Math�matiques, suite, fonctions, Bac centres �trangers 2022.
Arabie saoudite, Bahre�n, Chypre, �thiopie, Gr�ce, Isra�l, Jordanie, Kowe�t, Qatar, Roumanie et Turquie

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1. Un r�cipient contenant initialement 1 litre d’eau est laiss� au soleil. Toutes les heures, le volume d’eau diminue de 15 %. Au bout de quel nombre entier d’heures le volume d’eau devient-il inf�rieur � un quart de litre ?
 a. 2 heures ; b. 8 heures ;  c. 9 heures  ; d. 13 heures.
Volume restant au bout d'une heure : 0,85 litre.
Au bout de n heures, volume restant 0,85n.
0,85n <0,25.
n ln(0,85) < ln(0,25) ; -0,1635 n < -1,386 ; n > 8,47 soit n > 9 heures.

  2. On consid�re la fonction f d�finie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = 4ln(3x).
Pour tout r�el x de l’intervalle ]0 ; +∞[ , on a :
a. f (2x) = f (x)+ln(24)−ln(1,5) ;  b. f (2x) = f (x)+ln(16) ;  c. f (2x) = ln(2)+ f (x) ; d. f (2x) = 2f (x).
f(2x) = 4 ln(6x) = 4 ( ln(3x) +ln(2)) = f(x) +4 ln(2) =f(x) + ln(24) =f(x) + ln(16).

 3. On consid�re la fonction g d�finie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par : g(x) = ln(x) /( x −1) . On note Cg la courbe repr�sentative de la fonction g dans un rep�re orthogonal. La courbe Cg admet :
a. une asymptote verticale et une asymptote horizontale.
 b. une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
 c. aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.
 d. aucune asymptote verticale .et aucune asymptote horizontale.
g(x) = ln(x) / x * x / (x-1).
Quand x tend vers plus l'infini : ln(x) / x tend vers z�ro et x/(x-1) tend vers 1.
 g(x) tend vers z�ro et l'axe des abscisses est asymptote.
 g(x) =  [ ln(x) -ln(1) ] / (x-1).
Quand x tend vers 1+ : [ ln(x) -ln(1) ] / (x-1) tend vers la d�riv�e de ln(x) soit vers 1/x, c'est � dire 1.
Il n'y a pas d'asymptote au voisinage de 1.

 Dans la suite de l’exercice, on consid�re la fonction h d�finie sur l’intervalle ]0; 2] par : h(x) = x2 (1+2ln(x)). On note Ch la courbe repr�sentative de h dans un rep�re du plan. On admet que h est deux fois d�rivable sur l’intervalle ]0; 2]. On note h ′ sa d�riv�e et h ′′ sa d�riv�e seconde. On admet que, pour tout r�el x de l’intervalle ]0; 2], on a : h ′ (x) = 4x(1+ln(x)).
 4. Sur l’intervalle ]1 /e ; 2] , la fonction h s’annule :
a. exactement 0 fois ; b. exactement 1 fois ; c. exactement 2 fois ; d. exactement 3 fois.
x2 (1+2ln(x)) = 0 soit x = 0 ( n'appartient pas � l'intervalle ]0; 2]
et 1+2ln(x) =0 ; ln(x) = -0,5 ; x = e-0,5.

 5. Une �quation de la tangente � Ch au point d’abscisse e� est :
a. y =  6e0,5.x  ; b. y = 6e0,5.x +2e  ; c. y = 6e0,5 ; d. y = 6e0,5.x−4e.
Coefficient directeur de la tangente : h ′ (e�) = 4e�(1+ln(e�))= 4e�(1+0,5)=6 e�.
Le point de coordonn�es (e�; f(e�)=e(1+2*0,5)=2e appartient � la tangente.
Equation de la tangente : y = 6e� x +b.
2e = 6e +b ; b = -4e.

