Math�matiques,
g�om�trie, probabilit�s, Bac centres �trangers
2022.
Arabie saoudite, Bahre�n, Chypre, �thiopie,
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Dans
l’espace, rapport� � un rep�re orthonorm�, on consid�re les points :
A(2 ; 0 ; 3), B(0 ; 2 ; 1),C(−1 ; −1 ; 2) et D(3 ; −3 ; −1).
1. Calcul d’un angle
a. Calculer les
coordonn�es des vecteurs suivants et en d�duire que les points A, B et
C ne
sont pas align�s.
Donc les points A, B et C ne sont pas align�s.
b. Calculer les
longueurs AB et AC.
AB = [(-2) 2 +2 2+(-2) 2] � =12 �
= 2 *3 �.
AC = [(-3)2
+(-1)2+(-1)2]� =11�.
c. � l’aide du produit
scalaire suivant, d�terminer la valeur du cosinus de l’angle BAC puis �
donner une valeur approch�e de la mesure de l’angle BAC au dixi�me de
degr�.
�
2. Calcul d’une aire
a. D�terminer une
�quation du plan P passant par le point C et perpendiculaire � la
droite
(AB).
Equation du plan : -2x+2y-2z +d = 0
C(-1 ; -1 ; 2) appartient � ce plan : 2-2-4+d=0 ; d = 4.
-2x+2y-2z +4 =
0 ou -x+y-z+2=0.
b. Donner une
repr�sentation param�trique de la droite (AB).
x = -2t +x A = -2t+2
y=2t+y A=2t.
z=-2t+z A =-2t+3 avec t r�el.
c. En d�duire
les coordonn�es du projet� orthogonal E du point C sur la droite (AB),
c’est-�dire du point d’intersection de la droite (AB) et du plan P.
-x E+y E-z E+2 =0.
x E = -2t +2.
y E =2t.
z E = -2t+3.
2t-2 +2t+2+2t-3 =0 ; 6t -3=0 ; t =0,5.
xE
=1 ; yE =1 ; zE = 2.
d. Calculer l’aire
du triangle ABC.
CE x AB / 2.
CE =(2 2+2 2+0 2) � =8 �
= 2 *2 �.
AB = 2 *3�.
Aire : 2*6�.
3. Calcul
d’un volume
a. Soit le point
F(1 ; −1 ; 3). Montrer que les points A, B, C et F sont coplanaires.
b. V�rifier que la
droite (FD) est orthogonale au plan (ABC).
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite (FD) :( 2 ; -2 ; -4)
c.
Sachant que le volume d’un t�tra�dre est �gal au tiers de l’aire de sa
base multipli� par sa
hauteur, calculer le volume du t�tra�dre ABCD.
Hauteur FD =(2 2 +(-2) 2 +(-4) 2) �
=24 �=2*6 �.
Base ABC : 2*6 �.
V =24 /3 =8 unt�s de volume.
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Probabilit�s.
Les parties A et B peuvent �tre trait�es de fa�on ind�pendante.
Au cours de la fabrication d’une paire de lunettes, la paire de
verres doit subir deux traitements not�s
T1 et T2.
Partie A
On pr�l�ve au hasard une paire de verres dans la production.
On d�signe par A l’�v�nement : � la paire de verres pr�sente un
d�faut pour le traitement T1 �.
On d�signe par B l’�v�nement : � la paire de verres pr�sente un
d�faut pour le traitement T2 �.
Une �tude a montr� que :
- la probabilit� qu’une paire de verres pr�sente un d�faut pour le
traitement T1 not�e P(A) est
�gale � 0,1.
- la probabilit� qu’une paire de verres pr�sente un d�faut pour le
traitement T2 not�e P(B) est
�gale � 0,2.
- la probabilit� qu’une paire de verres ne pr�sente aucun des deux
d�fauts est 0,75.
1. Recopier et
compl�ter le tableau suivant avec les probabilit�s correspondantes.
|
A
|
non
A
|
Total
|
B
|
0,05
|
0,15
|
0,2
|
non
B
|
0,05
|
0,75
|
0,8
|
Total
|
0,1
|
0,9
|
1
|
2. a. D�terminer,
en justifiant la r�ponse, la probabilit� qu’une paire de verres,
pr�lev�e au hasard dans la production, pr�sente un d�faut pour au moins
un des deux traitements T1 ou
T2.
C'est l"�v�nement contraire de " aucun d�faut " soit 1-0,75 = 0,25.
b. Donner la
probabilit� qu’une paire de verres, pr�lev�e au hasard dans la
production, pr�sente deux d�fauts, un pour chaque traitement T1
et T2.
P(A n B) = 0,05.
c. Les �v�nements
A et B sont-ils ind�pendants ? Justifier la r�ponse.
P(A) x P(B) = 0,1 x 0,2 = 0,02 et P(A n B) =0,05.
Les �v�nements ne sont pas ind�pendants.
3. Calculer la
probabilit� qu’une paire de verres, pr�lev�e au hasard dans la
production, pr�sente
un d�faut pour un seul des deux traitements.
P(A n non B) + P(B n non A) = 0,05 +0,15 = 0,2.
4. Calculer la
probabilit� qu’une paire de verres, pr�lev�e au hasard dans la
production, pr�sente
un d�faut pour le traitement T2, sachant que cette paire de
verres pr�sente un d�faut pour le
traitement T1.
PA(B) =P(A n B) / P(A) =0,05 / 0,1 = 0,5.
Partie B.
On pr�l�ve, au hasard, un �chantillon de 50 paires de verres dans
la production. On suppose que la
production est suffisamment importante pour assimiler ce pr�l�vement �
un tirage avec remise.
On note X la variable al�atoire qui, � chaque �chantillon de ce type,
associe le nombre de paires de
verres qui pr�sentent le d�faut pour le traitement T1.
1. Justifier que la
variable al�atoire X suit une loi binomiale et pr�ciser les param�tres
de cette loi.
Les tirages sont ind�pendants ; chaque tirage est une �preuve de Bernoulli.
X suit la loi binomiale de param�tre n = 50 et p = 0,1.
2. Donner
l’expression permettant de calculer la probabilit� d’avoir, dans un tel
�chantillon, exactement 10 paires de verres qui pr�sentent ce d�faut.
Effectuer ce calcul et arrondir le r�sultat � 10−3
.
P(X = 10) = (5010) x0,110 x 0,940 ~0,015.
3. En moyenne,
combien de paires de verres ayant ce d�faut peut-on trouver dans un
�chantillon
de 50 paires ?
Esp�rance de X = np = 50 x0,1 = 5.
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