Math�matiques, g�om�trie, Bac centres �trangers 2022. Afrique du Sud, Bulgarie, Comores, Djibouti, Kenya, Liban, Lituanie, Madagascar, Mozambique et Ukraine En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . . . . . .. .. ...... ... L’espace est muni d’un rep�re orthonorm� .  On consid�re les points A(5 ; 0 ; −1), B(1 ; 4 ; −1), C(1; 0; 3), D(5; 4; 3) et E(10; 9; 8).  1. a. Soit R le milieu du segment [AB]. Calculer les coordonn�es du point R ainsi que les coordonn�es du vecteur AB. xR= (xA+xB) / 2 = (5+1) / 2=3. yR= (yA+yB) / 2 = (0+4) / 2=2. zR= (zA+zB) / 2 = (-1-1) / 2= -1.  b. Ce vecteur AB est normal au plan P1 et E appartient � ce plan. Donner l'�quation cart�sienne de ce plan. -4x +4y +d = 0. R(3 ; 2 ; -1) appartient � ce plan : -4*3+4*2+d= 0 ; d = 4. -4x +4y +4 = 0 ou encore x-y-1=0. c. D�montrer que le point E(10 ; 9 ; 8) appartient au plan P1 et que EA = EB. xE-yE-1 =10-9-1 =0 est bien v�rifi�e, donc E appartient au plan P1. EA= [(5-10)2+(0-9)2+(-1-8)2]� =187�. EB= [(1-10)2+(4-9)2+(-1-8)2]� =187�. 2. On consid�re le plan P2 d’�quation cart�sienne x − z −2 = 0.  a. Justifier que les plans P1 et P2 sont s�cants. Coordonn�es d'un vecteur normal � P1 : (1 ; -1 ; 0). Coordonn�es d'un vecteur normal � P2 : (1 ;0 ; -1). Ces deux vecteurs n'�tant pas colin�aires, les deux plans ne sont pas parall�les.  b. On note D la droite d’intersection de P1 et P2. D�montrer qu’une repr�sentation param�trique de cette droite  est :  x = 2+ t  ; y = 1+ t ; z = t (t ∈ R). Soit M(x, y z) un point de cette droite. Si M appartient au plan P1 : 2+t-1-t-1=0 est v�rifi�e quel que soit t. Si M appartient au plan P2 : 2+t-t-2=0 est v�rifi�e quel que soit t. Donc D est l’intersection de P1 et P2.  3. On consid�re le plan P3 d’�quation cart�sienne y + z −3 = 0. Justifier que la droite D est s�cante au plan P3 en un point W dont on d�terminera les coordonn�es. Si la droite D est s�cante au plan P3 , alors : 1+t+t-3 =0 ; t =1. Coordonn�es de W : x = 2+t = 2+1 =3 ; y = 1+t = 1+1 = 2 ; z =t=1.  Si S et T sont deux points distincts de l’espace, on rappelle que l’ensemble des points M de l’espace tels que MS = MT est un plan, appel� plan m�diateur du segment [ST]. On admet que les plans P1, P2 et P3 sont les plans m�diateurs respectifs des segments [AB], [AC] et [AD].  4. a. Justifier que WA = WB = WC = WD. WA =[22+(-2)2+(-2)2 ]� =12�= 2*3�. WB =[(-2)2+(-2)2+(-2)2 ]� =12�= 2*3�. WC =[(-2)2+(-2)2+22 ]� =12�= 2*3�. WD =[22+22+22 ]� =12�= 2*3�.  b. En d�duire que les points A, B, C et D appartiennent � une m�me sph�re dont on pr�cisera le centre et le rayon W est �quidistant de A, B, C et D ; c'est le centre de la sph�re de rayon 2*3�. ... .... L’espace est muni d’un rep�re orthonorm� .  On consid�re les points A(3 ; −2 ; 2), B(6 ; 1 ; 5), C(6 ; −2 ; −1) et D(0 ; 4 ; −1).  On rappelle que le volume d’un t�tra�dre est donn� par la formule : V = 1 /3 A �h o� A est l’aire de la base et h la hauteur correspondante. 1. D�montrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. Les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. 2. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle. AB2 =32 +32+32 = 27. AC2 =32 +02+(-3)2 = 18. BC2 =02 +(-3)2+(-6)2 = 45. BC2 =AB2 +AC2 ; le triangle ABC est rectangle en A. b. Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).   c. En d�duire le volume du t�tra�dre ABCD. Aire de la base = aire du triangle ABC = AB x AC / 2 = 27� x18� /2 =4,5 x 6�. Hauteur AD =[(-3)2 +62 +(-3)2]� =54� =3 x6�. Volume = 4,5 x 6�x 3 x6� / 3 =27 unit�s de volume. 3. On consid�re le point H(5; 0; 1). a. Montrer qu’il existe des r�els a et β tels que .  b. D�montrer que H est le projet� orthogonal du point A sur le plan (BCD).  c. En d�duire la distance du point A au plan (BCD). AH = (22 +22 +(-1)2]� =3.  4. D�duire des questions pr�c�dentes l’aire du triangle BCD. Aire du triangle BCD x AH / 3 = volume du t�tra�dre ABCD. Aire du triangle BCD = 3 x27 / 3=27 unit�s d'aire.

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