6. Sur l’intervalle ]0; 2], le nombre de points d’inflexion de la courbe Ch est �gal � :
a. 0 ; b. 1 ; c. 2 ; d. 3.
h ′ (x) = 4x(1+ln(x)).
Calcul de h"(x) en posant u = 4x et v = 1+ln(x).
u' = 4 ; v' = 1 /x.
u'v+v'u = 4(1+ln(x) +4 = 4(2+ln(x)).
h"(x) s'annule et change de signe pour ln(x) = -2 soit x = e-2.

 7. On consid�re la suite (un) d�finie pour tout entier naturel n par un+1 = 0,5 un +3 et u0 = 6. On peut affirmer que :
a. la suite (un) est strictement croissante. b. la suite (un) est strictement d�croissante. c. la suite (un) n’est pas monotone. d. la suite (un) est constante.
u1 = 6 ; u2 =6.... .

Suite et fonction exponentielle.
Partie A.
On consid�re la fonction f d�finie pour tout r�el x par : f (x) = 1+ x −e 0,5x−2 . On admet que la fonction f est d�rivable sur R. On note f ′ sa d�riv�e.
1. a. D�terminer la limite de la fonction f en −∞.
Le terme en exponentielle tend vers z�ro et f(x) tend vers moins l'infini.
 b. D�montrer que, pour tout r�el x non nul, f (x) = 1+0,5x [ 2− e 0,5x/ 0,5x *e −2 ] . En d�duire la limite de la fonction f en +∞.
f(x) = 1+0,5x[ 2 -e0,5x-2 / 0,5x] .
e0,5x-2  =e0,5x *e-2 ; par suite f (x) = 1+0,5x [ 2− e 0,5x/ 0,5x *e −2 ].
En plus l'infini, par croissance compar�e : e 0,5x/ 0,5x tend vers plus l'infini.
 2− e 0,5x/ 0,5x *e −2 tend vers moins l'infini.
Par produit des limites, f(x) tend vers moins l'infini.

 2. a. D�terminer f ′ (x) pour tout r�el x.
f '(x) = 1 −0,5 e 0,5x−2 .
 b. D�montrer que l’ensemble des solutions de l’in�quation f ′ (x) < 0 est l’intervalle ]4+2ln(2) ; +∞[.
1 −0,5 e 0,5x−2 < 0 ; e 0,5x−2 > 2 ; 0,5x-2 > ln(2) ; 0,5x > ln(2)+2 ; x > 4 + 2ln(2).
3. D�duire des questions pr�c�dentes le tableau de variation de la fonction f sur R. On fera figurer la valeur exacte de l’image de 4+2ln(2) par f .
f(4+2ln(2))=1+4+2 ln(2)- exp(2+ln(2)-2)=5+2ln(2)-2 = 3+2ln(2).


4. Montrer que l’�quation f (x) = 0 admet une unique solution sur l’intervalle [−1 ; 0].
Sur cet intervalle, la fonction est strictement croissante de -e-2,5 ~-0,082 � 1-e-2 ~0,86.
La fonction �tant continue et d�rivable, le th�or�me des valeurs interm�diaires indique qu'il existe une unique solution a sur [-1 ; 0] tel que f (a) =0.

