. 1-0,88 10.
p(X > 1) =1-p(X=0=1-0,1210.
7. Soit N un entier naturel. On transmet successivement N octets de fa�on ind�pendante.
Soit N0 la plus grande valeur de N pour laquelle la probabilit� que les octets soient tous transmis sans erreur est sup�rieure ou �gale � 0,1.
On peut affirmer que :
a. N0 = 17 ; b. N0 = 18 vrai ; c. N0 = 19 ; d. N0 = 20.
On appelle Y la variable al�atoire comptant le nombre d'octets transmis sans erreur.
Y suit la loi binomiale ( N ; p = 0,88).
P(Y = N) >0,1 ; 0,88 N > 0,1 ; N ln( N) > ln (0,1) ; N < ln(0,1) / ln(0,88) ; N 0 = 18.
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Au basket-bail, il existe deux sortes de tir :
— les tirs � deux points.
Ils sont r�alis�s pr�s du panier et rapportent deux points s’ils sont r�ussis.
— les tirs � trois points.
Ils sont r�alis�s loin du panier et rapportent trois points s’ils sont r�ussis.
St�phanie s’entra�ne au tir. On dispose des donn�es suivantes :
● Un quart de ses tirs sont des tirs � deux points. Parmi eux, 60% sont r�ussis.
● Trois quarts de ses tirs sont des tirs � trois points. Parmi eux, 35 % sont r�ussis.
1. St�phanie r�alise un tir.
On consid�re les �v�nements suivants :
D : � Il s’agit d’un tir � deux points �.
R : � le tir est r�ussi �.
a. Repr�senter la situation � l’aide d’un arbre de probabilit�s.
b. Calculer la probabilit� p (non ‰D ∩RŽ).
0,75 x 0,35=0,2625.
c. D�montrer que la probabilit� que St�phanie r�ussisse un tir est �gale � 0,4125.
Loi des probabilit�s totales : 0,15 +0,2625=0,4125.
d. St�phanie r�ussit un tir. Calculer la probabilit� qu’il s’agisse d’un tir � trois points. Arrondir le r�sultat au centi�me.
PR( non D) = P(R n non D) / P(R) = 0,2625 / 0,4125 ~0,64.
2. St�phanie r�alise � pr�sent une s�rie de 10 tirs � trois points.
On consid�re que les tirs sont ind�pendants. On rappelle que la
probabilit� que St�phanie r�ussisse un tir � trois points est �gale �
0,35.
a. Justifier que X suit une loi binomiale. Pr�ciser ses param�tres.
On r�p�te 10 fois de mani�re ind�pendante la m�me exp�rience de Bernoulli. X suit la loi binomiale de param�tres n=10 ; p =0,35.
b. Calculer l’esp�rance de X. Interpr�ter le r�sultat dans le contexte de l’exercice.
Esp�rance E(X) = n p = 10 x0,35 = 3,5.
Sur 100 tirs � trois points, elle r�ussit en moyenne 35 tirs.
c. D�terminer la probabilit� que St�phanie rate 4 tirs ou plus. Arrondir le r�sultat au centi�me.
P(X < 6) = 0,97.
d. D�terminer la probabilit� que St�phanie rate au plus 4 tirs. Arrondir le r�sultat au centi�me.
P(X > 6) =1- P(X < 5) ~ 0,09.
3. Soit n un entier naturel non nul.
St�phanie souhaite r�aliser une s�rie de n tirs � trois points.
On consid�re que les tirs sont ind�pendants. On rappelle que la
probabilit� qu’elle r�ussisse un tir � trois points est �gale � 0,35.
D�terminer la valeur minimale de n pour que la probabilit� que
St�phanie r�ussisse au moins un tir parmi les n tirs soit sup�rieure ou
�gale � 0,99.
Soit Y la variable al�atoire qui compte le nombre de tirs r�ussis. Y suit la loi binomiale de param�tres n ; p = 0,35.
P(Y > 1) > 0,99.
1-P(Y=0) > 0,99.
P(Y=0) < 0,01.
0,65n < 0,01.
n ln(0,65) < ln(0,01).
ln(0,01) / ln(0,65) ~ 10,7.
Donc n = 11.
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