Capacit�
thermique massique du cuivre,
bac Centres �trangers 2022.
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d’int�r�ts.
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La
capacit� thermique massique peut �tre d�termin�e � partir des �changes
thermiques entre un �chantillon de m�tal chauff� dans un �tuve et
plong� ensuite dans un volume d'eau � temp�rature ambiante.
Temps de mise � temp�rature d'un �chantillon de cuivre.
A la date t =0 on place un �chantillon de cuivre, initialement � la temp�rature qa =20,5 �C dans une �tuve � l'int�rieur de laquelle l'air est � la temp�rature qth = 100 �C.
On veut estimer la dur�e n�cessaire pour �tre s�r que la temp�rature du cuivre est bien 100 �C � 1�C pr�s.
Le transfert thermique entre l'air int�rieur de l'�tuve et le cuivre
ob�it � la loi de Newton qui exprime une relation de proportionnalit�
entre le flux thermique F et l'�cart de temp�rature (qth-q(t)).
F = hS(qth-q(t)).
Masse du cuivre m = 44,8 g.
Capacit� thermique massique du cuivre, valeur tabul�e, c = 385 J kg-1 K-1.
Surface d'�change S =22 cm2.
h = 10 W m-2 K-1.
. Q1. Pr�voir le sens du transfert thermique.
Transfert du corps chaud, le thermostat vers le corps froid, le cuivre.
Q2.
Ecrire le premier principe pour le syst�me et en d�duire une relation
entre le transfert thermique Q, la masse du syst�me m, la
capacit� thermique massique du cuivre c et la variation de temp�rature
du syst�me Dq.
DU = W + Q ( W = 0, pas de travail).
Q = m c Dq.
Q3.
Donner la relation entre le flux thermique et le transert thermique durant la dur�e courte Dt.
F = Q / Dt.
Q4. En d�duire une relation entre h, S, q(t), m, c, Dq et Dt.
F = m c Dq / Dt.
F = hS(qth-q(t)).
hS(qth-q(t)) = m c Dq / Dt.
Dq / Dt + hS /(mc) q(t)) = hSqth / (mc).
Q5.D�duire de ce qui pr�c�de l'�quation diff�rentielle donnant l'�volution de la temp�rature en fonction du temps.
On pose t = mc / (hS).
dq(t) /dt +q(t) / t = qth / t.
La solution de cette �quation est q(t) =A exp(-t / t) +B o� A et B sont des constantes.
. Q6. Donner l'expression des constantes A et B.
Q7. Montrer que q(t) = 100 -79,5 exp( -t / 784).
A t = 0, q =qa =20,5 �C =A + B.
A t infini, le terme en exponentielle est nulle et B = qth = 100 �C.
Par suite A = qa -qth = -79,5 �C.
t = mc / (hS) =0,0448 x385 / ( 10 x 22 10-4)=784 s.
Q8. D�terminer la date t1 � partir de laquelle la temp�rature du syst�me sera sup�rieure � 99�C.
100 -79,5 exp( -t1 / 784) > 99.
1 >79,5 exp( -t1 / 784)
1 / 79,5 >exp( -t1 / 784)
ln(1 / 79,5) > -t1 / 784.
ln(79,5 < t1 / 784.
t1 > ln(79,5) x 784 ;
t1 >3,43 103 s (57 min 10 s).
Principe de d�termination de la capacit� thermique massique.
On a plac� une masse me d'eau dans un calorim�tre. La temp�rature d'�quilibre de l'eau est qe=20,5�C. On plonge l'�chantillon de cuivre � la temp�rature qth dans l'eau du calorim�tre. La temp�rature finale de l'ensemble est not�e qf.
Hypoth�se : les �changes thermiques se font uniquement entre l'eau et le cuivre.
Masse d'eau me = 100 g ; ceau = 4180 J Kg-1 K-1 ; qf = 23,1�C.
Q9 Montrer que c = me ceau(qf-qe) / (m(qth-qf)).
Chaleur gagn�e par l'eau Q1 =me ceau(qf-qe).
Chaleur perdue par le cuivre : Q2 =m c(qf-qth).
Ensemble adiabatique : Q1+Q2 = 0.
me ceau(qf-qe) +m c(qf-qth)= 0
c = me ceau(qf-qe) / (m(qth-qf)).
Q10. Faire l'application num�rique.
c = 0,100 x4180(23,1-20,5) / (0,0448 (100-23,1)) =315 J kg-1 K-1.
Ecart relatif ( 385 -315) / 385 x100 ~18 %.
Le calorim�tre et ses accessoires participent aux �changes thermiques.
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