Math�matiques, suites et fonctions, Bac centres �trangers 2022.
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1. Soit f la fonction d�finie sur R par f (x) = x/ e x .
On suppose que f est d�rivable sur R et on note f ′ sa fonction d�riv�e.
 a. f ′ (x) = e −x ; b. f ′ (x) = xe −x ; c. f ′ (x) = (1− x)e−x;  d. f ′ (x) = (1+ x)e−x .
f(x) = x e-x.
On d�rive en posant u = x, v = e-x ; u'=1 ; v' = -e-x.
u'v+v'u = e-x-xe-x=e-x(1-x).

2. Soit f une fonction deux fois d�rivable sur l’intervalle [−3 ; 1]. On donne ci-dessous la repr�sentation graphique de sa fonction d�riv�e seconde f ′′ .

On peut alors affirmer que :
 a. La fonction f est convexe sur l’intervalle [−1 ; 1]  ; b. La fonction f est concave sur l’intervalle [−2 ; 0]  ;
c. La fonction f ′ est d�croissante sur l’intervalle [−2 ; 0] ; d. La fonction f ′ admet un maximum en x = −1.
f " est positive sur [-3 ; -1], n�gative sur [-1 ; 1] s'annule pour x = -1.
f ' est croissante sur [ -3 ; -1] et d�croissante sur [-1 ; 1 ] Donc f ' admet un maximum en x = -1.

3. On consid�re la fonction f d�finie sur R par : f (x) = x 3 exp( −x 2).
 Si F est une primitive de f sur R,
a. F(x) = − 1/ 6 ( x 3 +1) exp( −x 2).  b. F(x) = − 1 /4 x 4 exp( −x 2).
 c. F(x) = − 1/2 ( x 2 +1 ) exp( −x 2) d. F(x) = x 2 ( 3−2x 2 ) exp( −x 2).
On d�rive − 1 /4 x 4 exp( −x 2). en posant :u = -0,25 x4 et v = exp( −x 2).
u' = -x3 ; v' = -2x
exp( −x 2) ;
u'v+v'u = -x3
exp( −x 2)+0,5x5 exp( −x 2) ne convient pas.

On d�rive   − 1/2 ( x 2 +1 ) exp( −x 2). en posant : u = − 0,5 ( x 2 +1 ) et v = exp( −x 2).
u' = -x ; v' = -2x
exp( −x 2) ;
u'v+v'u = -x
exp( −x 2)+x
( x 2 +1 ) exp( −x 2)= x 3 exp( −x 2).

4. Que vaut la limite en plus l'infini de (ex+1) / (ex-1) ?
 a. −1 ; b. 1 ; c. +∞;  d. n’existe pas.
On met ex en facteur commun : ex(1+e-x) / [ex(1-e-x)] =(1+e-x) /(1-e-x).
e-x tend vers z�ro si x tend vers plue l'infini et
(ex+1) / (ex-1) tend vers 1.

 5. On consid�re la fonction f d�finie sur R par f (x) = e 2x+1 . La seule primitive F sur R de la fonction f telle que F(0) = 1 est la fonction :
a. F(x)= 2e2x+1 −2e+1 ; b.F(x)= 2e2x+1 −e ; c. F(x)= 0,5 e 2x+1 − 0,5 e+1  ; F(x)= exp(x2+x).
On d�rive 2e2x+1 −2e+1 ; f(x) = 4e2x+1 ne convient pas.
On d�rive 0,5e2x+1 −0,5e+1 ; f(x) = e2x+1  convient.

6. Dans un rep�re, on a trac� ci-contre la courbe repr�sentative d’une fonction f d�finie et deux fois d�rivable sur [−2 ; 4].

Parmi les courbes suivantes, laquelle repr�sente la fonction f ′′, d�riv�e seconde de f ?
f(x) est concave sur [-2 ; 1]  et convexe sur [1 ; 4].
f "(x) < 0 sur [-2 ; 1) et f "(x) > 0 sur [1 ; 4] s'annulant pour x = 1.

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Soit f la fonction d�finie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = x ln(x)+1.
 On note Cf sa courbe repr�sentative dans un rep�re du plan.
 1. D�terminer la limite de la fonction f en 0 ainsi que sa limite en +∞.
En z�ro : ln(x) tend vers moins l'infini ; x ln(x) tend vers z�ro et f(x) tend vers 1.
En plus l'infini : ln(x) tend vers plus l'infini ; x ln(x) tend vers plus l'infini et f(x) tend vers plus l'infini.

 2. a. On admet que f est d�rivable sur ]0 ; +∞[ et on notera f ′ sa fonction d�riv�e. Montrer que pour tout r�el x strictement positif : f ′ (x) = 1+ln(x).
On pose u = x et v = ln(x) ; u' = 1 ; v' = 1 /x.
u'v +v'u = ln(x) +1.
 b. En d�duire le tableau de variation de la fonction f sur ]0 ; +∞[. On y fera figurer la valeur exacte de l’extremum de f sur ]0 ; +∞[ et les limites.
f '(x) = 0 si ln(x) = -1 soit x = e-1.
f '(x) >0 sur [e-1 ; +oo[ et f(x) croissante.
f '(x) < 0 sur ]0 ; e-1 ] et f(x) d�croissante.

 c. Justifier que pour tout x ∈]0 ; 1[, f (x) ∈]0 ; 1[.
Sur ]0 ; e-1], f(x) d�cro�t 1 � 1-1/e ~0,63.
Sur [e-1 ; 1[ cro�t de 1-1 /e � 1, valeur exclue.
3. a. D�terminer une �quation de la tangente (T ) � la courbe Cf au point d’abscisse 1.
Coefficient directeur de T= f '(1) = 1.
Le point de coordonn�es (1 ; f(1) =1 appartient � T.
Equation de T : y = x+b ; 1 = 1+b ; b =0 ; y = x.
b. �tudier la convexit� de la fonction f sur ]0 ; +∞[.
f ''(x) = 1 /x avec x >0.
f "(x) �tant positive , f(x) est convexe.
 c. En d�duire que pour tout r�el x strictement positif : f (x) > x .
La fonction �tant convexe, sa courbe repr�sentative est au dessus de toutes ses tangentes : donc f(x) > x.

4. On d�finit la suite (un) par son premier terme u0 �l�ment de l’intervalle ]0; 1[ et pour tout entier naturel n : un+1 = f (un).
 a. D�montrer par r�currence que pour tout entier naturel n, on a : 0 < un < 1.
Initialisation : 0 < u0 < 1 est vrai.
H�r�dit� : 0 < un < 1. est suppos� vrai.
D’apr�s la question 2.c, x ∈]0 ; 1[, f (x) ∈]0 ; 1[ , donc f (un) ∈]0 ; 1[ soit un+1 ∈]0 ; 1[.
Conclusion : La propri�t� est vraie au rang 0 et h�r�ditaire. Elle est vraie, pour tout entier naturel n.
b. D�duire de la question 3. c. la croissance de la suite (un).
f (x) > x . et un >0, donc f(un) > un soit un+1 > un.
La suite est croissante.
 c. En d�duire que la suite (un) est convergente.
La suite est croissante et major�e par 1, donc elle converge.


  
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