Mathématiques, probabilités, bac Nlle Calédonie 2022.

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QCM.
On considère un système de communication binaire transmettant des 0 et des 1.
Chaque 0 ou 1 est appelé bit.
En raison d’interférences, il peut y avoir des erreurs de transmission :
un 0 peut être reçu comme un 1 et, de même, un 1 peut être reçu comme un 0.
Pour un bit choisi au hasard dans le message, on note les évènements :
• E0 : « le bit envoyé est un 0 »;
• E1 : « le bit envoyé est un 1 »;
• R0 : « le bit reçu est un 0 »
• R1 : « le bit reçu est un 1 ».
On sait que :
p (E0)= 0,4; pR0 (R1) = 0,01; pR1 (R0) = 0,02.
On rappelle que la probabilité conditionnelle de A sachant B est notée pB(A).
On peut ainsi représenter la situation par l’arbre de probabilités ci-dessous.

1. La probabilité que le bit envoyé soit un 0 et que le bit reçu soit un 0 est égale à :
a. 0,99 ; b. 0,396 vrai ; c. 0,01 ; d. 0,4.
2. La probabilité p (R0) est égale à :
a. 0,99 ; b. 0,02 ; c. 0,408 vrai ; d. 0,931.
Loi des probabilités totales : 0,396 +0,012 =0,408.
3. Une valeur, approchée au millième, de la probabilité pR1 (E0) est égale
a. 0,004 ; b. 0,001 ; c. 0,007 vrai ; d. 0,010.
p(R1) = 1 - P(R0) =1-0,408=0,592.
pR1 (E0)=p(E0 n R1) / P(R1) =0,4 x0,01 / 0,592~0,007.
4. La probabilité de l’évènement « il y a une erreur de transmission » est égale à :
a. 0,03 ; b. 0,016 vrai ; c. 0,16 ; d. 0,015.
0,004 +0,012 = 0,016.
Un message de longueur huit bits est appelé un octet.
 On admet que la probabilité qu’un octet soit transmis sans erreur est égale à 0,88.
 5. On transmet successivement 10 octets de façon indépendante. La probabilité , à 10-3 près, qu'exactement 7 octets soient transmis sans erreur est égale à :
a.0,03 ; b. 0,016 ; c.0,16 ; d. 0,085 vrai .
On a une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,88.
Si x est la variable aléatoire égal au nombre d’octets transmis sans erreur, on a :
p(X = 7) =( 10 7) × 0,887 × (1 − 0,88)10−7  ≈ 0,085.

6. On transmet successivement 10 octets de façon indépendante.
La probabilité qu'au moins un octet soit transmis sans erreur est égale à :
a. 1-0,1210 vrai; b. $0,12^{10} ; c. 0,8810 ; d. 1-0,8810.
p(X > 1) =1-p(X=0=1-0,1210.

7. Soit N N un entier naturel. On transmet successivement N N octets de façon indépendante.
Soit N0 N0 la plus grande valeur de N N pour laquelle la probabilité que les N octets soient tous transmis sans erreur est supérieure ou égale à 0,10,1.
On peut affirmer que :
a.
N0 = 17 ; b. N0 = 18 vrai ; c. N0 = 19 ; d. N0 = 20.
N0=17
On appelle Y la variable aléatoire comptant le nombre d'octets transmis sans erreur.
Y suit la loi binomiale ( N ; p = 0,88).
P(Y = N) >0,1 ; 0,88N > 0,1 ; N ln( N) > ln (0,1) ; N < ln(0,1) / ln(0,88) ; N0 = 18.

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Au basket-bail, il existe deux sortes de tir :
— les tirs à deux points.
Ils sont réalisés près du panier et rapportent deux points s’ils sont réussis.
— les tirs à trois points.
Ils sont réalisés loin du panier et rapportent trois points s’ils sont réussis.
Stéphanie s’entraîne au tir. On dispose des données suivantes :
● Un quart de ses tirs sont des tirs à deux points. Parmi eux, 60% sont réussis.
● Trois quarts de ses tirs sont des tirs à trois points. Parmi eux, 35 % sont réussis.
1. Stéphanie réalise un tir.
On considère les évènements suivants :
D : « Il s’agit d’un tir à deux points ».
R : « le tir est réussi ».
a. Représenter la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.

b. Calculer la probabilité p (non ‰D ∩RŽ).
0,75 x 0,35=0,2625.
c. Démontrer que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir est égale à 0,4125.
Loi des probabilités totales : 0,15 +0,2625=0,4125.
d. Stéphanie réussit un tir. Calculer la probabilité qu’il s’agisse d’un tir à trois points. Arrondir le résultat au centième.
PR( non D) = P(R n non D) / P(R) = 0,2625 / 0,4125 ~0,64.

2. Stéphanie réalise à présent une série de 10 tirs à trois points.
On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir à trois points est égale à 0,35.
a. Justifier que X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
On répète 10 fois de manière indépendante la même expérience de Bernoulli. X suit la loi binomiale de paramètres n=10 ; p =0,35.
b. Calculer l’espérance de X. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
Espérance E(X) = n p = 10 x0,35 = 3,5.
Sur 100 tirs à trois points, elle réussit en moyenne 35 tirs.
c. Déterminer la probabilité que Stéphanie rate 4 tirs ou plus. Arrondir le résultat au centième.
P(X < 6) = 0,97.
d. Déterminer la probabilité que Stéphanie rate au plus 4 tirs. Arrondir le résultat au centième.
P(X > 6) =1- P(X < 5) ~ 0,09.

3. Soit n un entier naturel non nul.
Stéphanie souhaite réaliser une série de n tirs à trois points.
On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité qu’elle réussisse un tir à trois points est égale à 0,35.
Déterminer la valeur minimale de n pour que la probabilité que Stéphanie réussisse au moins un tir parmi les n tirs soit supérieure ou égale à 0,99.
Soit Y la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis. Y suit la loi binomiale de paramètres n ; p = 0,35.
P(Y > 1) > 0,99.
1-P(Y=0) > 0,99.
P(Y=0) < 0,01.
0,65n < 0,01.
n ln(0,65) < ln(0,01).
ln(0,01) / ln(0,65) ~ 10,7.
Donc n = 11.



  
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