 Partie B
On consid�re la suite (un) d�finie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = f (un) o� f est la fonction d�finie � la partie A.
1. a. D�montrer par r�currence que, pour tout entier naturel n, on a : un < un+1 < 4.
Initialisation : u0 = 0 ; u1 = f(0) =1-e-2 < 4. La propri�t� est vraie au rang 0.
H�r�dit� : un < un+1 < 4 est suppos�e vraie.
Sur [0 ; 4], la fonction f(x) est croissante, donc :
f (un ) < f(un+1 )< f( 4) avec f(4) =4.
 un+1 < un+2 < 4. La propri�t� est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, elle est vraie pour tout n entier naturel.
b. En d�duire que la suite (un) converge. On notera l la limite.
La suite est croissante et major�e par 4, donc elle converge.
2. a. On rappelle que f v�rifie la relation l= f (l). D�montrer que l = 4.
l = 1+ l −e 0,5l−2 .
1=e 0,5l−2 ; ln(1) = 0,5 l-2 ;2 = 0,5 l ; l = 4.
b. On consid�re la fonction valeur �crite cicontre dans le langage Python :
def valeur (a) :
 u = 0
n = 0
 while u < a: u=1 + u - exp(0.5*u - 2)
 n = n+1
 return n
 L’instruction valeur(3.99) renvoie la valeur 12. Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
L'algorithme calcule les premiers termes de cette suite jusqu'� celui qui est sup�rieur � 3,99.
u12 est le premier terme sup�rieur � 3,99.

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 1. On consid�re la fonction f d�finie pour tout r�el x par f (x) = ln ( 1+ x2 ) .
Sur R, l’�quation f (x) = 2022.
 a. n’admet aucune solution ; b. admet exactement une solution ;
 c. admet exactement deux solutions ;  d. admet une infinit� de solutions.
2022 = ln(1+x2) ; e2022 = 1+x2 ; x2 = e2022-1.
x = �(e2022-1)�.
 2. Soit la fonction g d�finie pour tout r�el x strictement positif par : g(x) = x ln(x)− x2 . On note Cg sa courbe repr�sentative dans un rep�re du plan.
 a. La fonction g est convexe sur ]0 ; +∞[ . b. La fonction g est concave sur ]0 ; +∞[ .
 c. La courbe Cg admet exactement un point d’inflexion sur ]0 ; +∞[.
d. La courbe Cg admet exactement deux points d’inflexion sur ]0 ; +∞[.
Calcul de la d�riv�e de x ln(x) : u = x ; v = ln(x) ; u' = 1 ; v' = 1 / x ;
u'v+v'u =ln(x) +1.
g'(x) = 1 +ln(x) -2x.
g"(x) = 1 /x-2 = (1-2x) / x.
g"(x) s'annule et change de signe pour x = 0,5.

 3. On consid�re la fonction f d�finie sur ]−1 ; 1[ par f (x) = x / (1− x2). Une primitive de la fonction f est la fonction g d�finie sur l’intervalle ]−1 ; 1[ par : a. g(x) = − 1/ 2 ln( 1− x 2) ;  b. g(x) = 1+ x 2 / ( 1− x 2)2 ;  c. g(x) =0,5 x2/ (x-x3/3) ;  d. g(x) = x 2 /2 ln( 1− x 2 ).
On d�rive -0,5  ln( 1− x 2) : -0,5(-2x) /(1− x 2) = x / (1− x2).

4. La fonction f(x)= ln( −x 2 − x +6 ) est d�finie sur
 a. ]−3 ; 2[  ; b. ]−∞ ; 6] ; c. ]0 ; +∞[; d. ]2 ; +∞[.
−x 2 − x +6 > 0 ; discrilinant D =(-1)2 -4 (-1)*6 =25 = 52.
x1 = (1 +5) / (-2) = -3 ; x2 = (1 -5) / (-2) =2.
f(x) est d�finie sur ]−3 ; 2[.

5. On consid�re la fonction f d�finie sur ]0,5 ; +∞[ par f (x) = x 2 −4x +3ln(2x −1). Une �quation de la tangente � la courbe repr�sentative de f au point d’abscisse 1 est :
a. y = 4x −7  ; b.  y = 2x −4;  c. y = −3(x −1)+4;  d. y = 2x −1.
f '(x) = 2x-4+6/(2x-1).
f '(1) =2-4+6 =4.
Equation de la tangente : y = 4x+b.
Le point de coordonn�es (1 ; f(1) =-3) appartient � la tangente : -3 = 4 +b ; b = -7.

