Math�matiques, probabilit�s, Bac centres �trangers 2022. Afrique du Sud, Bulgarie, Comores, Djibouti, Kenya, Liban, Lituanie, Madagascar, Mozambique et Ukraine En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . . . . . .. .. ...... ... Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l’�ge du skieur : -un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de 25 ans ; - un forfait SENIOR pour les autres.  Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant � son �ge l’option coupe-file qui permet d’�courter le temps d’attente aux remont�es m�caniques. On admet que : - 20 % des skieurs ont un forfait JUNIOR ; - 80 % des skieurs ont un forfait SENIOR ; - parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6 % choisissent l’option coupe-file ;  - parmi les skieurs ayant un forfait SENIOR, 12,5 % choisissent l’option coupe-file.  On interroge un skieur au hasard et on consid�re les �v�nements :  - J : � le skieur a un forfait JUNIOR �; - C : � le skieur choisit l’option coupe-file �. Les deux parties peuvent �tre trait�es de mani�re ind�pendante Partie A 1. Traduire la situation par un arbre pond�r�. 2. Calculer la probabilit� P(J ∩C). 0,06 x0,2 = 0,012. 3. D�montrer que la probabilit� que le skieur choisisse l’option coupe-file est �gale � 0,112. P(J n C) + P(non J n C) = 0,012 + 0,1 = 0,112.  4. Le skieur a choisi l’option coupe-file. Quelle est la probabilit� qu’il s’agisse d’un skieur ayant un forfait SENIOR ? Arrondir le r�sultat � 10−3 . PC(non J) =P(non J n C) / P(C) = 0,1 / 0,112=0,893.  5. Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans repr�sentent moins de 15 % des skieurs ayant choisi l’option coupe-file ? Expliquer. 1-0,893=0,107 soit 10,7 %. l'affirmation est fausse. Partie B On rappelle que la probabilit� qu’un skieur choisisse l’option coupe-file est �gale � 0,112. On consid�re un �chantillon de 30 skieurs choisis au hasard. Soit X la variable al�atoire qui compte le nombre des skieurs de l’�chantillon ayant choisi t’option coupe-file. 1. On admet que la variable al�atoire X suit une loi binomiale. Donner les param�tres de cette loi. n =30 ; p =0,112. 2. Calculer la probabilit� qu’au moins un des 30 skieurs ait choisi l’option coupe-file. Arrondir le r�sultat � 10−3 . P(X > 1) = 1 -P(X=0)=1-(300) x 0,1120 x(1-0,112)30 =0,972.  3. Calculer la probabilit� qu’au plus un des 30 skieurs ait choisi l’option coupe-file. Arrondir le r�sultat � 10−3 . P(X=0)+P(X=1)=(300) x 0,1120 x(1-0,112)30 +(301) x 0,1121 x(1-0,112)29 =0,136.  4. Calculer l’esp�rance math�matique de la variable al�atoire X.  E(X) = n p = 30 x0,112 =3,36. ... .... Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.  Une partie consiste � pr�lever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette urne. On �tablit la r�gle de jeu suivante :  - un joueur perd 9 euros si les deux jetons tir�s sont de couleur blanche ; - un joueur perd 1 euro si les deux jetons tir�s sont de couleur noire ;  - un joueur gagne 5 euros si les deux jetons tir�s sont de couleurs diff�rentes.  1. On consid�re que l’urne contient 2 jetons noirs et 3 jetons blancs.  a. Mod�liser la situation � l’aide d’un arbre pond�r�. On note B l'�v�nement " le joueur tire un blanc". N l'�v�nement " le joueur tire un noir".  b. Calculer la probabilit� de perdre 9 € sur une partie. 2 jetons blancs sont tir�s ; probabilit� 0,36.  2. On consid�re maintenant que l’urne contient 3 jetons blancs et au moins deux jetons noirs mais on ne connait pas le nombre exact de jetons noirs. On appellera N le nombre de jetons noirs. a. Soit X la variable al�atoire donnant le gain du jeu pour une partie. D�terminer la loi de probabilit� de cette variable al�atoire. Gain -9 -1 5 Probabilit� (3 / (3+N)2 (N / (3+N)2 6N /(3+N)2.  b. R�soudre l’in�quation pour x r�el : −x 2 +30x −81 > 0. Discriminant D =302-4*81=576=242. x1 = (-30 +24) /(-2) =3 ; x2 = (-30 -24) /(-2) =27. −x 2 +30x −81 > 0 si x appartient � ]3 ; 27[. c. En utilisant le r�sultat de la question pr�c�dente, d�terminer le nombre de jetons noirs que l’urne doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur. Esp�rence de X : E =( -9 *9-N2 +5(6N)2) / (3+N)2= (-N 2 +30N −81) / (3+N)2. Le jeu est favorable si l'esp�rance  est positive, soit N appartenant � ]3 ; 27[ . Donc entre 4 et 26 jetons noirs. d. Combien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d’obtenir un gain moyen maximal ? f (N) =(-N 2 +30N −81) / (3+N)2. On d�rive en posant u = -N 2 +30N −81 et v= (3+N)2. u' = -2N+30 ; v' = 2(3+N) (u'v-v'u) / v2 =[(-2N+30)(3+N)2 -2(3+N)(-N2+30N-81)] / (3+N)4. Num�rateur : (3+N) [-6N-2N2+90+30N+2N2-60N+162] =(3+N)(-36 N+252). f '(N) s'annule pour -66N = 252 soit N =7. Le gain moyen est maximum pour N=7 jetons noirs.  3. On observe 10 joueurs qui tentent leur chance en effectuant une partie de ce jeu, ind�pendamment les uns des autres. On suppose que 7 jetons noirs ont �t� plac�s dans l’urne (avec 3 jetons blancs). Quelle est la probabilit� d’avoir au moins 1 joueur gagnant 5 euros ? Probabilit� de gagner 5 € : (6 *7) / 102 =0,42. On note X le nombre de personnes gagnat 5 €. X suit une loi binomiale de param�tre n = 10 et p = 0,42. P(X >1) = 1-P(X=0)=1-(100) x 0,420 x(1-0,42)10=0,996.

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