Des satellites pour mieux conna�tre les oc�ans.
Les ondes gravitationnelles d�tect�es par interf�rom�trie, bac Nlle Cal�donie 2022.

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L'altim�trie par satellite est aujourd'hui l'un des outils les plus pr�cieux pour l'oc�anographie. � bord du satellite est embarqu� un radar. Il mesure avec une pr�cision remarquable (environ 2 cm) la hauteur des oc�ans.
On �tudie, dans cet exercice, les mouvements de deux satellites altim�triques.
Fruit d’une collaboration internationale entre les �tats- Unis et l’Europe, Jason-CS/Sentinel-6, est le dernier n� des satellites altim�triques.
Con�u pour mesurer la hauteur des oc�ans avec une pr�cision de l’ordre du cm, il se d�place � une vitesse proche de 2,59 � 104 km�h-1 sur une orbite circulaire, � une altitude h = 1 336 km, et repasse tous les dix jours au-dessus du m�me point.
La masse du satellite Jason-CS/Sentinel-6 est �gale � , m= 1 440 kg.
Donn�es :
 masse de la terre : M= 5,97 � 1024 kg ;
 rayon terrestre : R = 6,38 � 103 km ;
constante de gravitation universelle : G = 6,67 � 10–11 m3∙kg-1∙s-2.
1. Donner, l’expression de la force gravitationnelle qui s’applique au satellite Jason- CS/Sentinel-6 dans le rep�re de Frenet associ�. Repr�senter, sans souci d’�chelle,cette force et le rep�re de Frenet.
2. Montrer que, dans un r�f�rentiel judicieusement choisi, le mouvement du satellite consid�r� est circulaire uniforme.
3. �tablir l’expression du vecteur vitesse du satellite. Le repr�senter, sans souci d’�chelle.
On pose r = R +h.

4. D�terminer le nombre de fois que le satellite parcourt son orbite avant de repasser au dessus du m�me point.
Le satellite d�crit la circonf�rence 2 p (R+h) � la vitesse v  pendant la dur�e T.
2 p (R+h)= v T ; T =2 p (R+h) / v.
R+h =6,38 103 +1336=7 716 km = 7,716 106 m.
v =2,59 104/3,6= 7,194 103 m /s.
T = 2 x3,14 x7,716 106 / (7,194 103) =6,74 103 s ou 1,87 heures.
10 jours = 240 h ; 240 /1,87~128 orbites.

Topex-Pos�idon a �t� le premier satellite d’altim�trie de pr�cision r�alis� par la NASA et le CNES. Lanc� le 10 ao�t 1992, les 2 400 kg du satellite ont �t� plac�s sur une orbite circulaire � 1 336 km du sol. Il a fourni des donn�es jusqu’en 2005.
5. Comparer la vitesse du satellite Topex-Pos�idon � celle du satellite Jason-CS/Sentinel-6.
Justifier simplement votre r�ponse, sans calculs.
v2 =GM / (R+h) ; l'altitude des deux satellites est identique ; ils d�crivent tous deux une orbite circulaire autour de la terre ; ils ont la m�me vitesse.

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 Les ondes gravitationnelles d�tect�es par interf�rom�trie.
LIGO et VIRGO sont deux interf�rom�tres, situ�s, respectivement aux �tats-Unis et en Italie. Ils ont pour but la d�tection d’ondes gravitationnelles. Ces ph�nom�nes, dont Einstein avait pr�dit l’existence en 1916, ont �t� observ�s pour la premi�re fois en 2015 au LIGO. Il s’agit de ph�nom�nes de propagation de nature complexe qui se produisent lors de la r�union de trous noirs ou d’explosion de supernov�. Ces ondes gravitationnelles sont capables de d�placer des corps massifs mais ces d�placements sont imperceptibles � �chelle humaine.
La description de l’interf�rom�tre VIRGO permet de comprendre le principe de la mesure.
Il est compos� de deux tubes sous vide de 3 kilom�tres de long dispos�s � angle droit.
Aux extr�mit�s sont install�s deux miroirs parmi les plus parfaits au monde. Un faisceau laser, �mis par une source, est divis� en deux gr�ce � un diviseur de faisceau. Les rayons ainsi produits se r�fl�chissent sur un des miroirs, et sur l’autre. Apr�s leurs allers-retours,
ces deux rayons laser se combinent et forment des interf�rences avant d’atteindre le d�tecteur.