6. L’ensemble S des solutions dans R de l’in�quation ln(x +3) < 2ln(x +1) est :
 a. S =]−∞ ; −2[∪]1 ; +∞[ ; b. S =]1 ; +∞[ ; c. S aucune solution ;  ; d. S =]−1 ; 1[.
 x doit �tre strictement sup�rieur � -1.
ln(x +3) < ln(x +1)2 ; x+3 < (x+1)2.
x+3 < 1+2x+x2.
x2+x-2 >0. D =12-4(-2) =9=32.
x1 = (-1+3) / 2 =1 ; x2 = (-1-3) / 2 =-2.
x appartient � ]-oo ; -2[ union ]1 : +oo[.

Fonction exponentielle et suite.
Partie A : Soit h la fonction d�finie sur R par h(x) = e x − x.
 1. D�terminer les limites de h en −∞ et +∞.
h(x) = ex(1-x / ex).
En plus l'infini, par croissance compar�e x / ex tend vers z�ro et h(x) tend vers plus l'infini.
En moins l'infini, ex tend vers z�ro et h(x) tend vers plus l'infini.
 2. �tudier les variations de h et dresser son tableau de variation.
h'(x) = ex-1 s'annule pour x =0.
h'(x) >0 si x >0 ; h(x) est croissante.
h'(x) <0 si x <0 ; h(x) est d�croissante.

 3. En d�duire que : si a et b sont deux r�els tels que 0 < a < b alors h(a)−h(b) < 0.
Sur R+, h(x) est strictement croissante.
si 0 < a < b alors h(a)<h(b) .
Or h(0) = 1, donc 1 < h(a) < h(b) soit h(a)−h(b) < 0.

 Partie B : Soit f la fonction d�finie sur R par f (x) = e x .On note Cf sa courbe repr�sentative dans un rep�re orthonorm�.
1. D�terminer une �quation de la tangente T � Cf au point d’abscisse 0.
f '(x) = ex ; f '(0) = 1.
Equation de la tangente y = x+b.
Le point de coordonn�es (0 ; f(0) =1) appartient � la tangente.
1 = 0+b ; b =1.
y = x+1.
Dans la suite de l’exercice on s’int�resse � l’�cart entre T et Cf au voisinage de 0. Cet �cart est d�fini comme la diff�rence des ordonn�es des points de T et Cf de m�me abscisse. On s’int�resse aux points d’abscisse 1/ n , avec n entier naturel non nul. On consid�re alors la suite (un) d�finie pour tout entier naturel non nul n par : un = exp( 1/ n) − 1/ n −1.
 2. D�terminer la limite de la suite (un).
Quand n tend vers plus l'infini : 1 /n tend vers z�ro ; ex(1/n) tend vers1 et un tend vers z�ro.
3. a. D�montrer que, pour tout entier naturel non nul n, un+1 −un = h (1 /( n +1))  −h ( 1/ n) o� h est la fonction d�finie � la partie A.
un+1 −un =exp( 1/ (n+1)) − 1/ (n+1) −1 -[exp( 1/ n) − 1/ n −1] =exp( 1/ (n+1)) − 1/ (n+1)-[exp( 1/ n) − 1/ n ]=  h (1 /( n +1))  −h ( 1/ n). 
b. En d�duire le sens de variation de la suite (un).
Pour n >0, la fonction h(n) est strictement croissante.
0 < n < n+1 ; 1/(n+1) < 1 /n.
h ( 1/ n) >h (1 /( n +1)) ; un+1 −un < 0, la suite (un) est d�croissante.
 4. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approch�es � 10−9 des premiers termes de la suite (un).

Donner la plus petite valeur de l’entier naturel n pour laquelle l’�cart entre T et Cf semble �tre inf�rieur � 10−2 .
u8 = 0,0081 < 0,01.
Pour x = 1 /8, l'�cart entre la courbe et la tangente est inf�rieur � 0,01.

  
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