Le principe de VIRGO consiste donc � faire interf�rer les deux rayons qui ont �t� r�fl�chis sur les deux miroirs diff�rents. Les miroirs sont positionn�s de fa�on � ce que les deux faisceaux interf�rent, en l’absence d’onde gravitationnelle, de fa�on destructive au niveau du d�tecteur.
Afin de comprendre le principe de fonctionnement de l’interf�rom�tre VIRGO, un dispositif avec des fentes d’Young est r�alis� au laboratoire. Une lumi�re laser de longueur d’onde l �claire deux fentes �troites S1 et S2 situ�es � �gales distances de la source S et s�par�es de la distance 4. Le point P, proche de O, est rep�r� sur un �cran �loign� d’une distance D des deux sources telle que D >> d.

Donn�es :
 distance entre les fentes et l’�cran : D = 2,0 m
 distance entre les centres des fentes : d = 0,20 mm
 longueur d’onde du laser : l = 6,0 � 10-7 m
dans le cas de l’exp�rience, S2P-S1P est la diff�rence entre les deux distances parcourues par les deux ondes.
Elle s’exprime par la relation approximative :
S2P-S1P=d xP / D
On consid�re, dans un premier temps, le point P tel que la diff�rence S2P-S1P a pour valeur 1,5 � 10-6 m.
1. D�terminer si les interf�rences en P sont constructives ou destructives. Pr�ciser ce qui sera observ� en P sur l’�cran.
(S2P-S1P ) / l =1,5 10-6 / (6,0 10-7) =2,5.
La diff�rence de marche �tant �gale � un nombre impair de demi-longueur d'onde, les interf�rences sont destrutrices. ( absence de lumi�re en P).
2. Calculer la valeur de l’abscisse xP du point P.
xP =(S2P-S1P)D / d =1,5 10-6 x2,0 / (2,0 10-4 )=1,5 10-2 m = 1,5 cm.
3. Donner les valeurs des abscisses les plus proches de celle de P o� le m�me ph�nom�ne est observable. En d�duire la valeur de l’interfrange i.
(S2P-S1P ) / l =1,5.
S2P-S1P =1,5 x6,0 10-7 =9 10-7 m.
xP =(S2P-S1P)D / d =9 10-7 x2,0 / (2,0 10-4 )=9 10-3 m = 0,9 cm.
(S2P-S1P ) / l =3,5.
S2P-S1P =3,5 x6,0 10-7 =2,1 10-6 m.
xP =(S2P-S1P)D / d =2,1 10-6 x2,0 / (2,0 10-4 )=2,1 10-2 m = 2,1 cm.
i = 1,5 -0,9 = 0,6 cm; ou bien i = 2,1 -1,5 = 0,6 cm.

On ajoute sur le chemin S1P un objet transparent qui ralentit la lumi�re et modifie ainsi le d�phasage entre les deux ondes issues de S1 et S2. Ce d�phasage peut �tre mod�lis� par une nouvelle valeur S2P-S1P = 1,2 � 10-6 m.
4. Pr�ciser le changement observ� sur l’�cran au point P.
(S2P-S1P ) / l =1,2 10-6 / (6,0 10-7) =2.
La diff�rence de marche �tant �gale � un nombre pair de demi-longueur d'onde, les interf�rences sont construtices. ( maximum de lumi�re en P)
5. Expliquer comment cette exp�rience permet de comprendre le principe de l’interf�rom�tre gravitationnel.
Le passage de l'onde gravitationnelle provoque un faible �cartement des deux miroirs et les ondes lumineuses r�fl�chies par les miroirs interf�rent de mani�re diff�rente.

  
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